信息与解题

跻身商海需要获取商品信息 ,研究解题必须捕捉求解信息 .一种完美、漂亮、奇异、独特的解题思路是以信息的获取为前提的 .一个命题无论是题设、结论 ,还是整体结构、数字特征、直观图象 ,都会给我们提供大量的信息 .如果教师善于引导学生从中获取信息 ,通过分析、联想、比较、想象等一系列思维活动 ,巧妙地捕捉求解信息 ,那么可以实现题设与结论之间的逻辑沟通 .笔者试图通过以下几例谈谈怎样通过捕捉题设 (或结论 )中的“特征信息” ,优化解题思路 .例 1　已知实数ａ、ｂ、ｃ满足等式ａ =6 -ｂ ,ｃ2 =ａｂ -9,求证 :ａ =ｂ .(1 992年山西省…     

例谈初中数学竞赛题的常用解题策略

数学竞赛题难度大 ,要解答竞赛题 ,学生不但要掌握数学基础知识、基本技能和基本思想方法 ,而且还需掌握一些常用的解题策略 ,这对提高学生解数学题的能力、培养学生良好的数学素养是大有裨益的 .1　特殊值法———用满足题设条件的特殊值代入来求得正确的答案例 1　若ａ ｂ ｃ=0 ,则ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3的值是 (　　 )(Ａ) - 1　　 (Ｂ) 0　　 (Ｃ) 1　　 (Ｄ) 2(第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二二试试题 )分析　设ａ =0 ,ｂ=0 ,ｃ =0代入ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3=0 ,故选 (Ｂ) .例 2　若 14 (ｂ-ｃ) 2 =(ａ-ｂ) (ｃ-…     

重视解题过程中的方法性训练

奥加涅相在《中小学数学教学法》一书中强调指出 :“中学教学首要也是最主要的职责是强调解题过程中的方法性训练 .”那么数学教学中特别是解题教学中 ,如何有意识地对学生进行系统地数学思想方法的训练呢 ?笔者试以一题为例谈谈解题过程中的方法性训练 .题目　已知实数ａ、ｂ、ｃ满足ａ >0 ,ｂ >ａ ｃ,求证 :方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0有两个相异实数根 .1　重视转化思想 ,训练化归方法转化思想贯穿于整个数学教学中 ,它要求对某一数学问题加以转化 ,化陌生为熟悉、化复杂为简单、化抽象为具体 ,实现转化的基本手段就是化归问题的结论是要证…     

平面向量教学中的两点浅见

平面向量是高一数学试验教材中的新增内容 ,怎样教好这章内容 ?大家都在摸索 .笔者根据自己的课堂教学实践 ,浅谈两点体会 .1　深入挖掘数学思想1 .1　数形结合思想向量是数形交融的典型知识 ,数形结合思想在本章中体现得淋漓尽致 .例 1　平面向量数量积的分配律 ( ａ+ ｂ)· ｃ= ａ· ｃ+ ｂ· ｃ ,教材是用图形证明的 .为什么要构造图形 ?怎样构造图形 ?笔者作如下分析 .要证 ( ａ+ ｂ)· ｃ= ａ· ｃ+ ｂ· ｃ ,即要证｜ ａ + ｂ｜｜ ｃ｜ｃｏｓθ =｜ ａ｜｜ ｃ｜ｃｏｓθ1+ ｜ ｂ｜｜ ｃ｜ｃｏｓθ2 ,其中θ、θ1、θ2 分别是 ａ…     

多项式（a1＋a2＋a3＋a…＋am）^n展开式项数之初探

(ａ+ｂ) ｎ二项展开式有 (ｎ+ 1)项 ,(ａ +ｂ+ｃ) ｎ三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出 :[(ａ+ｂ) +ｃ]ｎ =Ｃ0 ｎ(ａ +ｂ) ｎｃ0 +Ｃ1ｎ(ａ +ｂ) ｎ- 1ｃ1+…+Ｃｒｎ(ａ +ｂ) ｎ-ｒｃｒ+… +Ｃｎｎ(ａ +ｂ) 0 ｃｎ,其展开式共有 (ｎ + 1) +ｎ + (ｎ - 1) +… + 2 + 1=(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 项 .那么 (ａ1+ａ2 +ａ3 +… +ａｍ) ｎ展开式又有多少项呢 ?观察是思维的入口 ,是解题的第一能力 .从五光十色的交叉干扰信息中 ,能迅速找到自己需要的要点 ,这是观察能力中最基础、最珍贵的直觉思维能力 .观察上式结论 :(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 =Ｃ…     

