应用均值不等式求最值的几种技巧

均值不等式a+b2≥ab(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值及值域的问题。但是,有些题目必须进行必要的变形才能利用均不等式求解,现本文将讨论均值不等式的应用技巧,供广大师生参考。     

均值不等式求最值

均值不等式是指a b/2≥（ab的平方根）(a、b∈R^ )及a^2 b^2≥2ab(a、b∈R)等几个重要不等式,合理地利角均值不等式(特别是等号成立的条件),构建关系式,可帮助我们解决一类最值问题。     

例谈均值不等式中等号成立的条件

在整个高中数学中，求函数的最值是一项重要内容。这类问题常和生活实际联系比较密切。由于应用问题已进入高考，而且具有强烈的时代气息，所以最值问题也是高考的热点和难点问题。求函数最值的方法有很多种，利用均值不等式求最值是一种比较常用的方法。对均值不等式，高考已限制在二元、三元均值不等式的应用。以三元均值不等式为例：若a、b、c∈R＋，则a＋b＋c≥３３abc姨（当且仅当a＝b＝c时等号成立）利用此不等式求最值时应注意以下几个问题：（１）a、b、c∈R＋；（２）a＋b＋c或abc为常数；（３）不等式中等号成立的条件必须具备。…     

利用均值不等式求最值

利用均值不等式求最值要注意以下三点：(1)“正”指均值不等式成立的前提条件是a,b∈R~ ,即a,b为正数；(2)“定”指用均值不等式时需要通过补项、拆项、平衡系数等方法凑成和(或积)为定值；(3)“等”指用均值不等式求最值时,一定     

一类条件不等式的背景

《数学教学通讯》2001年第10期刊发的一篇文章[1]中利用均值不等式巧妙地证明了一类条件不等式.本文借用这篇文章中的例子进一步探讨这类条件不等式的统一背景. 例 1 已知 a,b∈R~+,a+b=1,求证: (1)a2十b2≥1/2;(2)a3十b3≥1/4. 该例中的第(1)个不等式的背景是 2(a2十b2)≥(a十b)2,①不等式(1)只不过是当a+b=1时的特殊情形.显然不等式①对任意实数a和b都是成立的,因此对不等式(1)就没有必要限制a和b为正实数. 不等式①应该说是中学数学里常见的基本不等式之一,在此没有必要给出它的证明.不     

妙用均值不等式 提升解题能力

<正>均值不等式是高中数学不等式的一个重要内容,是历年高考与竞赛的命题热点和重点考查内容之一,它在证明不等式、求最值以及实际问题中有着广泛的应用.本文就均值不等式搭桥妙解数学高考题与竞赛题举例介绍如下,以作探讨.例1已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求关于a、b的函数y=1/ab的最小值.分析这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元     

对一道全国联赛题的多角度探究

<正>2013年全国高中数学联赛B卷第10题:假设a,b,c>0,且abc=1,求证:a2+b2+c2≥a+b+c 1笔者经过思考,给出该联赛试题的简证、加强和推广等多角度探究,现行成文和大家一起分享.1关于赛题的简证命题组利用柯西不等式、三元均值不等式和六元均值不等式给出两种证法,下面我们利用二元均值不等式和三元均值不等式给出两种简证.简证1由二元均值不等式和三元均值不等     

利用均值不等式配对证明一类分式不等式

不等式的证明是中学数学的一个难点,分式不等式的证明更为困难.本文提供了利用均值不等式配对证明一类分式不等式的思路. 一、如果不等式是形如sum form n to i=1 Ai2/Bi≥M的形式,且Ai,Bi(i=1,2,…,n),M均为正数,则可对Ai2/Bi配上Bi·P,成对利用均值不等式和不等式的基本性质证明. 例1 设a,b,c∈R+,求证:a2/(b+c)+b2/(c+a)+c2/(a+b)≥(a+b+c)/2. 证明:由a2/(b+c)+(b+c)/4≥a,b2/(c+a)+(c+a)/4≥b,c2/(a+b)+(a+b)/4≥c.上面三式相加得求证不等式.     

错在哪里

题目已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a 2+b 2+c 2=3,则c的取值范围是.解答∵a+b+c=1,∴a+b=1-c,又∵a 2+b 2+c 2=3,∴a 2+b 2=3-c 2.根据均值不等式a+b 2≤a 2+b 22得1-c 2≤3-c 22,且该均值不等式成立的条件:a、b∈R,等号成立条件:a=0,b≥0或a≥0,b=0或a=b>0.解不等式1-c 2≤3-c 22得:1-c≤0,3-c 2≥0,或1-c>0,3-c 2≥0,()2≤3-c 22,∴1≤c≤3或-1≤c<1,综上可得:-1≤c≤3.     

