教学反三角函数的几点注意

本文拟从反三角函数性质的讨论入手,通过分析一些错例,介绍反三角函数学习中的五点注意。 1。注意主值区间用反三角函数表示角或求值时。应注意反三角函数的主值区间。例1 若sinx=(3~(1/2))/5,x∈(π/2,π),试用反正弦函数表示。错解 x=arcsin(3~(1/2))/5 [错因分析] arcsin(3~(1/2))/5∈(v,π/2),而x∈《π/2,π)。故上述解答不对。正解∵x∈(π/2,π),     

关于|sinx|≤|x|

一个学过高中兰角的学生,完全可以从容地读懂下例: 证明:对于x∈(0,π/2)有sinx相似文献   

2007年江西卷中的一对姊妹花

文科第8题：若0〈x〈π/2,则下列不等式成立的是 （A）sinx〈2/πx （B）sinx〉2/πx （C）sinx〈3/πx （D）sinx〉3/πx     

抓住特点 灵活转化

数学解题是一个探索过程,有效地实现解题的关键在于对具体问题作具体分折,深入全面地观察题设及结论,抓住特点,找出联系,灵活转化.例1 求函数 y=sinx 2/(sinx),x∈(0,π)的最小值.分析注意到本题的特点是“sinx”及求最小值,可联系上0相似文献   

夯实基础以不变应万变——2013年山东高考文科三角内容试题分析

第9题 函数y=xcosx+sinx的图象大致为(). 解析 结合四个选项,会发现有三个选项均为奇函数,所以先考虑验证函数奇偶性,由f(-x)=-xcos(-x)+sin(-x)=-xcosx-sinx=-f(x),得该函数为奇函数,排除B选项;剩余的三个选项x＜0时,符号有差异,所以验证符号:x∈(-π/2,0)时,cosx＞0,x＜0,sinx＜0,xcosx＜0,所以x＜0时,y＜0,排除C选项;剩余两个选项当x＞0时,符号不同,所以取特值x=π,由πcosπ=-π,sinπ=0,得x=π时,y=-π排除A选项,答案为D.     

关于一个三角不等式的证明

《数学教学通讯》1983年第4期上“证明不等式的若干特殊方法”一文中的例9:若θ∈(0,π/2),求证:cos(sinθ)>sin(cosθ)。笔者认为条件“θ∈(0,π/2)”可以取消,没有必要。现证明如下: 设f(x)=cos(sinx)-sin(cosx) (x∈R) 则 f(x)=cos(sinx)-cos(π/2-cosx)=-2sin((sinx-cosx+π/2)/2)×sin((sinx+cosx-π/2)/2)     

当“取等”失效后…(高二、高三)

题求y=2/sinx sinx/2(0相似文献   

一道错题的改正

对本刊《高中代数目标测试题》(1989)中三角函数综合测试题第六题的解法提示改正如下. 原题(P14) 作函数y=cosx·1-sinx/1 sinx~(1/2) |sinx|,x∈(-π/2,3/2π)的图象草图。解法提示(P49)     

y=sinx/x单调性的几何证明

用定义证明函数y=sinx/x,x∈(0,π/2)为单调减函数,比较麻烦,不妨试用几何方法。下面提供一种几何证法。     

一道数学竞赛题的解后反思

问题 设x∈(0,π/2),则函数y=225/4sin2x+2/cosx的最小值为_____. 此题是2007年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第10题,竞赛组委会给出的标准答案如下: 解:因为x∈(0,π/2),所以sinx＞0,cosx＞0,设k＞0,y=225/4sin2x+ksin2x+1/cosx+1/cosx+kcos2x-k≥15(√)2kk+3(√)3k-k①.等号成立当且仅当{225/4sin2x=ksin2x 1/cosx=kcos2x＜＝＞{sin2x=15/2(√)2k cos2x=1/(√)3k2,此时15/2(√)2ｋ+1/(√)3ｋ2＝1,设1/k=t6,则2t4+15t3-2=0,而2t4+ 15t3-2=2t4-t3+16t3-2=t3(2t-1)+2(2t-1)(4t2+ 2t+1)=(2t-1)(t3 +8t2 +4t +2),故(2t-1)(t3+8t2+4t+2)=0.     