高一数学期末测试

一、选择题 (本题共有 12个小题 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一个是正确的 .本题每小题 3分 ,满分 3 6分 )1.已知α =9π8,则点Ｐ(ｓｉｎα ,ｔａｎα)所在的象限是 (　　 )　 (Ａ)第一象限　　 (Ｂ)第二象限　 (Ｃ)第三象限　　 (Ｄ)第四象限2 .对于向量ａ、ｂ、ｃ,下列命题中正确的是(　　 )　 (Ａ) ｜ａ·ｂ｜=｜ａ｜｜ｂ｜　 (Ｂ) (ａ·ｂ) 2 =ａ2 ｂ2　 (Ｃ)若ａ⊥ (ｂ-ｃ)则ａ·ｂ=ａ·ｃ　 (Ｄ)若ａ·ｂ =ａ·ｃ ,则ｂ =ｃ3 .已知ａ·ｂ是两个非零向量 ,则ａ与ｂ不共线是‖ａ｜-｜ｂ‖ <｜ａ -ｂ｜ <｜ａ｜+｜ｂ｜的 (　　 )　 …     

浅谈小学数学概念的教学

概念是数学教学的核心,概念的掌握与否是学好数学的关键。在概念的教学中,内容多,会使学生觉得枯燥无味,导致对概念的掌握不完整,理解不透彻,从而在解答中会出现错解,怎样使学生弄清楚概念的来龙去脉,领会概念的实质呢?一、引导学生“探索”概念的形成过程作为概念,在小学中的教学是分阶段进行的。因此,在教学中应该给学生较多的时间去探索概念的形成过程,并引导概括出其定义。例如:整数减法的定义:已知两个数ａ与ｂ,如果存在一个数ｃ,使得ｃ+ｂ=ａ,那么ｃ叫做ａ与ｂ的差,求两个数的差的运算叫做减法,记作:ａ-ｂ=ｃ,读作:ａ减去ｂ等于ｃ,ａ…     

反思教学中的一题多解

解题教学是数学教学的一个重要组成部分 ,特别是一题多解教学深受数学教师的重视 ,经常被用来培养学生的发散性思维 .然而本人从自身的教学实践及参加的教研活动中发现 ,并不是所有的一解多解教学都能起到培养学生的发散性思维的目的 .下面试举几例进行说明 .第一 ,所选择例题及其解法不恰当 ,则达不到培养学生发散性思维的目的 .例 1　已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,那么ａ ｂ≥ 2ａｂ ,当且仅当ａ =ｂ时等式成立 .证法 1 :∵已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,∴ａ ｂ -2ａｂ =(ａ -ｂ) 2 ≥ 0 ,当且仅当ａ =ｂ ,即ａ =ｂ时 ,(ａ-ｂ) 2 =0 .∴原命题成立 .证法 2 :∵…     

巧用P＋3Q≥R证明三角形不等式

数学素质教育的核心问题是培养学生的数学创新能力 .笔者注意在不等式证明的教学和兴趣小组辅导中引进创新方法 :Ｐ -Ｑ -Ｒ法 ,巧用定理 :Ｐ 3Ｑ≥Ｒ证明一类三角形不等式 ,收到了较好的效果 ,现介绍给读者 .定理　△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ ,并记Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3 ,　　　Ｑ =ａｂｃ,Ｒ =ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 ,则　　　　　Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ .　　证明　考虑到三角形两边之和大于第三边 ,有(ａ -ｂ) 2 (ａ ｂ -ｃ)=ａ3 ｂ3 -ａ2 ｂ -ａｂ2 -ｂ2 ｃ-ｃａ2 2ａｂｃ≥ 0 ,(ｂ-ｃ) 2 (ｂ ｃ -ａ)=ｂ3 ｃ3 -ｂ2…     

