定比分点公式推导的启示

定比分点公式推导的启示安徽省铜陵市三中潮斌定比分点公式是平面解析几何中一个重要的公式,有着广泛的应用．公式推导的一个关键所在就是将有向线段Ｐ１Ｐ２射影到坐标轴上,化Ｐ分Ｐ１Ｐ２所成的比λ为Ｍ分坐标轴上的有向线段Ｍ１Ｍ２所成比问题,图１因而有λ＝Ｐ１Ｐ...     

从“线段的定比分点”看“试验本”的教改精神

高中数学教科书（试验本、必修，以下简称“试验本”），第一册（下）５．５节是“线段的定比分点”．高中平面解析几何（全一册、必修，以下简称“解几本”）１．２节也是“线段的定比分点”．笔者是高中数学教师，曾多次讲授“解几本”，去年讲授“试验本”．在备课时，...     

明说《考试说明》之解析几何

在数学科《考试说明》中,对“平面解析几何”这一知识内容的要求是: 直线考试内容有向线段,两点间的距离,线段的定比分点. 直线的方程,直线的斜率,直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程,直线方程的一般式.     

一个公式推导的背后

定比分点公式是平面解析几何中的一个重要的公式，在课本中，公式的推导主要思想是将有向线段P1P2投影到坐标轴上，化P分P1P2的比为M分M1M2^-所成的比，因此有     

日趋活跃的“定比分点”

新教材将旧版《平面解析几何》中“定比分点”置于《平面向量》这一章,以向量语言重新加以定义,使得定比分点成为平面向量与解析几何的绝佳交汇点.在直线与圆锥曲线相交弦中设计与定比分点交汇的综合性试题,已成为新高考命题的一个亮点.综观2004年全国及11省市十几套高考试卷,此类试题推陈出新,百花齐放,可谓美不胜收.下面撷取几例,探讨解题规律.1利用韦达定理根据向量知识或定比分点坐标公式,将点分线段所成的比解析化,往往能得到x1、x2(或y1、y2)的关系式,然后再用韦达定理得出x1+x2与x1x2(或y1+y2与y1y2)来解决问题.例1(2004年高考河南、…     

关于向量教学体会

向量理论是近世代数中最有用的代数结构之一。职业高中数学教材第一次比较系统地把向量知识引入中学数学教材。新教材专设一章“平面向量”,介绍向量有关概念及运算法则。在以后的“三角”、“解析几何”各章中,再充实向量的内容和运用向量方法,最后在“立体几何”一章中把平面向量推广到空间向量,并介绍其在立体几何中的应用。向量引入中学数学,改变了传统中学数学教材体系,对中学数学产生较大的影响。笔者在职高教材向量的教学中有以下体会。一、正确理解向量概念是学好这部分内容的关键初学向量的学生容易把“有向线段”与“线段”…     

运用解几知识解三角问题

数形结合是中学数学思维的基本形式,解析几何是数形结合的典范,我们结合教学实践,举例说明解几知识在解证三角问题中的应用。一、运用定比分点性质解题在解析几何中,当点P为有向线段P_1P_2的内分点(或外分点)时,点P分P_1P_2所成的比λ=(P_1P)/(PP_2)为正值(或负值),利用定比分点的这个性质可以解某些三角题。     

降维法解题

变量的个数称为“维数”,平面是二维空间．《解析几何》课本中两点间距离公式,线段定比分点公式,直线的斜率公式以及点到直线的距离公式,都是通过作点或线段在坐标轴x轴（或y轴）上的射影,将问题转化为只与横坐标（或纵坐标）有关问题,化二维空间的问题为一维空间的问题,     

关于“线段的定比分点”

定比λ＝ＡＰ／ＰＢ,表示的是点Ｐ分有向线段ＡＢ的比。关于点Ｐ的实际位置与λ取值的对应关系问题,以往许多书刊虽有论述,但都缺乏系统性和直观性,这也是“线段的定比分点”成为教学难点的重要原因。本文通过建立特殊的坐标系,详细讨论了这种对应关系,实践证明这给...     

线段定比分点的向量公式及应用例举(一)

线段的定比分点公式是同学们所熟悉的重要公式,它在中学数学中有较为广泛的应用,近几年的高考也时有涉及,如2000年全国高考文理科倒数第一大题都直接考查了定比分点公式的运用.同学们所熟悉的是定比分点的坐标公式,其实,除此以外,定比分点公式还有其向量形式.运用定比分点的向量形式解题有时显得更为简洁明快.一、线段的定比分点向量公式设P1、P2是直线l上的两点,点P是l上不同于P1、P2的任意一点,O是平面内任意一点,设OP1=a,OP2=b,P分有向线段P1P2所成的比为λ,则有OP=a1++λλb.证明:如图1,因为P1P=OP-a,.PP2=b-OP,P1P=λPP2,所…     

青山依旧在 几度夕阳红——“线段的定比分点”教学设计随想

笔者近期听了一节高一年级青年教师的课,内容是人教A版《数学4》第2．3．4节“平面向量共线的坐标表示”。课后,任课教师问了笔者一个问题：“线段的定比分点还要教吗？”笔者当时答不上来。可对于“线段的定比分点”,心底有一种莫名的触动。     

