48届IMO第四题的多种解法

48届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)中的第四题是一道平面几何题,一般证法都要利用高中的三角知识,下面我们利用初中的全等三角形、相似三角形和正弦定理等知识给出几种简单而巧妙的证法.题目如下:     

一个几何命题的另外几种证法

人民教育出版社出版的《初等数学复习及研究(平面几何)》一书的第二章第二节“直接证法与间接证法”中,就间接证法举了五个例题,其中例4是:“设三角形有历个角的平分线相等,则这两角的对边必相等”。书中用反证法证明后,又在习题中介绍了一个直接证法,现再介绍几种另外的证法。     

关于梯形中位线定理的证明

已知:梯形ABCD中,AD//BC,AM=MB,DN=NC.求证:MN//BC,MN=1/2(AD+BC).课本上的证法是连结AN并延长,交BC的延长线于E.如图1,证AN=NM,由MN是否△ABE的中位线来证明.下面介绍另外五种证法.     

平面几何証題術(1)

几何证题,虽然千变万化没有定法,但是经过千百年来中外数学家的研究,总结这些经验,也可使我们找出某些门径。本文系就题断性质,分门别类,详示例举,并尽可能多示各种不同证法,以启发思路。证法中或示直接法,或示间接法,在直接法中或用综合法,或用分析法,或分析综合法混用,体式不拘,以期通晓各种证法体式。     

比例线段的证明技巧

证明比例线段,是初中平面几何的重要证题之一.由于它们所牵扯的知识广泛,题型众多复杂,证法灵活,因而造成了教学中的一个难点,这就要求学生在掌握了应有的知识外,还要善于总结归纳,根据不同的题型,掌握不同的证题技巧.下面举例说明比例线段的一些常见的证明技巧.一、巧用“媒介法”证明比例线段如果所求证的比例式不易直接证出,可从中寻找一个“媒介”——第三者(或中间比)进行传递,为此还通常需要添加辅助线(即平行线)来实现这种比的转移.例1:已知是△底边的中点,过的直线交于,交的延长线于,求证:=分析:欲证=需寻求出一个“中间比”进行比…     

第110问题的另解

贵刊2007年第7期第110题是一道平面几何题,刘运宜老师给出了用全等三角形证明的简洁证法,这里再给出几种不同的证法．     

涉及直角三角形一命题的以向量法为主的证法

文[1]、[2]、[3]、[4]给出了文[1]提出的下列问题的解析证法和几种平面几何证法.笔者再给一个以向量法为主的证法.     

不等式证明的几种常用方法

不等式的证明没有固定的程序,证法因题而异,灵活多样,技巧性强,其基本的手法是应用定义及基本性质,并通过代数变换予以论证,最常用的方法大致有比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等。 1.比较法 有两种形式:(1)差值比较法,欲证α>β,只需证α-β>0;(2)商值比较法,欲证α>β(β>0),只需     

怎样进行几何证明

几何证明就是用已学过的公理、定理、定义来论证几何命题的逻辑推理过程几何证明的方活很多初中阶段较常用的是从原命题入手的直接证法,在此就直接证法来谈谈如何进行几何证明一、几何证明的思路几何证明的思路有三种：综合法、分析法、综合法与分析法相结合的方法．1．综合法一从命题的题设出发,逐步向前推理,得出命题的结论．这种“由因导果”的证题方法叫综合法例1凸ABC是等边三角形,BD是中线,延长BCygE,使CE＝CD求证：DB＝DE证明西ABC是等边三角形,fABC＝／ACB,AB二BC．又AD＝CD,／l＝／2二十／ABC””““——…     

浅谈数学证明题的解法

<正>在高中数学的各类题型中,证明题是比较难的一类,主要是因为证明题对证明过程的书写要求较严格。命题的证明主要分直接证法和间接证法,本文就来谈谈两种最常用的直接证明方法。1.综合法综合法是中学数学证明中的常用方法,其逻辑依据是演绎推理方法。其解题思路是"由因导果",是从已知条件出发,顺着推证,经过一系列的中间推理,最后导出所证结论的真实性。例1已知a,b,c∈(0,+∞),求证:(ab     

