一个整除问题的再推广

命题一 (3 5~(1/2))~n (3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 这是中学数学中一道十份常见的题目,《数学教学通讯》1992年第4期吴跃生老师给出了命题一的推广,即命题二 [2((1 5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n [2((1-5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n能被2~n整除(n∈N,k∈n) 而[2((1 5(1/2)/2))~(2k-1)]~n [2((1-5(1/2)/2))~(2k-1)]~n=2~n[((1 5(1/2)/2))~(2~(k-1)n) [2(((1-5(1/2)/2))~(2~(k-1)n],于是命题二等价于命题三 ((1 5(1/2)/2))~(2~(k-1)n) ((1-5(1/2)/2))~(2~(k-1)n)是整数(n∈N,k∈N),事实上,命题三可以进一步推广成     

关于一类整除性问题的证明

[定理] m个连续整数的连乘积能被m!整除。证:设m个连续整数中最大的一个为n。当n≥m时,C_n~m=(n(n-1)…(n-m+1))/m!是整数,故命题成立。当n相似文献   

一个整除问题的推广

在中学数学中,有一道出现频率较高的习题:证明:(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 四川秦北波同志在《数学教学通讯》1991年第2期以“一个整除问题的精巧证明”为题给出了这一习题的一个精巧证明。下面利用费波那契数列的通项公式给出它的一个推广。命题: [2((1+(5~(1/2))/2)~(2k-1]~n+[2(1-(5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n能被2~n整除[n∈N,k∈N)。证:(1)当k=1时,原命题变为:(1+5~(1/2))~n+(1-5~(1/2))~n能被2~n整除,此命题可用第二数学归纳法证。     

一个整除问题的精巧证明

在中学数学中,有一道出现频率较高的习题:题证明(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 一般证法是利用第二数学归纳法来证明的,其证明较繁,下面利用费波那契数列通项公式给出它的一个精巧证明。证 [(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n]/2~2=((3+5~(1/2))/2)~n+((3-5~(1/2))/2)~n=((1+5~(1/2))/2)~2n+((1-5~(1/2))/2)~2n=[((1+5~(1/2))/2)~n-((1-5~(1/2))/2)~n]~2+2(-1)~n     

怎样正确使用模不等式

先从一个例子谈起。 例1 x为何值时,y=((x~2 3))~(1/2) ((x~2-8x 17))~(1/2)取得最小值。 解法1 (错解) 令z_1=x 3~(1/2)i,z_2=(x-4) i,则y=(x~2 (3~(1/2))~2)~(1/2) ((x-4)~2 1)~(1/2)=|z_1| |z_2|≥|z_1 z_2|=|(2x-4) (3~(1/2) 1)i|=((2x-4)~2 (3~(1/2) 1)~2)~(1/2)。当z_1=kz_2(k>0)时,不等式取等号,y取最小值。     

配方法在初中数学解题中的应用

配方法的思想对我们初中生来说是一种崭新的思维方式。当某些数学问题的研究讨论陷入僵持时,配方法常常能给予巧妙的配合,使我们突然间获得解决问题的方法和结果。 [例1] 化简(5 12(3 2(2~(1/2)))~(1/2))~(1/2) 解:原式=(5 12((2~(1/2) 1)~2)~(1/2))~(1/2) =(17 12(2~(1/2)))~(1/2) =(3~2 12(2~(1/2)) ((2(2~(1/2)))~2))~(1/2) =((3 2(2~(1/2)))~2)~(1/2) =3 2(2(1/2)) [例2] 已知:x~2 y~2 z~2 1/x~2 1/y~2 1/z~2=6,求证:xyz(x y z)=xy yz zx     

从一道易错的习题看双基的重要性

熟练地掌握基础知识和基本技能,是学好数学的必要条件。从上面例子中可看出“双基”的重要性。例用数学归纳法证明,对任意的自然数 n,(3+5~(1/2))~(n)+(3-5~(1/2))~(n)能被2整除。证法一:当 n=1时,(3+5~(1/2))~(n)+(3-5~(1/2))~(n)=6,能被2整除。设 n=k 时,(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~(k)能被2整除;当 n=k+1 时,(3+5~(1/2))~(k+1)+(3-5~(1/2))~(k+1)=(3+5~(1/2))~(k+1)+(3+5~(1/2))(3-5~(1/2))~k+(3-5~(1/2))~(k+1)-(3+5~(1/2))(3-5~(1/2))~k=(3+5~(1/2))[(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~k]+(3-5~(1/2))~k(3-5~(1/2)-3-5~(1/2))∵(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~(k)能被2整除,且     