导数用于证明不等式

导数是近些年来高中课程加入的新内容,是一元微分学的核心部分．本文就谈谈导数在一元不等式中的应用．例1已知x∈(0,π/2),求证：sinx＜x＜tanx．证明构造函数f(x)=x-sinx,g(x)=tanx-x,x∈(0,π/2),则f′(x)=1-cosx＞0,g′(x)=sec~2x-1＞0．所以f(x),g(x)在(0,π/2)内是单调递增函数,     

三角函数问题中的几个误区

学生在三角函数的学习过程中,经常会出现因审题不清、思考不周而造成的解题错误,仔细究其原因,是由于陷入以下几个误区.误区之(一):忽略角的范围例1:已知sinx+cosx=31(00,可将x的范围缩小到(π2,3π4),再由π<2x<32π得出cos2x=-!917.误区之(二):忽略定义域、值域的讨论例2:求函数y=12-ttaannx2x的周期.错解:∵函数y=12-ttaannx2x=tan2x,∴T=π2.分析:上面错解忽略了对函数定义域的讨…     

求函数y=(a/cosx)+(b/sinx)最值的方法

求函数y=sinx+cosx的最值,同学们都觉得容易,但是求函数y=(a/cosx)+(b/sinx),其中a,b>0,x∈(0,(π/2))的最值就有难度了.本文将给出三种解法.     

一道高考题的换元证法

题 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),若x_1,x_2∈(0,π/2),x_1≠x_2,证明 1/2[f(x_1) f(x_2)]>f((x_1 x_2)/2)。 证 令a=tg(x_1)/2,b=tg(x_2)/2,则a,b∈(0,1),a≠b,因所证不等式就是     

高考一道数学题的加强

1994年全国高考理科数学第(22)题为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),若x_1,x_2∈(0,π/2),且x_1≠x_2,证明1/2〔f(x_1) f(x_2)〕>f(X_1 X_2/2)。 其实,该题可以加强为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),     

基于思维分析的均值不等式解题教学策略

均值不等式教学后,我们发现学生大多只关注形,而忽视整体的理解.即如讲完均值定理后,让学生考虑:求y=sinx+4/sinx的最小值,x∈(0,π).很     

用均值不等式求最值易陷于的一些误区

均值不等式是解决最值的重要工具,但由于其约束条件苛刻,不少同学在使用时常常顾此失彼,导致解题失误.下面以同学们易陷于的误区举例分析如下:一、忽视等号成立条件例1求y=sinxcosx+sinx1cosx(0相似文献   

一道自主招生试题多种解题思路的思考

[试题](2010年北京大学自主招生考试数学试卷第4题)是否存在x∈(0,π/2),使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列. [解析]思路一:若存在这样的x,使得sin x,cosx,tanx,cotx为等差数列,则应有     

单调性的应用(高一、高二、高三)

1.求方程的根 例1 求满足方程2sin2x sinx-sin2x=3cosx的锐角x的值.(03年湖南省高数竞) 分析 对于同一单调区间内的两个变量x1,x2,若f(x1)=f(x2),则必有x1=x2. 解 因为 x为锐角,所以 cosx≠0.方程两边同除以cosx得 2sinx·tanx tanx-2sinx=3,即 (2sinx 1)(tanx-1)=2.因为 函数f(x)=(2sinx 1)(tanx-1)在(0,π/4)内f(x)<0,在[π/4,π/2)内严格单调递     

对不等式sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8的再探究

在△ABC中,有一个熟知的不等式sin A/2sinB/2sinC/2≤1/8.本文借助琴生不等式给出它的几个推广. 琴生不等式 设f″(x)＜0,则 1/nn∑i=1f(xi)≤f(1/nn∑i=1xi) 即 n∑i=1f(xi)≤nf(1/nn∑i=1xi) 引理 若f(x) =sinx,x∈(0,π),则 f"(x)＜0. 定理1 在△ABC中, sinA/nsinB/nsinC/n≤sin3π/3n(n∈N*).