一道竞赛题的别证

题　证明 :对任意实数 a>1,b>1,有不等式a2b- 1 b2a- 1≥ 8.　　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )《中学数学月刊》1999年第 11期、2 0 0 0年第 5期分别用添加项法或配置对偶式进行了证明 .兹给出另外四种证法如下 :证法 1　 (增量代换 )设 a=1 x,b=1 y,x,y∈R ,则a2b- 1 b2a- 1=(1 x) 2y (1 y) 2x≥(2 x ) 2y (2 y ) 2x =4(xy yx)≥ 8.当且仅当 1=x=y,即 a=b=2时取等号 .证法 2　 (三角代换 )设 a=sec2 α,b=sec2 β,α,β为锐角 ,则a2b- 1 b2a- 1=1cos4α· tan2 β 1cos4β· tan2 α=4(1 cos2α) 2 · (1 cos2β) 2s…     

一道竞赛题的别证

2003年北京市中学生数学竞赛(高一)复赛第二大题为: 题如果a,b,c是正数,求证: (a3)/(a2 ab b2) (b3)/(b2 bc c2) (c3)/(c2 ca a2)≥(a b c)/(3).     

一道国际竞赛题的别证

对第26届国际数学奥林匹克试题的第五题,给出一个比较简捷的证明. 题目△ABC中,一个以O为圆心的圆经过顶点A及C,又和线段AB及线段BC分别交于K及N,K与N不同.且△ABC和△BKN的外接圆恰相交于B和另一点M.求证:∠BMO=90°     

一道全国竞赛题的别证与探析

2005年全国初中数学竞赛试题的第12题：如图1，半径不等的两圆相交于A，B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C．D两点，连结BC，BD，设P，Q，K分别是BC．BD，CD的中点，M，N分别是弧BC和弧BD的中点．求证：     

一道初中几何竞赛题之别证

《 中学数学月刊》1997年第2期上介绍了第十一届江苏省初中数学竞赛试题及解答.其中第三道试题为: 设△ABC三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上,另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等.证明:△ABC为正三角形. 这里,笔者给出上述赛题的另一种证法. 证明 如图1,设一边在BC边上的内接正方形DEFG的边长为x.则由△AGF∽△ABC.可得上x/a=(h_a-x)/h~a,于是x=     

一道陈省身杯数学奥林匹克竞赛题的别证

2010年第一届陈省身杯全国高中数学奥林匹克第6题为:问题设正实数a,b,c满足a~3+b~3+c~3=3,证明1/a~2+a+1+1/b~2+b+1+1/c~2+c+1≥1.文[1]、文[2]分别从不同的角度,先后给出了九种证法,笔者读后很受启发,经过探究,仅用三元均值不等式得到了另一种简单证法.     

一道数学竞赛题的简证及加强

过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A、B,所作割线交圆于C、D两点,C在P、D之间,在弦CD上取一点Q,使∠DAQ=∠PBC.求证:∠DBQ=∠PAC.(此题为2003年全国高中数学联赛加试试题)     

一道竞赛题的别解

1999年全国高中数学联赛第五大题:给定正整数n和正数M.对于满足条件a21 a2n 1≤M的所有等差数列a1,a2,a3,…,试求S＝an 1 an 2 … a2n 1的最大值.     

简证一道竞赛题

第31届西班牙数学奥林匹克第2题:证明:如果(x+x2+1)(y+y2+1)＝1,那么x+y＝0.本刊2001年第4期P16给出了上题的一种证法,现给出更简捷的证法.     

一道竞赛题的别解

20 0 2年全国高中数学联赛二试第二大题 :实数 a,b,c和正数 λ使得 f( x) =x3+ ax2+ bx+ c有三个实根 x1 ,x2 ,x3,且满足 ( 1 ) x2- x1 =λ;( 2 ) x3>12 ( x1 + x2 ) .求2 a3+ 2 7c- 9abλ3 的最大值 .笔者在全国联赛阅卷过程中发现学生有如下巧解 :由韦达定理　　x1 + x2 + x3=- a,x1 x2 + x2 x3+ x3x1 =b,x1 x2 x3=- c.123由 1、2及 λ>0 ,不妨设 :x1 =m- n,x2 =m+ n,x3=m+ k( m为任意实数 ,n,k为任意正实数 )∴a=- ( 3m+ k) ,b=3m2 - n2 + 2 mk,c=- ( m3+ m2 k- mn2 - n2 k) ,λ=2 n.设 M=2 a3+ 2 7c- 9abλ3 ,则代入整理得M=14 ( - k3n…     

一道竞赛题的别解

2006年北京市中学生数学竞赛（初二）第三题为： 在五角星形ABCDE中，相交线段的交点字母如图1所示，已知AQ=QC，BR=RD，CR=RE，DS=SA．求证：BT=TP=PE．[第一段]     

一道竞赛题简证

设数列a_0,a_1,a2,…,a_n满足a_0=1/2,及a_(k 1)=a_k (1/n)a_k~2(k=0,1,2,…,n-1),其中n是一个给定的正整数。试证:     

一道竞赛题的简证

题目 求证:在两个连续平方数之间不存在四个自然数am_1 m_2,又由a≥n~2可推知m_1m_2≥n~2,     

一道竞赛题的另证

题目如图1，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，E是△ABC外一点，     

一道竞赛题的简证

在各类数学竞赛中,几何题占有相当大的比例。近年来出现用复数法解几何题的趋势,这种思考方法对于涉及旋转的几何题效果尚好。下面是去年的高中数学竞赛中第二试的一道几何题。原题如下: 如右图,△ABC与△ADE均为等腰直角三角形,AC>AE,今将△ADE绕A旋转,求证不论旋转至什么位置,连线CE上必有一点M,使△BDM为等腰直角三角形。这道题有一定难度,首先在于△ADE位置的不确定性,其次CE上点M的性质也     

一道竞赛题的简证

在1997年安徽省初中数学竞赛中有一道几何选择题（见《中等数学》1998年第1期）如下: 4.在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M,N,使∠MCN=45°,记AM=m,MN=x,BN=n.则 图1以x,m,n为边长的三角形的形状是().(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)随x,m,n的变化而变化的     

一道竞赛题的另证

2013年浙江省高中数学竞赛的附加题是一道不等式证明题.题目设a、b、c∈R+,ab+bc+ca≥3.证明:a5+b5+c5+a3(b2+c2)+b3(c2+a2)+c3(a2+b2)≥9这道不等式题,证明的人口宽,方法多.下面先给出命题组提供的参考答案.证明原命题等价于证明     

一道竞赛题的简证

题目:在以O为圆心的圆中,弦CD垂直于直径AB,而弦AE平分半径OC。求证:弦DE平分弦BC。 (第21届俄罗斯数学奥林匹克)。 证明:如图,连结BD,并设OC的中点为F,弦DE与BC交于点G。