莫斯科大学1997年入学考试数学试题选(续)

11.求表达式的(-3((1-cos2x)/2)~(1/2) ((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1)·((1-cos2y)/2 (11-3~(1/2)cosy 1))最大值与最小值。(土壤学系,第6题) 解 记表达式的第一个因式为f(x),第二个因式为a(y)有: f(x)=-3|sinx| ((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1. ∴f(x)≤((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1,且f(0)=((2-3~(1/2))~(1/2)-1. 又f(x)=-3sinx ((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1 当sinx≥0时,2sinx ((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1 当sinx<0时.     

组合恒等式的证明

一、直接利用组合数公式证明二、利用组合定义证。 [例1] 求证 C_n~(m 1) C_n~(m-1) 2C_n~m=C_(n 2)~(m 1) 证:从n 2个不同元中取m 1个元的组合可分四类:i)含指定元甲、乙的有C_n~(m-1)种,ii)不含甲、乙的有C_n~(m 1)种,iii)、iv)含甲不含乙与含乙不含甲的各有C_n~m种。由加法原理得原式。三、利用组合性质证。如例1原式左=(C_n~(m 1) C_n~m (C_n~(m-1) C_n~m)=C_(n 1)~(m 1) C_(n 1)~m=C_(n 2)~(m 1)。     

从解题引出的思索

问题试用数学归纳法证明(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2)))~n能被2~n整除,其中n为任意自然数。这是一位刚学“数学归纳法”的高二学生提出的,她百思不得其解。我也未见过本题。既然是初学者提出,想不会太难,于是便从常规法入手。设a_n=(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n,则a_1=(3+5~(1/2))+(3-5~(1/2))=6,能被2整除。这说明“归纳基础”已具备。接下去只需在“归纳假设”; a_k能被2~k整除的基础上去证明a_(k+1)能被2~(k+1)整除,以完成数学归纳法的第二步。我的思路从a_(k+1)中析出a_k,目的是便于运用     

关于《一个不等式的推广》问题

胡道煊同志在文[1]中曾绐出了如下的不等式:sum from i=1 to n((a_i~m)/(b_i))≥n~(2-m)·((sum from i=1 to n(a_i))~m/sum from i=1 to n(b_3))。(1)其中a_i、b_i>0,(i=1,2,…,n),且|m|≥1。 此处我们说(1)是一个不恒成立的不等式。例如取n=2,b_1=a_1,b_2=a_2,m=3/2,则有     

活用根的定义解题

解有的方程,按常规解法,运算繁琐,实难奏效,如能灵活应用根的定义求解,则格外简捷,令人拍案称绝。例1 设关于x的方程 2x~6-3ax~4-2ax~3+3a~2x~2+a~2-a~3=0(0≠a∈R),有两个相等的实根,求a的值。解化原方程为(a-x~3)~2=(a-x~2)~3。令x=x_0为方程的一个实根,则由根的定义,有(a-x_0~3)~2=(a-x_0~2)~3,且a-x_0~2≥0. ∴ (a-x_0~3)~(1/3)=(a-x_0~2)~(1/2)。又[a-((a-x_0~3)~(1/3))~3]~2=[α-((α-x_0~2)) ~2]~3, 因此(a-x_0~3)~(1/3),(a-x_0~2)~(1/2)也为原方程的实根。取x_0=(a-x_0~3)~(1/2),x_0=(a-x_0~2)~(1/2), 则a=0(合去),a=2。例2 若a≠b≠c,解方程组     

一道课本习题的五种换元解法

题 用换元法解方程((x 2)/(x-1))~(1/2) ((x-1)/(x 2))~(1/2)=5/2。 (人教版初中代数第三册第57页第3题) 解法一 (运用倒数关系换元) 设((x 2)/(x-1))~(1/2)=y,则((x-1)/(x 2))~(1/2)=1/y, ∴原方程化为y (1/y)=5/2, 解这个方程,得y_1=2,y_2=1/2。 当y=2时,((x 2)/(x-1))~(1/2)=2, 解之,得x_1=2;     

