第六届中国东南地区数学奥林匹克试题及略解

第一天(2009年7月28日) 1.试求满足方程x2-2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).     

第3届女子数学奥林匹克试题及略解

1.如果存在1,2,…,n的一个排列a1,a2,…,an,使得k ak(k=1,2,…,n)都是完全平方数,就称n为"好数".     

第三届中国东南地区暨希望联盟数学奥林匹克试题及略解

第一天(2006.7.27 8:00-12:00南昌)一、设 a>b>0,f(x)=(2(a b)x 2ab)/(4x a b),证明:存在唯一的正数 x,使得 f(x)=((a_3~1 b_3~1)/2)~3.(李胜宏供题)二、如图所示,在ΔABC中,∠ABC=90°,D、G 是边CA 上两点,连接 BD、BG,过点 A、G 分别作 BD 的垂线,垂足分别为 E、F,连接 CF,若     

2005年中国数学奥林匹克试题及略解

第一天 郑州1月22日上午8:00～12:30 (每题21分) 一、设θi∈(-π/2,π/2),i=1,2,3,4.证明:存在x∈R,使得如下两个不等式 cosθ1cosθ2-(sinθ1sinθ2-x)2≥0,① cosθ3cos2θ4-(sinθ3sinθ4-x)2≥0,②     

第六届中国东南地区数学奥林匹克

第一天 1.试求满足方程x2-2xy+126y2=2 009的所有整数对(x,y). (张鹏程供题) 2.在凸五边形ABCDE中,已知AB=DE,BC=EA,AB≠EA,且B、C、D、E四点共圆.证明:A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD. (熊斌供题)     

再解第45届俄罗斯数学奥林匹克竞赛试题

题目证明:对于任意ΔABC,不等式a cos A+b cos B+c cos C≤p成立,其中a,b,c为ΔABC的三边,A,B,C分别为它们的对角,p为半周长.解法1:原不等式等价于a(1-2 cos A)+b(1-2 cos B)+c(1-2 cos C)≤0①.由余弦定理,不等式①等价于a⁴+b⁴+c⁴-2(a²b²+b²c²+a²c²)+a²bc+b²ca+c²ab≥0②.要证明②式,只需证明(a²+b²+c²)2-4(a²b²+b²c²+a²c²)+abc(a+b+c)≥0,即证明(a²+b²+c²)3-4(a²b²+b²c²+a²c²)(a²+b²+c²)+abc(a+b+c)(a²+b²+c²)≥0③.由均值不等式可得abc(a+b+c)(a²+b²+c²)≥abc·33 abc·33 a²b²c²=9a²b²c².故要证③式,只需证(a²+b²+c²)3-4(a²b²+b²c²+a²c²)(a²+b²+c²)+9a²b²c²≥0④,由舒尔不等式可知④式显然成立,因此原不等式得证.     

第24届中国数学奥林匹克冬令营试题及解答

一、给定锐角三角形PBC,PB≠PC．设A,D分别是边PB,PC上的点,连接AC,BD,相交于点O．过点O分别作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F,线段BC,AD的中点分别为M,N．     

1991年中国数学奥林匹克(第六届冬令营)试题及解答

一、平面上有一个凸四边形 ABCD.(1)如果平面上存在一点 P,使得△ABP,△BCP,△CDP,△DAP 面积都相等,问四边形 ABCD 应满足什么条件?(2)满足(1)的点 P,平面上最多有几个?证明你的结论.     

第39届国际数学奥林匹克试题

第一天 1.在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点,且P在四边形ABCD的内部。证明:ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等。     

第31届国际数学奥林匹克试题

1.在一圆中,两条弦AB、CD相交于E点。M为弦AB上严格在E、B之间的点,过D、E、M的圆在E点的切线分别交直线BC、AC于F、G。已知AM/AB=t,求于CE/EF(用t表示)。 (印度) 2.设n≥3,考虑在同一圆周上的2n-1个互不相同的点所成的集合E,将E中一部分点染成黑色,其余的点不染色。如果至少有一对黑点,以它们为端点的两条弧中有一条的内部(不包含端点)恰含E中n个点,则称这种染色方式为好的。如果将E中k个点染黑的每一种染色方式都是好的,求k的最小值。(捷克和斯洛伐克)     

第33届国际数学奥林匹克试题

第一天(1992年7月15日) 1.(新西兰)试求出所有的整数。,乃,‘,、其中1相似文献   

第44届国际数学奥林匹克试题

~~第44届国际数学奥林匹克试题@李胜宏     

第36届国际数学奥林匹克试题

1.(保加利亚)设A,B,C,D是一条直线上依次排列的四个不同的点,分别以AC,BD为直径的两圆相交于X和Y,直线XY交BC于Z,若P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC     

第37届国际数学奥林匹克试题

1.设ABCD是块矩形的板,|AB|=20,|BC|=12。这块板分成20×12个单位正方形。 设r是给定的正整数,当且仅当两个小方块的中心之间的距离等于r~(1/2)时,可以把放在其中一个小方块里的硬币移到另一个小方块中。 在以A为顶点的小方块中放有一     

第42届国际数学奥林匹克试题

1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明:∠CAB ∠COP<90°。 2.对所有正实数a、b、c。证明:     

第40届国际数学奥林匹克试题

第一天 (布加勒斯特,1999—07—16) 1.(爱沙尼亚)确定平面上所有至少包含三个点的有限点集S,它们满足下述条件: 对于S中任意两个互不相同的点A和B,线段AB的垂直平分线是S的一个对称轴.     

第41届国际数学奥林匹克试题

1.圆Γ_1和圆Γ_2相交于点M和N,设ι是圆Γ_1和圆Γ_2的两条公切线中距离M较近的那条公切线。ι与圆Γ_1相切于点A,与圆Γ_2相切于点B,设经过点M且与ι平行的直线与圆Γ_1还相交于点C,与圆     

第19届美国数学奥林匹克试题

1.某州颁发由6个数字组成的车牌证号(由0-9的数字组成),且规定任何两个牌号至少有两个数字不同(因此证号     

第38届国际数学奥林匹克试题

第一天 1.(白俄罗斯)在坐标平面上,具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点,这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色(像国际象棋棋盘那样)。 对于任意一对正整数m和n,考虑一个直角三角形,它的顶点具有整数坐标,两条直角边的长度分别为m和n,且两条直角边都在这些正方格的边上。 令S_1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积,S_2则为所有白色部分的总面积。