线段定比分点公式在几何证题中的应用

证明几何题 ,我们一般常采用综合分析法 ,这确是行之有效的重要方法 ,但在证明过程中有时却过于复杂 ,不易理解 .而用解析法来证明就可以简化证明 ,且思路清晰易于理解 .下面利用线段的定比分点公式来解决一些几何题目 .线段定比分点公式 :用点的径向量表示 :对于有向线段Ｐ1Ｐ2 (Ｐ1≠Ｐ2 ) ,如果点Ｐ满足Ｐ1Ｐ=λ·ＰＰ2 (λ≠ -1 ) ,则称点Ｐ是把有向线段Ｐ1Ｐ2 分成定比为λ的分点 ,Ｏ是空间任意一点 ,则ＯＰ =ＯＰ1+λＯＰ21 +λ .例 1　如图 1 ,设△ＡＢＣ的三个顶点为Ａ、Ｂ、Ｃ ,同一平面上有一点Ｐ ,今取Ｑ、Ｒ、Ｓ ,使ＰＣ∶ＣＱ …     

线段定比分点公式的几种推导及定比λ

线段定比分点公式是解析几何的基本公式．本文用射影、平面几何、向量的坐标等四种方法对线段定比分点公式进行了推导．针对学生在学习和运用线段定比分点公式时所出现的错误，进一步讨论了定比A的范围．设直线上两点P1、P2坐标分别为（x1，y1）、（x2，     

定比分点问题中的“韦达定理”及其应用

<正>一、研究背景新教材将以前《平面解析几何》中"定比分点"的内容置于《平面向量》这一章,以向量的语言重新加以定义,使得定比分点成为平面向量与解析几何的绝佳交汇点.例如下     

定比分点向量式de变式及其应用(高一、高二)

已知有向线段P1P2,如果点P使得并设O为平面上任意一点,则此式称为有向线段(?)的定比分点P的向量表达式,若令     

如此定义（高二、高三）

人教版新老数学教材在定义“点P分有向线段P1P2→的比”时是这样给出的: (1)老《解析几何》教材P2上定义:有向直线l上的一点P,把l上的有向线段P1P2→分成两条有向线段P1P→和PP2→,P1P→和PP2→数量的比叫做点P分P1P2→所成的比,通常用字母λ来表示这个比值,λ=P1P/PP2,点P叫做有向线段P1P2→的定比分点. (2)人教版试验修订本教材第一册(下)P113上定义:设P1、P2是直线L上的两点,点P是L上不同于P1、P2的任意一点,则存在一个实数λ,使     

日趋活跃的“定比分点”

新教材将旧版<平面解析几何>中"定比分点"置于<平面向量>这一章,以向量语言重新加以定义,使得定比分点成为平面向量与解析几何的绝佳交汇点. 在直线与圆锥曲线相交弦中设计与定比分点交汇的综合性试题,已成为新高考命题的一个亮点. 综观2004年全国及11省市十几套高考试卷,此类试题推陈出新,百花齐放,可谓美不胜收. 下面撷取几例,探讨解题规律.     

由定比分点的定义引发的探究

“设P1，P2是直线l上的2个点，点P是l上不同于点P1，P2的任意一点，则存在一个实数λ，使得P1P→=λPP2→，λ叫做点P分有向线段P1P2→所成的比”这是高中数学教材第一册（下）给线段定比分点所下的定义．笔者发现，只要对定义中的等式P1P→=λPP2→稍加变形，即可得到一个与线段定比分点坐标公式极为相似的向量形式结论．下面以定理的形式给出这一结论，并对其进行空间拓广．     

高中平面解析几何重点内容辅导

高中平面解析几何重点内容辅导姜长修，吕宗东一、直线方程直线方程是解析几何的基础部分，主要研究直线方程的求法，两条直线的位置关系，图与数的转换等内容例、△ＡＢＣ的顶点Ａ（一１，１）、Ｂ（２，０）、Ｃ（３，５），Ｐ是线段ＡＣ上的一点，且直线过点Ｐ把△ＡＢ...     

线段定比分点公式的向量形式

对有向线段的定比分点坐标公式及其应用大家都很熟悉 ,而对该公式的向量形式及由此衍生出的系列性质和应用的认识则要逊色得多 .本文试对此作一探索 ,以期抛砖引玉 ,使对定比分点公式的理解更趋完善 .定理 1　设Ｐ1 、Ｐ2是直线ｌ上的两点 ,点Ｐ是ｌ上不同于Ｐ1 、Ｐ2 的任一点 ,且Ｐ1 Ｐ=λＰＰ2 ,Ｏ是此平面内任一点 ,则　　　　ＯＰ =ＯＰ1 +λＯＰ21 +λ .上式称之为线段定比分点公式的向量形式 .证明　ＯＰ=ＯＰ1 + Ｐ1 Ｐ ,①ＯＰ =ＯＰ2 + Ｐ2 Ｐ ,②① +② ·λ ,得(1 +λ) ＯＰ =ＯＰ1 +λＯＰ2 ,∴ＯＰ =ＯＰ1 +λＯＰ21 +λ .当…