巧用抽屉原理,妙解整除性竞赛题

抽屉原理从小学起,已为广大数学爱好者所熟悉.原理虽然很简单,但是巧用它,能解决一系列有趣的数学问题,本文就是用它来解决一些整数的整除性问题.大家都知道利用抽屉原理可以得到如下的性质:性质1任意3个整数中,必有两个整数的和是2的倍数.重复利用性质1,可以得到例1的结论.例1任意7个整数中,必有4个整数的和是4的倍数.证因为7个整数是任意的,所以用a1,a2,…,a7这7个字母代表.由性质1知,a1,a2,a3中必有2个整数的和是2的倍数,为此,可设a1+a2=2b(b是整数),又由性质1知,a3,a4,a5中必有2个整数的和是2的倍数,可设a3+a4=2c(c是整数),又由性质1知,…     

数学奥林匹克初中训练题(27)

第一试 一、选择题(满分42分,每小题7分) 1.设n、b、k皆为整数,且(k-(b/2))~2≤n,方程x~2 bx-k~2 kb n=0有实根,考虑下列四个结论: ①方程必有两个不相等的实根; ②方程恰好有一个整数根; ③b能被2整除; ④n是一个完全平方数或零. 则其中正确的结论是( ).     

一类分式不定方程的解法

在初中数学竞赛中,常常出现“1/x 1/y=1/a”型的不定方程。关于这类方程的解法有以下两个结论: 结论1 不定方程1/x 1/y=1/a(a为非零 x=a(a n)/n,其中n是整数)的整数解为{ y=a n满足下列两个条件的整数: (1)n≠-a; (2)n=pq 且p、q都是a的因数结论2 不定方程1/x 1/y=1/a(a为正 x=a(a n)/n整数)的正整数解为{ y=a n 或     

从《九章算术》开方术看初中代数中的开平方法

现行初中代数中的开平方法,其构思是这样的:对一个正整数开方,先要确定其平方根有几位整数.从1~2=1,9~2=81;10~2=100,99~2=9801;100~2=10000,999~2=998001;…可以看出:一、二位数的平方根有一位整数;三、四位数的平方根有二位整数;五、六位数的平方根有三位整数;…。因此,将所给正整数从右向左每隔两位用撇号分开,由所得的若干段数,就可以确定平方根有若干位整数。之后,再通过对二项展开式的分析和试除,就可以得出开平方的一般方法。以求55225~(1/2)为例,其计算形式为:     

奇偶分析及简单的两色问题

整数可以分为奇数和偶数两大类,凡能被2整除的整数叫做偶数,被2除余1的整数叫奇数.通常用2k 表示偶数,用2k 1(或2k-1)表示奇数,这里 k 为整数.奇数与偶数有下面一些常用性质:(1)奇数≠偶数;两个连续整数中必有一个奇数一     

整数整除整数的特征

<正> 一个整数A整除另一个整数B,就是用A去除以B所得的余数为零,即:B=K·A(其中K为整数)。而当B=K·A时(A、B、K均为整数),对于不同的A,B中的各位数字及其它性质与A又有着特殊的关系;反过来,可以从这种特殊的关系中,较容易地判断出B是否能被A整除,从而避免冗繁的除法运算。这里给出整数整除整数的判别方法。 任何一个整数,要么可以表示为2n+1,即为奇数,要么可以表示为2~n,要么可以表示为2~K(2m+1),(其中n、K、m均为整数),后两者即为偶数。而研究整数,只须从这三方面入手即可。 定理1 能被奇数2n+1整除的整数10a+b(其中n、a为整数,b为一位整数)的特征是:这个数10a+b的末位数b以前的数字所表示的数a的5倍与b的n倍之差能被2n+1整除。反之亦然。即:若10a+b能被2n+1整除,则有5a-nb能被2n+1整除;若5a-nb能被2n+1整除,则有10a+b能被2n+1整除。     

问题1．3参考答案

题目试说明“如果一个整数可以表示为两个整数的平方和,那么这个数的2倍也可以表示为两个整数的平方和;如果一个整数的2倍可以表示为两个整数的平方和,那么这个数也可以表示为两个整数的平方和”同时成立.解设整数A可以表示为两个整数a,b的平方和:A=a2+b2,则2A=2a2+2b2=(a+b)2+(a-b)2,显然成立;反之,若对于整数A来说,有2A=a2+b2.那么,对于整数a,b来说必定或者同为奇数,或者同为偶数.即a+b2或a-b2一定是整数.因而A=a2+b22=a+b22+a-b22.仍然成立.问题1.3参考答案…     

高斯整数环的素元形成与商环性质

高斯整数环是一种构造特殊且具有一定代表性的环,在代数环论中占有重要的地位。既融入了环论的思想,同时亦包含有数论的思想,对于高斯整数环的研究一直是国内外学者的重要课题之一,数学家们通过多年的研究,得出了许多重要且富有意义的结论。在前人研究成果的基础上,针对高斯整数环中素元的形成和不同主理想下商环的个数,作了进一步的探索：1、分析证明了高斯整数环的基本性质,论证了高斯整数环是欧几里德整环,高斯整数环是主理想整环,高斯整数环是唯一因式分解整环。2、论述了高斯整数环素元的形成,分别给出了整数素元和部分非整数素元的形式。3、论述了高斯整数环在不同主理想下其商环的个数。对于高斯整数环的主理想,分别给出了当（为自然数）,（为自然数）,（为任意整数）时,其商环的个数及其证明。     

小学数学双基训练提要

一、整数和小数(一)整数的认识复习要点1.应理解、掌握的知识要点整数的意义;整数的数位顺序和计数单位;整数的读写方法及数的改写与省略.(如表1、表2)2.夏习的重点和难点重点:正确地读写多位数.会用万、亿作单位改写数和用四舍五入法截取近似数.难点:(1)正确理解整数的一些概念.(2)多位数中间有“0”的读写方法.3.正确认识易错概念(1)“自然数”与“整数”表示物体个数的1、2、3、4……都是自然数.自然数有无限个,最小的自然数是1,没有最大的自然数.零和自然数都是整数.整数包括自然数、零,但不能说整数只包括自然数和零.(2)“数字”“数位”和“位数”数字是记数的符号.0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,叫做十个阿拉伯数字.记数时,各个不同的计数单位所占的位置叫做数位.含有几个数位的数,叫做几位数.     

