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1.
众所周知,实数集合有下面两个基本的性质: 性质1 (两正数的和为正数) 若a>0,b>0,则a b>0. 性质2 (两正数的积为正数) 若a>0,b>0,则ab>0. 相似文献
2.
我们知道,对于任意的实数a和b,有a2+ b2≥2ab(1)当且仅当a=b时取等号,若ab >0,在(1)的两边同除以ab,即得a/b+b/a≥2(2),当且仅当a=b时取等号. 在(1)中,若令u=a2,v=b2,显然u≥0, v≥0。则有,当且仅当u=v时取等号,现在我们利用这些重要不等式来解一 相似文献
3.
公式 a+b≥(2√ab)(a>0,b>0,当且仅当a=b时,取"=".)
题目1 甲、乙两辆汽车同时由A地开往B地,甲车在前一半路程中的速度是v1,后一半路程中的速度是v2(v1≠v2);乙车在前一半时间内的速度是v1,后一半时间内的速度是v2.问:哪辆汽车先到达乙地?请加以证明. 相似文献
4.
平面几何中有切割弦定理 :如图 ,圆O的切线PA(A为切点 )与割线PBC满足关系PA2 =PB·PC .该定理在不等式求最值、求轨迹方程等方面有许多巧妙应用 ,如均值定理 a b2 ≥ab(a ,b>0 )的证明 :在上图中割线PBC过圆心O时 ,设PB =a,PC=b ,则PO =a b2 ,由切割弦定理PA =ab ,显然PO >PA ,再结合a=b有a b2 ≥ ab .再举几例 :例 1 在平面直角坐标系中 ,在y轴的正半轴 (原点除外 )上给定两点A ,B ,试在x轴的正半轴上求点C ,使∠ACB取得最大值 . 解析 本题有多种解法 ,利用切割弦定理十分简便 ,如图 1,过点A ,B作一个圆与x轴的正半… 相似文献
5.
1.含电源的等势点间可能有电流,也可能无电流. 图1(a)为闭合电路中一部分,已知A、B间电势差为零,则可以断定A、B间有电流,否则U_(AB)=(?)≠0.图1(b)所示,U_A=U_B,I=0. 2.不含电源的等势点间可能无电流,也可能有电流.如图2中R两端电势差为零,由I=U/R,便知I=0. 如图3所示的电路中(1991年高考题)三个电阻的阻值相等,电流表A_1、A_2、A_3的内电阻均可忽略,它们的读数分别为I_1、I_2、I_3,则I_1:I_2:I_3= 相似文献
6.
一、数式的规律探究例1我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表,此表揭示了(a+b)~n(n 为非负数)展开式的各项系数的规律.例如:(a+b)~0=1,它只有一项,系数为1(a+b)~1=a+b,它有两项,系数分另为1,1;(a+b)~2=a~2+2ab+b~2,它有三项,系数为1,2, 相似文献
7.
黄学军 《乐山师范学院学报》2004,19(12):12-13
本讨论了正则半群S中关于夹心集的关系式V(b)S(a,b)V(a)真包含V(ab)里确实存在真包含的情况,并进一步考虑当b∈V(a)时,有V(b)S(a,b)V(a)=V(ab)成立,而在纯正半群里若有b∈V(a),则V(b)v(a)=V(ab)。 相似文献
8.
高中数学新教材有这样两道习题 :题 1 已知 f(x) =lg1-x1+x,a、b∈ (- 1,1) ,求证 f(a) +f(b) =f(a +b1+ab) .(高一上册第 89页 )题 2 已知 |a|<1,|b|<1,求证 :a+b1+ab <1.(高二上册第 2 2页 )文 [1]作者谈了题 1、题 2的 4点思考 :①题 1中 f(a) ,f(b) ,f(a+b1+ab)有意义是必须证明的 ;②题 1不属于“恒等式证明” ;③题 1在高一现有知识范围内可以有不同的证明方法 ;④题 2可以通过构造题 1的函数来证明 .笔者完全赞同这 4点 ,并愿意作 4点补充 :1 要积极挖掘函数值之间的关系 ,培养发现能力题 1中的函数值关系式 f(a) +f(b) =f(a+… 相似文献
9.
陈德前 《初中生世界(初三物理版)》2002,(31)
解答含数轴条件的数学题,关键在于仔细观察数轴,确定相关字母的取值范围,并能比较数的大小关系.比较大小关系时要注意两点:一是原点左边的点表示的数都小于零,原点右边的点表示的数都大于零;二是数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大.现举几例说明这类问题的解法.例1有理数a、b在数轴上的对应位置如图1所示,则在a+b、a-b、ab、ab中负数的个数是().(A)4(B)3(C)2(D)1(1999年“聪明杯”初一数学竞赛题)解:观察数轴可知:a<0,b>0,|a|<|b|,∴a+b>0,a-b<0,ab<0,ab<0,∴选B.… 相似文献
10.