一道最值题的多种解法(高二)

题若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的最小值.分析这是一道典型的最值问题,容易想到用均值不等式,但我想可能存在别的解法.经过一番探索,我发现即使同样用均值不等式,解法也可不尽相同,直接用可以,对原式变形后再用也可以.我还注意到原式中的ab和a+b,自然想到了韦达定理,于是构造出一元二次方程求解,方法更妙.     

用均值不等式求最值，变不可能为可能

均值不等式a＋b≥2√ab（a、b∈R^＋）不仅可用于证明不等式，也可用于求某些函数的最值，在中学代数里有着非常重要的地位和作用．用均值不等式求最值，总是在当且仅当a=6成立时函数才能取得最值．如。     

一道值得探究的对称不等式

本文主要对一个对称不等式(已知a,b都为正数,且满足a+b=1,则有a+1/ab+1/b≥254)进行变式探究,并利用均值不等式进行适当的推广.     

拆项法在“等号不成立”型最值问题中的应用

我们知道,在运用二元均值不等式(a+b)/2≥(ab)～1/2(或a+b≥(ab)～1/2求解最值问题时,常常出现等号不成立的情况,这时必须另外探寻变形的方法.拆项法就是破解这类问题的快速通道,拆项的目的还是使不等式中的等号成立,以便求出最值.大家从以下示例中能够学到一些拆项的方法。     

用“平衡值法”证不等式(高二、高三)

均值不等式是一组很重要的不等式,在证明不等式中有着广泛的应用.在有些条件不等式的证明当中,可以利用均值不等式等号成立的条件,构造出使各项都相等的“平衡值”,如:a 6=1,则a,b的平衡值是1/2;1/a,1/b的平衡值是2;a2 b2的平衡值就是     

一个条件不等式的推广

<正>《数学通报》2014年9月号问题2201如下:问题2201[1]已知a、b、c∈R+,且满足a2/1+a2+b2/1+b2+c2/1+c2=1,求证:abc≤2/4.本文从变元的个数与指数出发,利用均值不等式给出上述条件不等式的一个推广.推广已知n∈N+,n≥2,k∈N+,ai∈n     

浅谈利用a b≥2(ab)~(1/2)(a、b∈R~ )求最值

不等式a b≥2ab(a、b∈R )(当且仅当a=b时等号成立)a b2≥ab(a、b∈R )(当且仅当a=b是等号成立),其中a b2、ab分别是a与b的算术平均数、几何平均数,故简称其为“均值”不等式或“均值”定理.另外均值不等式可推广为三个(或多个)变元的形式,即:a b c≥33abc(a、b、c∈R )(当且仅当a=b=c时等号成立)a1 a2 a3 … an≥na1a2a3…an(a1,a2,a3,…,an∈R )(当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立)均值不等式的功能除用于比较数的大小及证明不等式外,主要用于求函数的最值,在使用均值不等式求最值时必须具有三个缺一不可条件,即为:一正:诸元皆正;二定:…     

运用基本不等式必备的变形技巧

基本不等式a＋b/2≥√ab（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时等号成立）在不等式的证明、求解或者解决其他问题中都起到了十分重要的工具性作用。在利用基本不等式求解函数最值问题时,有些题目可以直接利用公式求解,有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面介绍一些常用的变形技巧。     

用(ab)~(1/2)≤(a+b)/2求最值适用条件不满足时的对策

均值不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2是求解某些函数的最值的有效工具,它的三个必要条件:一正、二定、三相等是相关考题瞄准的焦点.其中相等和定值条件决定着均值不等式应用的可行性,这是解题成败的关键.为突破这一难点,有必要掌握以下几种常用的策略.     

均值不等式学习三部曲

均值不等式（a＋b）/2≥（ab）~（1/2）（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时取＂=＂）是一个重要的不等式,其在求解函数最值问题中有着广泛的应用,下面对均值不等式进行深层解析,供读者参考.     

初等方法新解一道竞赛题

赛题 已知a,b,c为直角三角形的三边长,其中c为斜边长,求使a3+b3+c3/abc≥k成立的k的最大值(第四届北方数学邀请赛试题). 由文[1]知,文[2]“利用导数的知识给出了两种证明方法,指出不能用均值不等式和幂平均不等式求a3+b3+c3/abc的最小值.”文[1]作者以均值不等式求出了a3+b3+c3/abc的最小值.