从复数运算联想不定方程x~2 y~2=z~n的整数解

在初等数论中有如下结论:“不论n为何正整数,x~2 y~2=z~n总有整数解。”对这一结论一般高中生难以去证明,但通过一道简单的复数题,便能窥探出其中的奥秘。     

“开放型题”的几个特点

“开放型题”有何待点,本文指出三条: 1.“自谋结论”。例如:■是不是某个自然数的平方?证明你的结论。“是不是?”要答题人自己去寻求、猜测。 2.旧瓶新酒。例如:“问a取哪些正整数时,方程ax~2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数根?”就是在“二次方程”这个“旧瓶”中,添进了新的“酒”(问题):“至少有一个”,“整数根”,而且还有一个正整数作为参数。二次方程虽     

2019年全国高中数学联赛加试第三题的改进

原题设m为整数,|m|≥2.整数列a1,a2,…满足a1、a2不全为零,且对于任意正整数n,均有an+2=an+1-man.证明:若存在整数r、s(r>s≥2)使得ar=as=a1,则r-s≥|m|.[分析]不妨设a1与a2互素(否则,若(a1,a2)=d>1,则(a1/d,a2/d)=1,且用a1/d,a2/d,…代替a1,a2,…,条件与结论均不改变).     

小学数学双基训练指导

(二)训练的重点和难点 重点:正确地读写多位数。会用万、亿作单位改写数和用四舍五入法截取近似数。 难点:(1)正确理解整数的一些概念。(2)掌握多位数中间有“0”的读写方法。 (三)正确认识易错概念 1.“自然数”与“整数” 表示物体个数的1、2、3、4、……都是自然数。自然数有无限个,最小的自然数是1,没有最大的自然数。零和自然数都是整数。整数包括自然数和零,但不能说整数只包括自然数和零。 2.“数字”、“数位”和“几位数”     

与整数有关的几何问题

(本讲适合初中 )所谓与整数有关的几何问题 ,是指几何图形中的某些基本量 (边长、周长、角度、面积、体积等 )为整数的几何问题 .本文通过对一些典型问题的剖析 ,总结出解这类问题的一些常用的思想和方法 .1　应用整数的有关性质解某些与整数有关的几何问题 ,所需要的几何知识很简单 ,但却需要应用整数的有关性质进行整体分析 ,才能使问题顺利获解 .例 1　是否存在面积为整数而周长等于2 0 0 3的整边等腰三角形 ?并证明你的结论 .讲解 :首先 ,将三角形的面积用其三边长表示 ,再由周长为 2 0 0 3且边长为整数来分析面积是否为整数 .假设这样…     

一个定理的简证

本刊84年第8期第43页给出了一元二次方程ax~2+bx+c=0(其中a≠0,a,b,c均为整数)(*)有两个整数解的充要条件,即是: 定理:方程(*)有两个整数解的充要条件是:b~2-4ac=m~2(m是整数),且b,c均能被a整除.     

奇数与偶数

整数按奇偶性分为两部分,其中能被2整除的整数称为偶数,通常表示为2k的形式,不能被2整除的整数称为奇数,通常表示成2k±1的形式,其中k为整数,注意:0是偶数。奇数与偶数有以下简单而又重要的性质: 性质1 奇数个奇数之和是奇数;偶数个奇数之和是偶数,偶数之和为偶数。性质2 如果若干个整数的乘积是奇数,那么其中每一个因     

古人发现√2“无理”令人思考√2“有益”

公元前6世纪．古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点：“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，人们发现边长为1的正方形的对角线的长度、√2不能用整数或整数的比来表示．故称√2可为“无理数”．     

关于优美指数的确定

利用除数函数的性质及初等方法,得到了一系列重要结论:(1)任何素数都是优美指数;(2)若t=2s-s-1(s为非负整数)或t=2s.3-s-1(s为非负整数)或t=2sp-s-2(s为非负整数,p为奇素数)或t=p1p2…ps-s-1(s为大于1的正整数,p1,p2,…,ps为适合p13),则pt都是优美指数。     

问题征解

问题1.3　试证“如果一个整数可以表示为两个整数的平方和,那么这个数的2 倍也可以表示为两个整数的平方和;如果一个整数的2倍可以表示为两个整数的平方和,那么这个数也可以表示为两个整数的平方和”同时成立.(要有完整的解题过程,剪下第 13 页“有奖问题征解”的小三角,贴在信封正面一并寄至本刊编辑部)问题征解     

学习负数以后

学习了负数以后,需要我们对小学学过的数、符号、运算、结论重新认识,以免今后出错. 一、对一些数要重新认识1.整数和分数:小学数学中的整数就是自然数(即正整数和零),分数也只是正分数,引进负数以后,整数不再是正整数和零,还有负整数;分数包括正分数和负分数. 2.奇数和偶数:奇数和偶数的范围扩大了,奇数包括