形如“1/a+1/b=1/c”问题的证法探讨

几何学中,形如“1/a+1/b=1/c的题目,实质上也是比例线段的一种形式。但由于分母都是线段而分子都是常数,学生往往感到头疼。本文就一些典型的证明,概括了以下几种思考方法。     

“b/a+d/c=1”型几何题证明举例

在几何证明中,往往会涉及到线段的比值之和为常数1的题型,我们将它简称为“b/a++d/c=1”型几何证明题.此种类型题目的证法一般是将结论中所涉及到的线段比转化为同一直线上的某些线段的比.     

巧作长为k~(1/2)的线段(初二、初三)

新教材(人教版《几何》第二册99页)提出了利用勾股定理多次作有一边长为1的奠基Rt△而得到长为(?)的线段.这个方法要多次重复地作Rt△.这里介绍一种利用k=(k+1/2)2-(k-1/2)2作线段(?)的简便、快速的方法.     

形如1/a+1/b=N/c几何题的证明

形如1/a+1/b=N/c(其中a,b,c是线段,N是正整数)的几何证明问题,学生往往感到棘手。其实,证明此类问题,关键在于变换结论的形式,从变换后的等价命题的各种形式中找到证题途径。兹举例说明。初中《几何》第二册24页9(3)题和22页的例题,是此类问题的典型例子。经过深化得如下例1和例2。     

2~(1/2)蒙冤记

2~(1/2)降临人世,远在公元前6世纪. 那时,古希腊有一个重要学派,即毕达哥拉斯学派,他们信奉“万物皆数”,认为世间万事万物都可用数的观点来理解,不过,他们所指的数仅仅是整数(分数可视为两个整数之比)。相应地,在几何学上毕达哥拉斯学派认为,只要确定了单位长度1,则所有线段的长度都能用整数或整数之比来计量。例如,可将1个     

条件等式((a+b)~(1/2)-a~(1/2))~a=(m+b~n)~(1/2)-m~(1/2)的简证

《中学数学教学》1985年第3期刊登了梁丽玲同学写的《关于一个特殊条件等式的普遍形式的探讨》的小论文。该文把条件等式: 对一切自然数n,都存在自然数m,使得(2~(1/2)-1)~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2)成立①推广成: 对一切自然数n,都存在自然数a、b、m,使得 ((a+b)~(1/2)-a~(1/2))~n=(m+b~n)~(1/2)+m~(1/2)成立②并利用数学归纳法给出了证明。下面给出条件等式②的另一种证明。     

2~(1/2)的另外一个“面孔”

我们知道任意一个有理数都可以用p/q(p、q互质)这样的分数形式表示,而2~(1/2)则不能,因为2~(1/2)不是有理数.但2~(1/2)能用另一种形式的分数——连分数来表示.     

巧作线段a~(1/2)

作出线段a(a为大于 1的自然数 ,下同 ) ,可以帮助我们说明实数和数轴上的点是一一对应的 .如何作线段a ?第二章“实数”的开头就给出了一种方法 ,用这种方法 ,可以按顺序依次作出 2 ,3 ,4,…如果让你做一条长度为 1 9的线段 ,按这种方法 ,就需要做 1 8个三角形 ,比较繁 .能不能比较简洁地找到一个直角三角形 ,使它的斜边等于 1 9?我们知道 :a+ 122 -a-122 =a2 + 2a + 14 -a2 -2a + 14=a2 + 2a+ 1 -(a2 -2a+ 1 )4 =4a4=a.可以看出 ,若一个直角三角形的斜边为 a+ 12 ,一直角边为 a-12 ,则另一直角边为a+ 122 -a-122 =a .因此 ,不论a为多少 ,只…     

线段比的和差式证法例析

线段比的和差式是四条线段成比例的一种变形,这类题型证明的基本方法是将要证明的结论变为四条线段成比例的基本形式.下面举例说明证明这类题型的两种基本方法,供同学们学习时参考.     