与1984有关的几个趣题

今年是1984年,特提供下列与1984年有关的一些趣味题目,这些题综合性较强,解法富有启发性,可供课外研究。由此可知该数是合数。 3.若m为奇数。证明1~m+2~m+…+1983~m+1984~m能被1+2+…+1984整除。证:记M=1~m+2~m+…+1983~m+1984~m,则2~m=(1~m+1984~m)+(2~m+1983~m)+…+(1983~m+2~m)+(1984~m+1~m)因m为奇数.故知2M能被1985整除。     

巧构非负数 妙解十类题

简析:细察题中各项特点,不难发现其中隐含的非负数(x-2((x-1)~(1/2))~(1/2)=|(x-1)~(1/2)-1|与(y-4((y-4)~(1/2))~(1/2)=|(y-4)~(1/2)-2|。由非负数性质及条件可得x=2、y=8。进而可得所求式的值为-3。解略。     

妙趣横生的年号——1985

在1985年新年之际，特拟几道与“1985”这个数值有关的趣味数学题，供广大数学爱好者节日助兴之用。1．试证：(1 (1985)~(1/2))~(2000)-(1-(1985)~(1/2))~(2000)/(1985)~(1/2)是整数。2．不解方程，证明x~2-1985x 1985=0无整数解。3．已知m≠0，n≠0，解方程m~2x-[(m/n)~(1985) (n/m)~(1985)]m~xn~x     

作业批注——关于不等号“≥”和“≤”

一、连续使用例1 已知a/x+b/y=1,求x+y的最小值。(x、y、a、b均正数) 错解∵1=a/x+b/y≥2((ab/xy)~(1/2)) ∴(xy)~(1/2)≥2((ab)~(1/2)) ∴(x+y)≥2((xy)~(1/2))≥4((ab)~(1/2)) ∴x+y的最小值为4((ab)~(1/2)) 批注第一个“≥”中等号成立的条件为x=y,第二个“≥”中等号成立的条件为a/x=b/y,两者只有在a=b时才是相容的,而原题未给出这个条件。正确的解法为:     

a_2~(1/2)+a_3~(1/2)>a_1~(1/2)+a_4~(1/2)的几何解释

本刊1984年3期中《(a2)~(1/2)+(a_3)~(1/2)>(a_1)~(1/2)+(a_4)~(1/2)的一种简捷判定法》一文指出:当a≥0m>0,n≥0时,有(a+m)~(1/2)+(a+m+n)~(1/2)>a~(1/2)+(a+2m+n)~(1/2)成立。并给出了代数证明。本文对以上结论给出它的一个几何解释。由于((a+m)~(1/2))~2-(a~(1/2))~2=m-(m~(1/2))~2,     

关于代数的短文十二篇

公式C_(n+1)~m=C_n~m+C_n~(m-1)的一个应用利用组合数性质公式C_(n+1)~m=C_n~m+C=_n~(m-1)可以求形如{n(n+1)…(n+k-1)}的数列的前n项和S_n。 [例1] 求和 S=1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2) 解:1/3!S=1·2·3/3!+2·3·4·/3!…+n(n+1)(n+2)/3! =C_3~3+C_4~3+…+C_(n+2)~3=(C_4~4+C_4~3)+C_5~3+…+C_(n+2)~3 =(C_5~4+C_5~3)+C_6~3+…+C_(n+2)~3=…=C_(n+2)~4+C_(n+2)~3 =C_(n+3)~4=n(n+1)(n+2)(n+3)/4!,     

关于一个特殊条件等式的普遍形式的探讨

用数学归纳法可以证明,对一切自然数n,都存在自然数m,使(2~(1/2)-1)~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2)成立,(证明略)。从这个特殊的条件等式出发,我们是否能得到一个普遍的形式或较为普遍的形式呢? 首先,最容易想到的便是,把2~(1/2)换为3~(1/2),4~(1/2)…以至n~(1/2),然而,这并不正确。例如当n=2时,(3~(1/2)-1)~2=4-2(3~(1/2))=(16)~(1/2)-(12)~(1/2),等式不成立。那么,是否可以把2~(1/2)拆为(1+1)~(1/2),把1换为1~(1/2)呢?原式可写成((1+1)~(1/2)-1~(1/2))~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2),而当我们把等式中黑体数字1换为自然数a时,举几个例子试试,结果都是正确的。其实,用数学归纳法可以证明,这的确是对的(证明略)。由此,我们便得到一个较为普遍的形式,即:“对于一切自然数n,都存在自然数a和m,使((a+1)~(1/2)-a~(1/2))~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2)成立。”