向量法解平面解析几何题

向量是数学中的重要概念之一 ,全日制普通高中教科书 (试验修订本 )《数学》增加了平面向量内容。由于向量具有几何形式和代数形式“双重身份” ,使它成为中学数学知识的一个交汇点 ,成为联系多项内容的媒介。特别是在处理度量、角度、平行、垂直等问题时 ,向量工具有其独到之处。下面举例说明平面向量在平面解析几何中的应用。 (注　本文向量均用黑体字母表示。)例 1　椭圆 ｘ29 ｙ24=1的焦点为Ｆ1、Ｆ2 ,点Ｐ为其上的动点 ,当∠Ｆ1ＰＦ2 为钝角时 ,点Ｐ横坐标的取值范围是。 (2 0 0 0年高考题 )解　由题意设三点为Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,Ｆ1(-5 ,…     

向量法解高考解析几何试题

向量是新编高中数学的基本内容 .向量的引入可以启迪学生从一个新的角度分析、解决一些综合问题 ,有益于开发学生智力 ,提高学生能力 .下面就近几年高考题中的部分解析几何题目用向量法给予解答、阐述 .1　利用两个非零向量 ａ =(ｘ1,ｙ1) , ｂ =(ｘ2 ,ｙ2 )的数量积 ａ· ｂ=ｘ1ｘ2 +ｙ1ｙ2 .例 1　 (2 0 0 0年全国高考题 )椭圆 ｘ29+ｙ24 =1的焦点为Ｆ1、Ｆ2 ,点Ｐ为其上的动点 ,当∠Ｆ1ＰＦ2 为钝角时 ,点Ｐ横坐标的取值范围是 .解　由题意设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,Ｆ1(- 5 ,0 ) ,Ｆ2 (5 ,0 ) ,则ＰＦ1=(- 5 -ｘ0 ,-ｙ0 ) ,ＰＦ2 =(5 -ｘ0 ,-…     

高考圆锥曲线填空题分类解析

解析几何是高中数学的重点内容 ,纵观历年高考试题不难发现 ,几乎每年都有一道圆锥曲线的填空题 .下面结合近年的高考试题 ,根据考查圆锥曲线的不同形式进行分类归纳 ,并探讨其解题规律 ,供参考 .一、求取值范围通常是根据已知条件 ,构造出相应的不等式 ,从而求出取值范围 .例 1　 (2 0 0 0年全国高考题 )椭圆ｘ29+ ｙ24 =1的焦点为Ｆ1、Ｆ2 ,点Ｐ为其上的动点 .当∠Ｆ1ＰＦ2 为钝角时 ,点Ｐ横坐标的取值范围是.解 :由题意知Ｆ1(- 5 ,0 ) ,Ｆ2 (5 ,0 ) .设椭圆上的动点Ｐ的坐标是 (ｘ ,ｙ) ,有ｙ2= 4 - 49ｘ2 ,又∠Ｆ1ＰＦ2 是钝角且△Ｆ1Ｐ…     

椭圆的一类命题证明及应用

命题 1　已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ｃ2 =ａ2 -ｂ2 ) ,则椭圆上存在点Ｐ ,它与两焦点Ｆ1、Ｆ2 连线互相垂直的条件是ｂ≤ｃ <ａ .证 :设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )　Ｆ1(-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ ,0 )∵ＰＦ1⊥ＰＦ2∴ (ｙ0 -0 ) (ｙ0 -0 ) (ｘ0 ｃ) (ｘ0 -ｃ) =0即 :ｘ20 ｙ20 =ｃ2亦即 :｜ＰＯ｜=ｃ(Ｏ为坐标原点 )又∵椭圆短半轴是ｂ ,长半轴是ａ ,Ｐ又在椭圆上∴ｂ≤ｃ <ａ命题 2　已知Ｐ是椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ｃ2 =ａ2 -ｂ2 )上的点 ,且ｂ≤ｃ <ａ ,Ｆ1、Ｆ2 为其焦点 ,若∠Ｆ1ＰＦ2 =90° ,则△ＰＦ1Ｆ2 的面积为定值ｂ2 .证 :由已知得 :　｜…     

2001年高考第14题的六种解法

题目　双曲线 ｘ29-ｙ21 6 =1的两个焦点为Ｆ1 、Ｆ2 ,点Ｐ在双曲线上 .若ＰＦ1 ⊥ＰＦ2 ,则点Ｐ到ｘ轴的距离是 .这是一道典型的与焦点三角形有关问题 .焦点三角形是指以椭圆 (或双曲线 )的焦距Ｆ1 Ｆ2 为底边 ,顶点Ｐ在椭圆 (或双曲线 )上的三角形 .分析　本题与 2 0 0 0年高考第1 4题类似 ,有多种思路 .设点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则 ｜ｙ0 ｜就是点Ｐ到ｘ轴的距离 ,故只需求出点Ｐ的纵坐标即可 (如图 1 ) .解法 1　焦半径法在双曲线中 ,ａ=3,ｂ =4,ｃ=5.依焦半径公式知｜ＰＦ1 ｜=53ｘ0 3,｜ＰＦ2 ｜=53ｘ0 -3,由勾股定理 ,得｜ＰＦ1 ｜2 …     