近年来国内外数学竞赛中,含有特殊定义的问题时有出现。其题型有写出要求符合定义的数(或数组)有多少个,写出符合定义的数或数组等。解答这类问题的关键之一在正确理解题中的特殊概念。特殊定义的含意,并以此为依据进行推理或计算。以下举出三例。例1 (1991年北京市中学生数学竞赛试题)如果能找到自然数a和b,使得n=a b ab,则称n为一个“好数”。例如3=1 1 1×1。即3是一个好数。在1~100这些自然数中,“好数”共有多少个? 先观察“好数”的特征:n=a b ab。由此可知n 1=a b ab 1=(a 1)(b 1)为合 相似文献
11.
题目 (2017年高考全国Ⅱ卷文科数学第23(Ⅱ)题)已知a>0,b>0,a3 +b3=2.证明:a+b≤2.
证法1不等式的变形.
因为a>0,b>0,a3 +b3=2,
所以a+b>0,且(a-b)2≥0.
从而(a+b)(a-b)2≥0,即有
a2b+ab2≤a3 +b3=2.
不等式两边同乘以3得
3a2b+3ab2≤6.不等式两边同加a3+b3得
a3 +b3 +3a2b+3ab2≤8,即 (a+b)3≤8,所以a+b≤2.
证法2反证法. 相似文献
12.
《中等数学》2014,(11):10-14
第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc>0.证明:
ab+ bc+ ca<a/2abc+1/4.
证法1 因为abc>0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数.
对于前一种情形,不妨设a>0,b<0,c<0.
则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c)
<0<abc/2+1/4.
对于后一种情形,由舒尔不等式有
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)
≥0
(→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc
≥0.①
记p =ab +bc +ca,q=abc.
由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0.
从而,p≤9q/4+1/4.
因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以,
√q≤√1/3<2/9.
于是,9q<2√q.
故p≤9q/4+1/4<2√q/4+1/4=√q/2+1/4
(→) ab+bc+ca<√abc+1/4. 相似文献
13.
14.
对于两正数a、b的平方平均(a2 b2/2)、算术平均(a b/2)、几何平均(ab)、调和平均(2/(1/a) (1/b)),有: 相似文献
15.
一个最值定理的研究性学习 总被引:1,自引:0,他引:1
在高中数学的《不等式》一章有这样一个最值定理:已知a、b是正数,(1)如果和a b是定值s,那么当a=b时,积ab有最大值1/4s^2.(2)如果积ab是定值p,那么当a=b时,和a b有最小值2b. 相似文献
16.
有关费尔马点的一个不等式的加强 总被引:1,自引:0,他引:1
设P是△ABC内的费尔马点,记PA=u,PB=v,PC=w,△ABC的三边为a、b、c.则 u v w≤(ab bc ac)~(1/2). (1) 不等式(1)改进了四川周洪的结果(见《中等数学》1993年第1期)。 相似文献
17.
江中伟 《中学数学研究(江西师大)》2004,(9):27-27
题目设函数f(x)=|1-1/x|,x>0,(Ⅰ)证明:当0<a<b,且f(a)=f(b)时,ab>1;(Ⅱ)点P(x0,y0)(0<x0<1)在曲线y=f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表示). 相似文献
18.
几道数学竞赛题的简解 总被引:1,自引:0,他引:1
题1设a、b、c为正实数,且a2 b2 c2 abc=4.证明:3abc≤ab bc ac≤abc 2.(第30届美国数学奥林匹克)证明:由4=a2 b2 c2 abc≥abc 3(abc)32,即abc≤1可知ab ac bc≥3(abc)32≥3abc.由题设知,a、b、c中一定有且只有两个数或者都不大于1,或者都不小于1.不妨设这两个数为a、b.则c(a-1) 相似文献
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1逆向思维的教材原型题与近年高考题
例1 (新课标选修4-5第25页习题
2.2第2题)已知a,b,c,∈R+,用综合法证:
(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc.
证明 (ab十a+b+1)(ab+ac+bc+c2)=(a+1) (b+1)(a+c) (b+c)≥2√a×2b×2√ac×2√bc=16abc.
例2 (2010年重庆文科第10题)若a,b,c>0,且a2+2ab+2ac+4bc=12,则ab+c的最小值是(). 相似文献
20.
不等式定理之一:如果a、b都为正数,那么(a b)/2≥ab~(1/ab)(当且仅当a=b时,取“=”号)。该不等式表明:变量a、b,当a>0,b>0时,若a b=常数,则在a=b 相似文献