谈坐标增量法在解析几何中的应用

显而易见,一条与坐标轴不垂直的线段在坐标轴上的射影仍为一条线段,且线段的中（分）点的射影仍然是射影线段的中（分）点．     

运用射影思想探索解几综合题

运用射影思想探索解几综合题李若芬（青海省西宁十二中８１０００１）《解析几何》、课本中介绍的两点间的距离公式，线段的定比分点公式，直线斜率公式以及点到直线的距离公式，都是通过作点或线段在坐标轴上的射影，化二维空间的问题为一维空间的问题，利用平几的有关知...     

浅谈高等几何在初等几何中的应用

高等几何对中学几何,特别是对解析几何有重要的指导作用。本文拟就如何用高等几何的方法解决中学几何,特别是初等几何中的一些问题进行了初步探讨。一、仿射变换的应用1、利用平行射影证明几何题平行射影是最简单的仿射变换,利用两条直线间的平行射影将图形中不共线的点和线段投射成共线的点和线段,可使一些命题的证明简化。例1(menelaus定理)在三角形的边或其延长线上,三个分点共线的主要条件是顶点到分点与分点到这边上另一顶点的有向线段的值的比的乘积等于-1。已知:如图,在△ABC中,点L、M、N分别是AB、BC、CA上(或延长线上)的点。…     

线段定比分点公式的几种推导及定比λ

线段定比分点公式是解析几何的基本公式．本文用射影、平面几何、向量的坐标等四种方法对线段定比分点公式进行了推导．针对学生在学习和运用线段定比分点公式时所出现的错误，进一步讨论了定比A的范围．设直线上两点P1、P2坐标分别为（x1，y1）、（x2，     

基本图形长方体的联想

一、由直二面角,联想到长方体 例1 线段AB长为2,端点A、日分别在一个直二面角的两个面上,AB和两个面所成的角分别是45°和30°,那么点A,日在这个二面角的棱上的射影A1、B1间的距离是——．     

一个命题的推广及其应用

有这样一个命题:正三角形内任一条长为a的线段PQ,在三边上的射影为m、n、l,则:m~2 n~2 l~2=1/2·3a~2;很容易验证对正方形内任一条长为a的线段PQ,在各边上的射影为m、n、l、r,则m~2十n~2十l~2 r~2=2a~2(即1/2·4a~2)也是正确的。(如下图)有了以上两例作基础,我们将其推广到一般情况,并证明其正确性:正n边形内任意一条长为a的线段PQ,在各边上的射影为a_1、a_2、…、a_n,则 a_1~2 a_2~2 … a_n~z=1/2·na~2 引理:正n边形内任意一条长为a的线段PQ平移到任何位置不改变它在各边上射影的长。     

射影概念教学的探讨

几何概念揭示形的本质属性,掌握它们往往比代数概念更为困难。几何概念的教学,应从认识水平出发,讲究科学的训练序列。本文以”射影”概念为例,谈一点教学的浅见。 1.加强直观,讲清概念。结合教具,以点在平面上的射影为基点,讲授线段、直线     

例析"求线段长度"中的数学思想

一、数形结合思想 例1如图1,点C是线段MN上的点,D、E分别是线段MC和NC的中点。     

基本图形长方体的联想

一、由直二面角联想到长方体 【例1】线段AB长为2,端点A、B分别在一个直二面角的两个面上,AB和两个面所成的角分别是45°和30°,那么点A、B在这个二面角的棱上的射影A1、B1间的距离是（ ）。     

降维法解题

变量的个数称为“维数”,平面是二维空间．《解析几何》课本中两点间距离公式,线段定比分点公式,直线的斜率公式以及点到直线的距离公式,都是通过作点或线段在坐标轴x轴（或y轴）上的射影,将问题转化为只与横坐标（或纵坐标）有关问题,化二维空间的问题为一维空间的问题,     

利用交比、简比求射影对应式和射影变换式

交比是射影几何中的唯一基本不变量,是射影几何的一个至关重要的概念和工具,而简比是仿射变换下的基本不变量。在高等几何教学中抓住交比和简比这个基本不变量,可以加深对射影几何的理解,交比的定义在许多射影几何教材中都表述为两个简比之比（或四线段之比）。可是三点A、B、C的简比作为两线段AC、BC的长度之比。在欧几里德空间中,点是有顺序的,同一直线上的任意三点,总有一点在另外两点之间,因此线段有“内部”和“外部”之分。欧几里德空间中三点的简比的符号反映了这一顺序关系。简比（ABC）是负的就标志着C在A、B之间,…     