与二次曲线有关的两个定理及应用

在解析几何中 ,求与二次曲线中点弦有关的系列问题 ,很多同学都是通过直线和二次曲线组成的方程组来进行讨论 ,往往都很繁 .本文通过介绍两个定理 ,提供一个极其简单的方法来求解这一类问题 .定理 1　已知曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0为二次曲线 ,Ｑ为直角坐标平面内一点 ,其坐标为 (ｍ ,ｎ) .则恒有 :(1)曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0和曲线Ｃ′ :Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ-ｙ) =0关于Ｑ点对称 ;(2 )直线ｌ :Ｆ(ｘ ,ｙ) -Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ - ｙ) =0为过Ｑ点的一条直线 ;(3)若直线ｌ和曲线Ｃ相交于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则直线ｌ和曲线Ｃ必有另一公共点Ｐ′(2ｍ -ｘ0 ,2ｎ…     

抛物线切线的几个性质及其判定

笔者在研究抛物线的有关问题时 ,意外地得到了抛物线切线的几个性质及其判定方法 ,现以定理的形式介绍如下 :定理 1　Ｐ是抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ上一动点 ,Ｍ是点Ｐ在准线上的射影 ,Ｆ为焦点 .过Ｐ点的直线ｌ是该抛物线切线的充要条件是直线ｌ垂直于直线ＭＦ .　　　　　图 1说明　设Ｐ点坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,则Ｍ(-ｐ2 ,ｙ0 ) ,Ｆ(ｐ2 ,0 ) ,当Ｐ点为抛物线顶点 ,即 ｙ0=0时 ,定理显然成立 ;当Ｐ点不为抛物线顶点 ,即 ｙ0 ≠ 0时 ,充分性　由题设知直线ＭＦ的斜率　　　ｋＭＦ =ｙ0- ｐ2 - ｐ2=- ｙ0ｐ.因直线ｌ⊥ＭＦ ,且Ｐ∈ｌ,由直线方程的…     

辨析一道解答似对而非的题目

题目 :Ｐ是椭圆ｘ21 6 ｙ22 5=1上的点 ,Ｆ1、Ｆ2为其焦点 ,若∠Ｆ1ＰＦ2 =90°,求△ＰＦ1Ｆ2 的面积 .解 :∵Ｓ△ＰＦ1Ｆ2 =12 |Ｆ1Ｆ2 |·|ＰＦ2 |,而|ＰＦ1| |ＰＦ2 |=1 0 ,|ＰＦ1|2 |ＰＦ2 |2 =|Ｆ1Ｆ2 |2 =3 6 ,联立求解得|ＰＦ1|·|ＰＦ2 |=1 0 0 -3 62 =3 2 .∴　Ｓ△ＰＦ1Ｆ2 =1 6 .一、以上解答正确吗 ?以上解答看上去无懈可击 ,但实际不正确 .我们再看以下解法 :其解法思路是先求出满足条件的Ｐ点坐标 ,然后再求△ＰＦ1Ｆ2 的面积 ,设满足题目条件的点Ｐ坐标为Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) .∵∠Ｆ1ＰＦ2 =90°,∴ ( ｙ0 3 ) ( ｙ0 -3 ) ｘ0…     

导数在高考中的三项基本应用

应用 1:利用导数的几何意义解题函数 ｙ =ｆ(ｘ)在ｘ0 处的导数的几何意义 ,就是曲线 ｙ =ｆ(ｘ)在点Ｐ(ｘ0 ,ｆ(ｘ0 ) )处的切线的斜率 .例 1　若抛物线ｙ =4ｘ2 上的点Ｐ到直线ｙ =4ｘ - 5的距离最短 ,则点Ｐ的坐标为 .　　解 :在抛物线 ｙ =4ｘ2 上求一点Ｐ到直线ｙ =4ｘ - 5的距离为最短 ,即找一点Ｐ使过该点的切线与直线 ｙ =4ｘ - 5平行 .对函数ｙ =4ｘ2 求导 ,得 ｙ′ =8ｘ ,所以曲线上任一点的切线斜率ｋ =8ｘ .令 8ｘ =4 ,求出ｘ=12 ,代入抛物线方程得ｙ=1.故Ｐ 12 ,1.应用 2 :利用导数求函数的单调区间一般地 ,设函数ｙ =ｆ(ｘ)在…     

圆锥曲线弦的中点问题的简捷解法

有关圆锥曲线弦的中点问题 ,在现行解几教材中时常出现 ,本文将探讨解决此类问题的一种方法 ,我们称之为“中心对称变换法” .我们知道对于圆锥曲线Ｃ1 :Ａｘ2 Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =0 (1 )关于点Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )中心对称的曲线Ｃ2 的方程是Ａ(2ｘ0 -ｘ) 2 Ｃ(2ｙ0 -ｙ) 2 Ｄ(2ｘ0 -ｘ) Ｅ(2ｙ0-ｙ) Ｆ =0 (2 )若曲线Ｃ1 和Ｃ2 相交于Ｐ、Ｑ两点 ,则由 (1 ) -(2 )整理得(2Ａｘ0 Ｄ)ｘ (2Ｃｙ0 Ｅ)ｙ -(2Ａｘ20 2ｙ20 Ｃ Ｄｘ0 Ｅｙ0 ) =0 (3)它表示一条以对称中心Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为中点的弦ＰＱ所在的直线 .下面我们利用以上方程解…