妙用判别式解题三例

灵活运用一元二次方程的根的判别式 ,可使许多看似与判别式无关的题目得到巧妙解答。请看下面三例 (例 1 ,例 2原题均选自《初中生辅导》2 0 0 1年第 7期《相反数性质的妙用》) :例 1　已ａ,ｂ ,ｃ为实数 ,且ｂ +ｃ=8,ｂｃ=ａ2 - 1 2ａ + 5 2。求ａ + 2ｂ +3ｃ的值。解 :由ｂ +ｃ =8,得ｂ =8-ｃ。代入ｂｃ =ａ2 - 1 2ａ + 5 2 ,得 :ａ2 - 1 2ａ + (ｃ2 - 8ｃ + 5 2 ) =0∵ａ是实数　∴ ( - 1 2 ) 2 - 4(ｃ2 - 8ｃ+ 5 2 )≥ 0　∴ｃ2 - 8ｃ+ 1 6≤ 0即 (ｃ- 4) 2 ≤ 0　∴ｃ =4　∴ｂ =8- 4=4把ｃ =4,ｂ =4代入ｂｃ =ａ2 - 1 2ａ + 5 2 ,得 :…     

活用函数思想解题

下面,通过一些具体例子说明函数思想在解题中的运用.　　一、比较大小例1　试比较|ａ+ｂ|1+|ａ+ｂ|与|ａ|+|ｂ|1+|ａ|+|ｂ|的大小.解:对于函数ｆ(ｘ)=ｘ1+ｘ=1-11+ｘ,易知当ｘ∈(-1,+∞)时,其为增函数.而0≤|ａ+ｂ|≤|ａ|+|ｂ|,故|ａ+ｂ|1+|ａ+ｂ|≤|ａ|+|ｂ|1+|ａ|+|ｂ|.注:通常可以利用函数的单调性解决比较大小的问题.二、证明不等式例2　已知实数ａ、ｂ、ｃ∈(0,1),证明:不等式ａ(1-ｂ)+ｂ(1-ｃ)+ｃ(1-ａ)<1总成立.证明:欲证不等式等价于(1-ｂ-ｃ)ａ+(1-ｃ)(ｂ-1)<0.记ｆ(ａ)=(1-ｂ-ｃ)ａ+(1-ｃ)(ｂ-1),故欲证原不等式成立,只需证明ａ∈…     

构造法在证题中的应用

关于不等式的证明有许多种方法 ,但在某些不等式的证明中 ,若改变观察与思维的角度 ,将我们所学知识横、纵向联系 ,找出知识网络间关系 ,我们可在众多解法之中寻求更令人信服的方法 ,这不仅提高了我们的解题速度 ,同时也拓宽了同学们在解题中的思路 ,能够起到培养同学们创新的思维能力。下面我们通过例子说明“构造法”在证题中的思维方法及应用。一、构造函数 ,利用函数的单调性例 1 :已知ａ、ｂ、ｃ、是三角形的三边长 ,求证 :ａ1 ａ ｂ1 ｂ>ｃ1 ｃ分析 :由所求证式子的结构看 :ａ1 ａ、 ｂ1 ｂ、 ｃ1 ｃ实质上就是将函数ｆ(Ｘ) =ｘ…     

解题杂谈

一、分与合例 1　设ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 1ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 -ｂ2 ｃ21ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 -ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 1ｃ2 ｄ2 =0 .①求证 :ａｂ ｂｃ ｃｄ ｄａ与ａｂ ｃｄ -ｄａ -ｂｃ中至少有一个为零 .讲解　这是文 [1 ]谈数学和谐美的第一个例子 .整个分析处理过程如下 :已知条件是分式 ,而结论是整式 ,不和谐 ,且条件复杂 ,结论简单 .所以 ,可以运用顺推策略探索解题途径 ,并将分式化为整式 ,使条件与结论和谐化 ,另外 ,还需将结论等价地变为(ａｂ ｂｃ ｃｄ ｄａ) (ａｂ ｃｄ…     

生物学解题能力的培养

素质教育的核心是能力培养。因此在教学中应重视学生的能力培养 ,特别是培养学生的解题能力尤为重要。在生物学教学中应如何培养学生的解题能力呢 ?1　比较分析能力的培养比较分析能力是指通过对所学生物学基本概念、原理及其应用的范例、图表等内容进行具体分析、比较来解决实际问题的能力。例 1　下图 (ａ) (ｂ) (ｃ) 3个图分别表示某种生物(假定只含 2对染色体 )的 3个正在进行分裂的细胞。请据图回答以下问题 :(1 )图 (ａ)表示　　　　　时期 ;(2 )图 (ｂ)表示　　　　　时期 ;(3 )图 (ｃ)表示　　　　　时期 ;解题思路试题中文字内容图…     