巧用射影定理

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这个定理反映的是直角三角形中成比例的线段关系．定理在有关计算和线段的积、商的证明中有着广泛的应用，也是各级、各类学校升学考试及国内外数学竞赛的考查热点内容之一、     

“射影证法”的改进

贵刊1988年第七期发表了郑必建同志的《比例线段的射影证法》一文,阅后颇受启发。但他所采用的垂直射影的特殊辅助证法,我认为可用更一般的射影手法,以避免在平几证题中添置过多的辅助线。该文所述的方法是:先作一条不与比例线段所在直线垂直的直线l,再将有关的点、线段垂直投影到l上,形成满足平行线截线段成比例定理之条件,使命题得以证明。例如,美耐劳斯定理: 直线     

试谈解几中线段成比例的转化技巧

纵观近几年的高考解几综合题,线段成比例的试题频频出现(1995年高考的文、理科压轴题都是此类题型),对考生提出了较高的能力要求,致使许多考生望而生畏,中途却步。究其原因,关键在于这些考生只是简单地利用两点距离公式对线段之比作形式上的转换,从而使参数偏多,运算复杂冗长,迫于无奈而舍弃。为此,本文给出几种普遍适用且解法简捷的转化技巧,供同学们参考。 1 将线段之比转化为在同一坐标轴上的射影之比     

扩大欧氏平面上的线段上

本为解答二次曲线过焦点的弦长问题，用射影几何的观点，修改了的观点，证明了有关定理，列举了具体例子，圆满地解决了广义极坐标下，求过极点的线段长的问题，并且更一般地解决了扩大欧氏平面上“过某点的线段长”的问题，规定了线段长与其两极点间距离的关系。     

利用射影思想简化解析几何计算

不少解析几何问题含参变量多,运算量大,许多优秀学生往往因运算繁杂、费时过多而影响得分.这里,向同学们介绍用射影思想来简化解析几何运算的策略.一般地,当题设涉及几条共线段或平行线段的长度(或比值)时,可作出各端点在x轴或y轴上的射影,化为坐标轴上的有向线段数量来表示,从而便于运算.     

扩大欧氏平面上的线段长

本文为解答二次曲线过焦点的弦长问题，用射影几何的观点，修改了文（４）的观点，证明了其有关定理，列举了具体例子，圆满地解决了广义极坐标下，求过极点的线段长的问题，并且更一般地解决了扩大欧氏平面上“过某点的线段长”的问题，规定了线段长与其两端点间距离的关系。     

线段中的数学思想

一、数形结合思想 例1 如图1,点C是线段MN上一点,D、E分别是线段MC和线段CN的中点,若MC=5cm,CN=7cm,则DE=（ ）cm。     

四面体中的三个定理及其应用

众所周知,在三角形中有正弦定理、余弦定理、射影定理,它们揭示了三角形中边角间的重要关系.这三个定理联系紧密,并可互相推出.在四面体中,也有类似的三个定理,它们表示了面角与二面角之间的关系,当然也可彼此互推. 在四面体O-ABC中,设三个面角分别为α、β、γ,对应的二面角分别为θ-α、θ-β、θ-γ,（如图1）则有 定理1 cosα=cosβ·cosγ sinβ·sinγ·cosθ_α cosβ=cosα·cosγ sinα·sinγ·cosθ_β cosγ=cosα·cosβ sinα·sinβ·cosθ_γ 证明 利用有关射影的定理:（1）平面上折线的各边射影之和等于封闭线段在射影轴上的射影.（2）直线在轴上的垂直投影等于被投线段的长度乘以该线段和轴的交角的余弦.     

如何确定点或直线在平面上的射影位置

点或直线在平面上的射影位置是立体几何中的基本问题 ,许多立体几何问题往往都需要归结为确定点或直线在平面上的射影 .确定点或直线在平面上的射影没有一个统一的方法 ,主要是根据有关的定理或结论 .下面是几个常用的结论 .1 两平面垂直时 ,一个平面内的点在另一个平面上的射影必在这两个平面的交线上 ;2 如果平面外一点到平面内一个角的两边距离相等 ,则该点在这个平面上的射影在这个角的平分线上 ;3 平面外一条直线 ,如果经过平面内一个角的顶点 ,而且与这个角两边成等角 ,则这条直线在平面上的射影是这个角的平分线 ;4 若三棱锥的三条…