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梁增康 《中学数学教学参考》1999,(10)
题目:已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,求a2-ab+b2的取值范围.(1998年湖北黄冈市初中数学竞赛题)解:令k=a2-ab+b2,由于a2+ab+b2=1,当ab=0(a、b不能同时为零)时,不妨设a=0,则b2=1,易得k=1.当ab≠0时,不失一般性,不妨设|a|≤|b|.作等腰△ABC,使底边AB=2|a|,高CD=|b|.设AC=BC=c,△ABC的面积为S,∠ACB=α,则0°<α2≤45°,0°<α≤90°,0<sinα≤1,|ab|=S=12·c2sinα.(1)若ab… 相似文献
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不等式a2+b2≥2ab是我们最熟悉的基本不等式,它有许多变式:(1)a2+b2≥12(a+b)2;(2)(a+b)2≥4ab;(3)1a+1b≥4a+b(a>0,b>0);(4)ab+ba≥2(ab>0);(5)a2b≥2a-b(a≥0,b>0);(6)a3b≥2a2-ab≥32a2-12b2(a≥0,b>0).以上6个不等式当且仅当a=b时取等号.这6个变式的证明都较简单,下面通过举例仅介绍变式(5)、(6)的应用.例1 已知a>1,b>1,c>1,求证:a2b-1+b2c-1+c2a-1≥… 相似文献
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题目分解因式:(a+b)(a+b-2ab)+(ab-1)(ab+l).(1994年武汉市初二数学竞赛试题)解法1──整体法视a+b、ab各为一个整体,将多项式进行整理,得原式=(a+b)2-2ab(a+b)+(ab)2-1=[(a+b)-ab]2-1=(a+b-ab+1)(a+b-ab-1)=(ab-a-b-1)(ab-a-b+1).解法2──主元法视a为主元,将多项式进行整理,得原式=(b2-2b+1)a2-2b(b—1)a+b2-1=[(b—1)a]2-2b(b—1)a十b2-1=[(b-1… 相似文献
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数学高考复习检测题陕西永寿县中学秦永西北轻工业学院附中李亚明一、选择题(1)已知集合M={a,b},N={t|t2-1t+1=0},M∩N=N,则有().A.a=1,b∈RB.a=b=1C.a=1,b≠1D.a=1,b≠1或a≠1,b=1(2)函数f... 相似文献
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运用“a+b≥2ab”求最值错解2例兰州市十六中景曼桂在求解最值问题时,巧妙地运用重要不等式“a+b≥2ab”(或a+b+c≥33abc)常常能使问题简化。但一些学生在运用中容易忽视公式成立的条件,以致造成错解。现举2例。例1.已知x,y>0,a,b... 相似文献
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完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是数学中一个重要公式,应用非常广泛.现举几例说明这个公式在根式运算中的应用.例1已知则(1995年宁夏中考试题)解 逆用完全平方公式,得例2 如果x2+y2-4x-2y+5=0,求的值.(1994年宁夏中考试题)解 把已知等式左边配方,得(x2-4x+4)+(y2-2y+1)=0.即(x-2)2+(y-1)2=0.由非负数的性质,得x=2,y=1.原式例3已知,那么的值等于()vxvyzxy(A)子;(B)斗;(C)士;(D)手.(1994年济南市中考… 相似文献
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1不等式“(a—b)2≥0”直接在解题中应用 [例1]如图1所示,电阻 r1≠ r2,当 S断开时, a、 b两点间的总电阻力 R1;当 S闭合时,a、b两点间的总电阻力R2.则有: (A)R1>R2. (B)R1<R2. (C)R1=R2.(D)无法确定. 解:当S断开时,r1与r2先串联后再相互并联,R1当 S闭合时,r1与r2先并联后再串联, R2=作 R1、R2的差:故有R1>R2,答案为A.2不等式“(a—b)2≥0”经变形为a2+b2≥2ab后再加以应用 [例2]如图2所示,一根长4m的木杆,下端用… 相似文献
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吕冬梅 《中学数学教学参考》1999,(11)
1998年《数学教师》第4期刊载了吴传启先生的文章《四个平均值=四条平行线》.此文讨论了两个正数的平均值与一个梯形的四条平行线之间的对应相等关系.其结论如下:梯形ABCD的上底AB=a,下底DC=b,对角线交于O点,过点O作EF∥AB;作PQ∥AB且使梯形ABQP和梯形PQCD相似;作GH为中位线;作MN∥AB且使梯形ABNM和梯形MNCD等积,则有:(1)EF=21a+1b(调和平均值);(2)PQ=ab(几何平均值);(3)GH=a+b2(算术平均值);(4)MN=a2+b22(二次幂平均值… 相似文献
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在数学解题中;经常碰到已知条件为a+b+c=0,求取值范围、最值等问题,这时若把此条件转化为不等关系b^2≥4ac(因b^2-4ac=[—(a十c)]^2—4ac=(a—c)’≥0)去解题,往往能收到事半功倍之效,下面举例说明. 相似文献
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申祝平 《中学数学教学参考》1996,(5)
1996年中考数学模拟训练(一)陕西师大附中申祝平一、判断题1.数据1,9,9,6,5,10的中位数是7.5.2.如果19m=96n,那么.3.若a是有理数,b是无理数,则a+b,a-b,ab,都是无理数.4.已知五点:O(0,0),A(1,-1),... 相似文献
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高考数学试题中渗透参数思想,是注重考查学生能力的一个标志,这一思想方法不仅在中学数学中经常应用,而且对研究和解决问题具有普遍意义.本文着重探讨一下合理引参处理问题的优越性.1 优化解题过程合理地引入参数,往往可以优化解题过程、减少运算量.例1 设|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:a+b+c+abc1+ab+bc+ca<1.证明 令x=a+b+c+abc1+ab+bc+ca,则原不等式等价于|x|<1-1<x<1(x+1)(x-1)<0.∵ x+1=(a+1)(b+1)(c+1)1+a… 相似文献
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余建华 《中学数学教学参考》1998,(12)
本文简要介绍什么是优化假设,如何优化假设解数学问题.一、什么是优化假设先让我们看一个例子:例1设a,b∈R+,求证:aabb≥aba.证明:由给出的不等式关于a、b的对称轮换性,不妨设a≥b>0.于是aabbaba=aa-bb-a=(ab)a-b.∵... 相似文献
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因式分解是初中代数的重要恒等变形,其变形的技巧性强,且应用广泛.因此,因式分解的应用成为数学竞赛的热点之一.为此本文举例说明因式分解在竞赛中常见的几种应用,供同学们参考.一、用于计算例11.23452+0.76552+2.469×0.7655=().(1991年希望杯全国数学邀请赛初一试题)解原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=4.二、用于求值例2设a、b、c、d都是自然数,且a5=b4、c3=d2、a-c=17.求d—b的值.… 相似文献
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巧用等比性质,可使许多问题变得简单易解,下面举例说明之.例1 已知a-cb=ca+b=ba,求ba的值.解 ∵a-cb=ca+b=ba,∴ ba=a-c+c+bb+a+b+a=a+b2(a+b)=12.例2 已知ctgα=2,求ctgα+2+cosα2+sinα的值.解 ∵ctgα1=21=cosαsinα,∴ctgα+2+cosα1+1+sinα=2,即ctgα+2+cosα2+sinα=2.例3 求n3n-9n+27n5n-15n+45n的值.解 ∵3n5n=-9n-15n=27n45n=3… 相似文献