通用公式S_n=1/2n(n-1)及其应用

在有关直线、线段、角的计数中，有一个通用公式，那就是S_n=1/2n(n-1)，具体诠释如下： 1．平面内有n(n≥2)条直线，两两相交，最多的交点数S_n=1/2n(n-1)． 2．平面内有n(n≥2)个点，其中任意三点都不在同一条直     

1:2~(1/2)矩形在立几中的应用

矩形的边长之比为1:2~(1/2),本文简称1:2~(1/2)矩形。1:2~(1/2)矩形有以下性质。性质如图,N、M 分别是矩形 ABCD 较长边 AB、CD 的中点,AM、CN 分别交 BD 于 E、F。如果较长边AB=2~(1/2)BC,那么,E 和 F 两点是分别过 E、F 的两条线段的垂足,且 E、F 是所在线段的三等分点,今较短边BC=a,AB=2~(1/2)a,则 ME=NF=(1/3)CN=(1/3)AM=(1/6)6~(1/2)a,BF=EF=DE=(1/3)3~(1/2)a。应用以上平几知识,可以提高分析和解决某些立几问题的能力,兹举例并分析如下。例1 正方体 ABCD—A_1B_1C_1D_1中,二面角 A_1—     

1994年荆州地区高中毕业班质量检查(Ⅰ) 数学试题(理工农医类)

第Ⅰ卷 一、选择题 (1)集合{0}与φ的关系是( ). A.{0}=φ B.{0}∈φ C.φ∈{0} D.φ(?){0} (2)a、b是平面a外的两条直线,a∥a,那么a∥b是b∥a的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 (3)正切曲线y=tgωx(ω为常数,且ω>0)的相邻两支截直线y=1和y=2所得线段的长分别为m、n,则m、n的大小关系是( ). A.m>n B.m相似文献   

函数f(x)=(ax b)~(1/2)-(cx d)~(1/2)值域的求法

对于给定的函数f(x)=(ax b)~(1/2)-(cx b)~(1/2)(a、b、c、d,均为常数,且ac≠0)。可分以下情况求其值域: 1.当a>0,c<0时,f(x)在定义域上是增函数,可由单调递增函数的性质求出值域。 例1 求函数f(x)=(x 2)~(1/2)-(-3x 4)~(1/2)的值域。 解 求函数f(x)的定义域是[-2,4/3],     

巧解1/4>( )>1/5

1/4>( )>1/5,这类题目常见。一些资料都是把分数化成同分母分数或是同分子分数进行比较,然后得出答案。这种解法学生虽然能够理解和掌握,但较麻烦,特别是要填的空多了就更麻烦。 这里介绍一种既简便,又容易被学生理解和掌握的方法。如:     

“1/x+1/y=1/a”型问题的证明技巧

<正> 有一类几何证明问题,其结论的表达式形如“1/x十1/y=1/a”,这类问题的证明,常可采用如下技巧:首先将结论变形为a/x+a/y=1;然后应用相关性质,将a/x和a/y分别转化为m/(m+n)和n/(m+n)的形式,     

不等式(a b)(1/a 1/b)≥4的应用

在解析几何的一些极值问题或者不等式问题中,恰当地运用不等式(a b)(1/a 1/b)≥4(ab>0,可以使解题更简洁. [例1] 求圆x~2 y~2=r~2(r>0)的切线方程,使此切线夹在两坐标轴正半轴间的线段长最短,并求出这个线段长.     

线段等式“(a/b)=(c~2/d~2)”证法浅议

形如“a/b=(c~2)/(d~2)”的题目,是较复杂的线段比例式,由于求证式两边不是同次幂,证明较困难。这里举例说明几种思考方法,以供参考。一用线段的积代替 c~2或 d~2,进而使问题转化为证明简单的线段比例式。     

方程f(x) 1/f(x)=c 1/c

西南师范大学出版社出版的初中数学试验教材(内地版)代版第二册P、136、1(3)题和实验课本高层次代数第2册P、108、3题都是关于x的方程:x 1/x=a 1/a,这个题目非常好。好在它的构造是倒数型、对称型,所以形式简洁美丽,好在它的解也对称、简明、易记,更好在能推广灵活运用也同样有对称美、简洁美。命题一方程:x 1/x=c 1/c(?)x_1=c,x_2=1/c(证略) 如果将未知数x换为x的函数f(x),则有: 命题二方程f(x) 1(f(x))=c 1/c(?)f(x)=c,f(x)=1/c,(其中x为未知数,f(x)为x的函数) 证明:∵f(x)≠0,c≠0。     

平面几何(之20) 三角形的线

(5)三角形的中垂线及垂心的证明先说明什么是线段的中垂线.1.线段中垂线的定义·性质过线段的中点并且垂直于线段的直线就称为该线段的垂直平分线,简称中垂线.如图1所示的三个图中,直线l都过线段AB的中点H且都垂直于AB.     

怎样化简(a~2)~(1/2)

在利用二次根式的性质(a~2)~(1/2)=|a|=(a(a≥0) -a(a<0)) 化简二次根式时,关键是确定a的符号,而这一步判断的准确性依赖于对化简条件的不同形式的正确处理。本文就中考试题中化简条件的一些常用变化形式与判断方法作一些介绍。 1.以不等式形式给出条件