例谈非常规数列求和的方法

数列求和问题是高考的热点问题,它的基本求解方法是公式法,即利用公式(Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2d)和(Sn={na1,q=1,a1(1-qn)/1-9,q≠1)求等差数列、等比数列的前n项和.但针对一些非常规数列的求和问题,公式法不太适用,要通过其他方法进行针对性解题.     

一类三角有限和式的求和公式

本文对形如∑^n(k=1)sin^mp(x (2k-1)/2nπ)、∑^n(k=1)cos^mp(x (2k-1)/2nπ)三角有限和式求和进行了一些探讨，并给出了一组公式。     

等差数列前n项和公式的变形应用

等差数列前n项和公式Sn=na1+n(n-1)/2d，可化为Sn=d/2n^2+(a1-d/2)n，我们令A=d/2，B=a1-d/2，这个公式变形为一个关于n的二次多项式Sn=An^2+Bn(其中A=d/2)，这个公式不仅形式简单，而且还有广泛用途，下面以历年高考试题举例说明．     

公式sum from k=1 to n (k~3=[(n(n+1))/2]~2)的几种建立方法

本文利用公式sum from k-1 to n(K=(n(n+1)/2))、sum from k-1 to n(K~2=(1/6)n(n+1)(2n+1))给出了六种不同的关于公式sum from k=1 to n(K~3=[n(n+1)/2)]~2)的建立方法。     

求和公式在图形问题中的应用

<正>数的计算中有这样一个公式:1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2.这是一个求和公式,这个公式具有很强的概括性和实用性,将这个公式稍加变形将会有更好的应用.如:(n-1)+(n-2)+…+3+2+1=n(n-1)/2.下面     

关于积分∫0^＋∞ n↑∑↓k=1 Ak f（akx）／x^2 dx 的计算及应用

利用Froullani积分公式及其推广，给出了一类形如∫0^ ∞ n↑∑↓k=1 Ak f(akx)/x^2 dx的广义积分的计算公式及应用．     

等差数列一等价公式的应用

我们知道,等差数列{an}中,前n项和的公式是sn=n(a1 a2)/2或sn=nan n(n-1)/2d.……     

等差数列一等价公式的应用

我们知道,等差数列{an}中,前n项和的公式是sn=n(a1 a2)/2或sn=nan n(n-1)/2d.……     

巧用“n(n-1)/2”解个数问题

正所谓特殊公式,就是运用基本公式经过变形和推导得出的公式,恰当地运用特殊公式能简化解题过程,提高解题效率,也能解决一定按常规思路和方法解决不了的问题,便于学生形成技能技巧.但要注意的是巧用特殊公式时,一定要注意特殊公式的使用条件,不能一概而论.下面以"n(n-1)/2"这个特殊公式举例说明在解个数问题方面的一些妙用.     

巧用二项公式

我们知道,当n是正整数时有即x~n-y~n能被x-y整除; 当n是正奇数时有 即x~n y~n能被x y整除. 我们感兴趣的是二项公式具有可整除性的特点,它能巧妙应用于证明等比数列前n项和的公式,数列递推通项公式,解某一类特殊方程,多项式因式分解,证某一类不等式等。 例1 证明等比数列前n项之和的公式 应用二项公式可以给出一种简捷的证法。 证明:设等比数列为 则 上式两边乘以(1-q), 得(1-q)S_n=a_1(1-q~n), ∴S_n=a_1(1-q~n)/1-q (q≠1).     

关于等差数列的一个重要定理

教材中对等差数列的概念、通项公式 a_n=a_1 (n-1)d,前 n 项和的公式 s_n=n(a_1 a_n)/2中的五个基本量 a_1,d,n,a_n,S_n,只要求“知三求二”.但在竞赛题中有一大类较特殊的数列求前 n 项之和用以上知识不易解决.本文先给出关于等差数列的一个重要定理,并给出完整的证     

某类递推公式通项的一种解法

1问题的提出在科学研究和生产实践中往往会碰到某些量之间存在着某种递推关系，其数学表达式即为递推公式，例如dn+2=b1(n)an+1+b2(n)an+b3(n)(n=0,1……）（1）其中bi（n）（i=1，2，3）是关于n的已知函数，就是一种H阶线性递推公式。递推公式具有形式简单、应用广泛等特点，但由递推关系求其通项却没有一般方法可循。本文仅就线性递推公式通项的求法作一些探讨，给出了一种一般解法。尤其对变系数递推公式求通项给出了比较实用的方法，此方法还可解决某种类型的非线性递推公式。2问题的解决我们用幂级数作为工具来求某类递推公式的通项，…     

关于三角形数补数及其渐近性质

对任意正整数n，设a(n)表示n的三角形数补数，即就是a(n)是最小的非负整数使得n a(n)为一三角形数m(m 1)/2．用初等和解析的方法研究了三角形数补数列{a(n)｝(n=1，2，3，…)的渐近性质，给出了两种不同类型的渐近公式．     

应用函数思想解数列题例说

在等差数列的通项公式a_n=a_1 (n-1)d中,通项a_n可以看成是项数n的一次函数(它的定义域是自然数),对一切n∈N,点(n,a_n)共线。 又等差数列前n项和的公式S_n=na_1 (n(n-1)/2)d,可以变形为以下形式,即S_n=(d/2)n~2 (a_1-(d/2))n。因此,公差不等于零的等差数列,前n项的和S_n可以看成是关于n的常数项为零的二次函数,即S_n=an~2     

一个求和公式的组合证法

<正> 在高中代数中有这样一个求和公式:12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1). (*)这个公式有各种证明方法,这里提供一种证法,供大家欣赏.这一证法主要运用了组合数的定义及性质Cnk+1=Cnk+Cn(k-1).由n2=(n+1)n-n=2·((n+1)n)/2-n中的((n+1)n)/2可     

对平方数累加公式的探讨

记得自己当学生时，是在教科书的封面上第一次看到平方数的累加公式：1^2 2^2 3^2 … n^2=n(n 1)(2n 1)/6的，除了这个公式，封面上还画着金字塔状的“四角垛”，心里很是惊奇一这个公式的发现是多么的神奇，居然能“拼凑”出这种关系．当时自己虽然能够用数学归纳法证明这公式，但“只知其然，     

自然数方幂和与伯努利数（下）

四、伯努利数的性质、应用及其他 雅谷在给出自然数方幂和公式的同时,还给出了B_n的递推公式: n≥2时,B_n=。 由此可(递推地)由B_0,B_1,B_2,…,B_n给出B_(n 1)来。 G.Polya曾将伯努利方幂和公式“形式     

数列的递推关系一例

中学数学中数列的给出方法通常是给出它的通项公式，即用项数n表达项值an的解析式：an=f(n)。数列的另一给出方法是用前n-1项的值表达第n项的值：a1=a，an=fn(a1，a2，…，an-1)(n≥2)，或Fn(a1,a2…，an)=0(n≥1)，这里永远假定方程关于an可解。这种关系式叫做数列的递推公式。     

求数列前n项和常用方法总结

<正>我在学完数列这部分内容后,发现数列求和问题有以下几种常用方法,现做一些探讨,与大家共享。一、公式法(定义法)1.等差数列求和公式:S_n=n(a_1+a_n)/2=na_1+n(n+1)/2 d。特别地,当前n项的个数     

等差数列“和”性质与试题多解

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，除了课本中介绍前n项和Sn的两个公式，即Sn=(n(a1 an))/2和Sn=na1 (n(n-1)d)/2，以及在所有数列中都有an={Sn-Sn-1,n≥2, S1,n=1， 还可得到关于Sn的下列几个常见性质。