一个错误的例题

本刊89年第二期第16页《分子有理化在解题中的应用》中的例1是错误的。题中的已知条件是(x~3 6)~(1/2)-(x~3)~(1/2)-4=5,解的结果是(x~3 6)~(1/2) (x~3-4)~(1/2)=2,显然应有:(x~3 6)~(1/2) (x~3-4)~(1/2)>((x~3 6)~(1/2)-(x~3)~(1/2)-4。所以题目是错的。     

求极值解方程一例

例解方程 4(x-2)~(1/2)+(y-1)~(1/2)=28-36/(x-2)~(1/2)-4/(y-1)~(1/2)。解:原方程可整理为(4(x-2)~(1/2)+36/(x-2)~(1/2))+((y-1)~(1/2)+4/(y-1)~(1/2))=28。∵4(x-2)~(1/2)>0,36/(x-2)~(1/2)>0,且4(x-2)~(1/2)·36/(x-2)~(1/2)=44,为定值,∴当4(x-2)~(1/2)=36/(x-2)~(1/2)时,即x=11时,4(x-2)~(1/2)+36/(x-2)~(1/2)有最小值24。同理,当(y-1)~(1/2))=4/(y-1)~(1/2)),即y=5时     

巧构非负数 妙解十类题

简析:细察题中各项特点,不难发现其中隐含的非负数(x-2((x-1)~(1/2))~(1/2)=|(x-1)~(1/2)-1|与(y-4((y-4)~(1/2))~(1/2)=|(y-4)~(1/2)-2|。由非负数性质及条件可得x=2、y=8。进而可得所求式的值为-3。解略。     

多项式除法的妙用

多项式除法的应用广泛,不仅可以利用它来解方程、因式分解等。它还有一些妙用,今举几个例子于下。一、求值例1,若x=(19-8(3~(1/2))~(1/2),试求(x~4-6x~3-2x~2 18x 23)/(x~2-8x 15)之值(1985年全国初中联赛试题) 解:∵ x=(19-8(3~(1/2))~(1/2)=(4-3~(1/2))~2)~(1/2)=4-3~(1/2) ∴(x-4)~2=3即 x~2-8x 13=0 应用多项式除法得     

巧用换元法 减少计算量

化简方程((x c)~2 y~2)~(1/2) ((x-c)~2 y~2)~(1/2)=2a得出椭圆的标准方程,教材中使用的方法计量大,学生感到困难,不易掌握,若用换元法进行计算,则十分简捷, 设υ=x~2 y~2 c~2,代入上述方程得 (υ 2cx)~(1/2) (υ-2cx)~(1/2)=2a. 将这个方程两边平方,得 υ (υ~2-4c~2x~2)~(1/2)=2a~2,即(υ~2-4c~2x~2)~(1/2)=2a~2-υ.两边再平方,得υ~2-4C~2x~2=4a~4-4a~υ υ~2,     

这两道题值得商榷

一本杂志上刊登过如下一道题目: 题一:设,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(x≤-2).(1)求f~(-1)(x);(2)设a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))(n≥2,n∈N),求a_n;(3)求sum from i=1 to n 1/(a_1+a_i+1)的值该题作为函数与数列的综合题在教学中广为流传,通常简解如下解:(1)函数,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(定义域为x≤—2,值域为y≥0)的反函数为f~(-1)(x)=-(x~2+4)~(1/2)(定义域为x≥0,值域为y≤-2) (2)∵a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))由迭代法得:a_n=-(a_(n-1)~2+4)~(1/2)=-(a_(n-2)~2+2×4)~(1/2)=…=-(a_1~2+(n-1)4)~(1/2)=-(4n-3)~(1/2)(亦可由a_n~2=a_(n-1)~2+4,n=2,3,…n,累加而得) (3) 注意到 a_n~2-a_(n-1)~2=4,     

寻求简单优美的解法(高一、高二、高三)

题1 在△ABC中,a=2,b=22~(1/2),求∠A的取值范围. (第14届03年"希望杯"高二培训) 解法1 由题知即 c∈(22~(1/2)-2,22~(1/2) 2).由余弦定理得c2-42~(1/2)ccosA 4=0 (*)问题即为A取何值时,方程(*)在(22~(1/2)-2,22~(1/2) 2)内有解. 令f(c)=c2-42~(1/2)ccosA 4,则 f(22~(1/2)-2)·f(22~(1/2) 2)<0 f(22~(1/2)-2)>0,     