巧用焦点三角形面积公式解题

二次曲线中有许多美妙的性质 ,恰当地运用这些性质能优化我们的解题。本文介绍一个简洁优美的焦点三角形公式 ,并举例说明它的应用。定理　Ｐ是椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 )或双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ >0 ,ｂ>0 )上一点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是左右两焦点 ,设 |ＰＦ1|·|ＰＦ2 |=λ2 ,则焦点△Ｆ1ＰＦ2的面积Ｓ =ｂλ2 -ｂ2 。证明　 (以椭圆为例 )设 |ＰＦ1|=ｒ1,|ＰＦ2 |=ｒ2 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =α ,则ｒ1+ｒ2 =2ａ ,α∈ (0 ,π) ,在△Ｆ1ＰＦ2中 ,由余弦定理可得 :ｃｏｓα =ｒ21+ｒ22 -4ｃ22ｒ1ｒ2=(ｒ1+ｒ2 ) 2 -4ｃ2 -2ｒ…     

例说数学投影教学片的设计与解题

在平移坐标轴的解题教学中 ,运用投影仪 ,数形结合 ,解相关题型 ,有显著的教学效果。以下略谈几例。ａ .运用教学投影片帮助学生理解移轴不移图像的思想方法 ,培养学生准确迅速的解题能力。课前分别用黑线、红线(虚线代红线 ,以后相同 ,不再说明 )做两个全等椭圆 ,如投影图 1 -ａ,红线画准线不画纵轴 (如图 1 -ｃ暂不出示 )。课堂上运用投影仪先在屏幕上显示图 1 -ａ ,复习 :ｘ′2ａ2 ｙ′2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 ,ｂ2 =ａ2 -ｃ2 ) ,ｘ′=±ａ2ｃ,ｅ =ｃａ 的几何意义 ,学生回答 ,教师补充。然后在投影片图 1 -ａ ,Ｘ′轴上Ｏ′的左 (右 )侧任…     

函数不等式的解法探讨

函数背景下的不等式问题是高中数学学习的一个难点 .它体现了知识的交叉渗透 ,注重形象思维能力特别是代数推理能力 ,使抽象性与灵活性紧密结合 ,对思维的多向性、深刻性、独创性、批判性提出了更高的要求 .笔者根据自己的教学实践 ,对这类问题的解题方法作些探讨 .1　直觉探路函数不等式问题通常以最基本的函数为背景 ,往往含有丰富的感性材料 .因此 ,具有顿悟性、突发性、跳跃性等特点的直觉思维可帮助我们发现逻辑思维的方向 .例 1　设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ且ａ≠ 0 ) ,若函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图像与直线 ｙ=ｘ…     

对逆二次函数的探讨

定义 :ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ…… (1)与 ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ…… (2 )称为对逆二次函数。其中ａ≠ｃ ,ａｃ≠ 0。性质 :1、它们有共同的定义域 ,有共同的判别式△ =ｂ2 - 4ａｃ ,当ａ、ｃ同号时 ,其图象的开口方向相同 ,当ａ、ｃ异号时 ,其图象的开口方向相反。2、当ｂ =0时 ,函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ与 ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ都是偶函数。当ｂ≠ 0时 ,都是非奇非偶函数。3、ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ当ａ >0时 ,在区间 (-∞ ,- ｂ2ａ]上是减函数 ,在区间 [- ｂ2ａ,+∞ )上是增函数 ,当ａ <0时则反之。ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ当ｃ <0时 ,在区间 (-∞ …     

"黄金椭圆"之优美性质

设椭圆Ｅ :ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 )半焦距为ｃ,离心率ｅ为黄金数 5 -12 ,称此椭圆为“黄金椭圆”。它有很多优美的性质。性质 1　黄金椭圆的ａ、ｂ、ｃ成等比数列。证明　∵ ｃａ =ｅ=5 -12 ,∴ ａ2 -ｂ2ａ2 =3 -52 ,∴ ｂ2ａ2 =5 -12=ｃａ ,　∴ｂ2 =ａｃ ,故ａ、ｂ、     

数学竞赛专栏——有奖解题擂台 (4 8)

题　设ａ、ｂ、ｃ∈ ( 0 ,2 ) ,且ａ2 ｂ2 ｃ2 ａｂｃ=4 ,求证 :ａｂｃ≥ ( 2 -ａ2 ) ( 2 -ｂ2 ) ( 2 -ｃ2 )≥ ( 4ａ2 -ａ4 -2 ) ( 4ｂ2 -ｂ4 -2 ) ( 4ｃ2 -ｃ4 -2 )。　　 (注　第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )。数学竞赛专栏——有奖解题擂台 (4 8)$上海东沪职业技术学院@陆伟成! (邮编 :2 0 0 1 2 6)