一类代数式求值问题的研究

在初中数学竞赛中,常出现一类代数式求值问题,如: (1) 已知x=2-3~(1/2),求x~4-5x~3+6x~2+5x的值。(1986年上海市初中数学竞赛试题) (2) 若x=(5~(1/2)-1)/2,则x~4+x~2+2x-1=____。(第六届全国部分省市初中数学通讯赛试题) (3) 已知x=(111~(1/2)-1)/2,求多项式(2x~5+2x~4-53x~3-57x+54)~(1989)值。(1989年浙江省初中二年级数学竞赛试题) (4) 已知a=(22~(1/2)+5~(1/2))/(5~(1/2)-2~(1/2))求值:a~5-7a~4+6a~3-7a~2+11a+13。(第三届求是杯数学竞赛初二试题) (5) 当x=3~(1/2)-1时,代数式 (x+4)/(x~3+6x~2+5x-3~(1/2)-15)的值是多少?(88—89学年度广州、福州、武     

一道竞赛题的巧解

题方程(2(x+1)~(1/5)+1-1)~4+(2(x+1)~(1/5)-3)~4=16所有实数根的和是( )(A)(121)/(16) (B)0 (C)-(45)/8 (D)(45)/8(1996年荆沙市初中数学竞赛题) 解法一此方程中的2(x+1)~(1/5)-1与2(x+1)~(1/5)-3相差2,     

椭圆的一个性质

椭圆b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2 (O>b>0)位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD里(如图1),矩形ABCD的两条对角线AC,BD与椭圆分别相交于P_1,P_2,p_3,P_4 四点;易求交点坐标为: P_1(-((2~(1/2)))a,-((2~(1/2)b)/2), P_2((2~(1/2)a,-(2~(1/2)b/2)), p_3(2~(1/2))a(2~(1/2)b)), p_4(-2~(1/2)a/2,(2~(1/2)b)b/2)。 则有:     

六年制重点中学高中《解析几何》课本一例浅议

在六年制重点中学高中《解析几何》课本的116页有这样一道例题:“求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点处的切线互相垂直。”课本的证法是: 先解椭圆和双曲线方程所组成的方程组,求得四个交点 P_1((5(15)~(1/2))/4,3/4);P_2(-(5(15)~(1/2))/4,3/4);P_3((5(15)~(1/2))/4,-(3/4));P_4(-(5(15)~(1/2))/4,-3/4)。再分别求出椭圆、双曲线在点P_1处的切线方程,     

一道似是而非的题解

《中学数学方法的综合运用》,(湖南人民出版社出版,1981年8月第1版)书中第154页例3:求函数y=x 4 (5-x~2)~(1/2)的极值。书上的解法照抄如下: [解法一]: 令z=x (5-x~2)~(1/2),则z-x=(5-x~2)~(1/2),从而有 x~2-2zx x~2=5-x~2或2x~2-2zx (z~2-5)=0. 要x取实数值,必须其判别式Δ=4z~2-8(z~2-5)≥0. 即 z~≤10,-10~(1/2)≤z≤10~(1/2) ∴ 4-10~(1/2)≤y≤4 10~(1/2) [解法二] 利用三角代换解法如下:     

因式分解应用举例

因式分解是一种重要的恒等变形,它的应用十分广泛.下面举例说明.例1 化简:(1-(1/2~2))(1-(1/3~2))(1-(1/4~2))…(1-(1/n~2)).解原式=(1-(1/2))(1+(1/2))(1-(1/3))(1+(1/3))(1-(1/4))(1+(1/4))…(1-(1/n))(1+(1/n))=(1/2)×(3/2)×(2/3)×(4/3)×(3/4)×(5/3)×…×((n-1)/n)×((n+1)/n)=(1/2)×((n+1)/n)=((n+1)/(2n)).     

2000年美国犹他州数学竞赛（高中）

说明:选对得4分,选错得-1分,不选得0分其中“*”表示“以上全不对”。 1.内接于半径为1的正方形的面积是( ). (A)2 2~(1/2) (B)2~(1/2) (C)2 (D)4 (E)* 2.8~(1/2) 18~(1/2)-12~(1/2)=( ).     

实数错例分析

病例1 求(-2)2~(1/2)的值．解:(-2)2~(1/2)=-2．病因:概念理解错误．病理:(-2)2~(1/2)表示(-2)2的算术平方根,即4的算术平方根,是非负数．正解:(-2)2~(1/2)=4~(1/2)=2．病例2 求(36)~(1/2)的值是( )． A．6 B．-6 C．±6 D．6~(1/2) 评:因(±6)2=36,所以(36)~(1/2)=±6,故选C．病因:概念理解错误．病理:本题把平方根与算术平方根的概念混淆了,(36)~(1/2)表示 36的算术平方根,任何非负数的算术平方根都只能是非负数．正解:因(36)~(1/2)=6,故选A．     

平方运算在解题中的运用

解某些无理方程与无理不等式、推导圆锥曲线的标准方程,需要对式子两端施行平方运算,这是大家熟知的。在另一些场合下,这一方法,对于化繁为简,也很有意义,以下,聊举数例说明这种情况。例1 若A=(6~(1/2)+2~(1/2))(3~(1/2)-2)((3~(1/2)+2)~(1/2),试求A。解原式较繁,因之,试探其平方是否可以化简,得: A~2=(6~(1/2)+2~(1/2))~2(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2) =(8+4(3~(1/2)))(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2) =4(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2)~2=4 考虑到3~(1/2)<2因而A<0,所以A=-2。例2 求sin15°+cos15°的值。解考虑到:sin~215°+cos~215°=1, 并且2sin15°cos15°=sin30°=1/2 可知:     

趣题巧解

许多数学题目不但有趣,而且解法也巧妙,多接触这些题可以提高解题能力,现选几题,供同学们参考。 1.证明:大于(3~(1/3) 1)~(2m)的最小整数可被2~(m 1)整除(m为正整数) 证:因为 I=(3~(1/2) 1)~(2m) (3~(1/2)-1)~(2m) =(4 2(3~(1/2))~m (4-2(3~(1/2))~m =2~m[(2(3~(1/2))~m (2-2(3~(1/2))~m] =2~(m÷1)[2~m 2~(m-3)·(3m(m-1))/2 …] 所以,I能被2~(m 1)整除。而((3~(1/2)-1)~(2m)<1 ∴I就是大于((3~(1/2) 1)~(2m)的最小整数,命题得证。     

利用cos2θ公式的变形解题几例

2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ)cos2θ=cos~2θ-sin~2θ=(cosθ sinθ)(cosθ-sinθ) =2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ) ·2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ-2~(1/2)/2sinθ), 则得cos2θ=2cos(θ π/4)cos(θ-π/4)或者cos2θ=2sin(π/4 θ)sin(π/4-θ). 应用上面的结论求解某些余弦函数或正弦函数的乘积时则显得简洁又明快,现举例如下. 例1 求证sin15°sin30°sin75°=1/8. 证明:sin15°sin30°sin75°=1/2sin15°sin75°     

关于不定方程X_1~2 X_2~2 … X_m~2=X_(n 1)~2整数解的探讨

引理不定方程x~2-y~2=c(c∈Z)有整数解的充要条件是c■2(mod4)。证:必要性。若存在整数x、y使x~2-y~2=c■(x y)(x-y)=c,∵x y、x-y同奇偶,∴c是奇数,或者4|c,故c■2(mod4)。充分性。设c■2(mod4),则ⅰ)c≡0(mod4),c/4 1,c/4-1∈z,而(c/4 1)~2-(c/4-1)~2=c,即x~2-y~2=c有整数解(c/4 1,c/4-1)。ⅱ) c≡1(mod4)或c≡3(mod4),(c 1)/2,(c-1)/2∈Z,((c 1)/2)~2-((c-1)/2)~2=c,方程x~2-y~2=c有整数解((c 1)/2,(c-1)/2)。引理证毕。对不定方程x_1~2 x_2~2 … x_n~2=x_(n 1)~2,若令x_i     

数学奥林匹克高中训练题(20)

第一试(总分90分) 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.定义在(-∞,-2)∪(2, ∞)上的函数 f(x)=(x 2 (x~2-4)~(1/2))/(x 2-(x~2-4)~(1/2)) (x 2-(x~2-4)~(1/2))/(x 2 (x~2-4)~(1/2))(|x|>2)的奇偶性适合( )。 (A)为奇函数不为偶函数 (B)为偶函数不为奇函数 (C)既为奇函数又为偶函数 (D)既非奇函数又非偶函数 2.把直线l沿y轴平移sinθ-cosθ≠0个单位,