线段比例中项问题的证法探讨

证明线段比例中项是平面几何中常见的问题 .研究此类题的证法 ,有利于培养学生分析问题和解决问题的能力 ,使学生积累一定的技巧和方法 ,提高解题的速度和质量 .现介绍几种证法供读者参考 .1　直接证三角形相似当所证的比例线段 ,分别是两个三角形的对应边时 ,可通过证三角形相似证明 .例 1　已知两圆内切于点Ｐ ,大圆的弦ＡＢ切小圆于Ｃ ,ＰＡ、ＰＢ交小圆于Ｅ、Ｆ .求证 :ＰＣ2 =ＰＥ·ＰＢ .分析 :ＰＣ、ＰＥ在△ＰＣＥ中 ,ＰＢ、ＰＣ在△ＰＢＣ中 .考虑证△ＰＣＥ∽△ＰＢＣ .图 1证明 :如图 1 ,过点Ｐ作两圆的公切线ＰＤ ,则∠ＰＥＣ =…     

平面几何证题中的角参数法

平面几何问题的证明,多用直接证法。近年来,很多代数、三角、解析几何知识下伸初中后,用代数法、三角法、坐标法证平面几何问题,已使初中学生发生浓厚兴趣。笔者就三角证法的一种——角参数法举例如下,以供参考。在证明平面几何问题时,三角形的边、角等元素经常是未知的,如果设一个角(或几个角)作参数,来表示三角形中其他元素,把平面几何问题转化为解三角形问题来证明,就是“角参数法”。     

“四点共圆”及其应用

在初中平面几何学习中,“四点共圆”是种很重要的证题方法,一般有以下四种证法:     

平几题证法例谈

平面几何问题的证题方法可分为两类：一类是一般方法,即适用于所有问题的证法,包括分析法、综合法和反证法三种;另一类是适用于某类特殊问题的方法,如变轨法、辅助图法、相似形法、位似图法等。本文就平面几何问题的一股证朋方法举例予以说明。一、分析法”分析法是从命题的结论出发,根据已知的定义、公理和定理等,逐步向命题的条件逆求,直至命题条件的思维方法。其证题模式是：欲证命题结论B为真,只需证命题B;为真,从而又只需证命题B。为真,…只需证条件A为真,而由已知知A为真,故结论为真,命题得证。分析法是论证命题时的…     

生活中的反证法

反证法是中学数学的一个难点 .之所以难 ,主要是因为前面在学平行线、相交线、三角形、四边形、相似形、锐角三角函数、解直角三角形各章中 ,证题用的都是直接证法 ,大家对这种证题方法已经比较习惯 ,如今突然学习间接证法 ,而这种证法不是从已知出发 ,而是从否定结论入手 ,这和已有的证题习惯不同 .所以 ,同学初学反证法 ,会有一种陌生的感觉 ,排斥的心理 .加之此时学习反证法 ,课本要求不高 ,例习题很少 ,大家不重视 ,知识不巩固 .然而 ,反证法是一种重要的证题方法 ,它不仅在高中立体几何及高等数学中有着广泛的应用 ,而且在日常生活和交…     

48届IMO第四题的多种解法

48届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中的第四题是一道平面几何题,一般证法都要利用高中的三角知识,下面我们利用初中的全等三角形、相似三角形和正弦定理等知识给出几种简单而巧妙的证法．题目如下：     

巧引辅助线

在平面几何的证明题中,常需引辅助线,而因辅助线引法不同,可使一题有多种证法。那么如何快捷地引出辅助线,巧妙得出结论,往往又是证题的难点。下面就一道几何题的证法分析如下：已知：如图,在ＡＢＣ中,ＡＢ＝ＡＣ,ＡＤ是中线,Ｐ是ＡＤ上一点,过Ｃ作ＣＦ∥ＡＢ...     

一道几何赛题的多元证法及启示

2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题第14题是这样的:题目如图1,AB∥CD,AD∥CE,F,G分别是AC和FD的中点,过G的直线依次交ABAD,CD,CE于点M,N,P,Q.求证:MN PQ=2PN.平行线是截取比例线段的基本依据,在证题时添出必要的平行线可以获得所需的比例线段.作出不同的辅助线,可得到不同的证法.经过分析探究,笔者发现该题的证法较多,不失为一道好题,现给出几种不同的证明思路,供读者参考.1证法探究证法1如图1,作CH∥DF,AK∥DF,分别交QM于H,K,则CH∥AK.又F是AC的中点,所以G是HK的中点.由梯形中位线定理得,CH AK=2FG.由CH∥DG,得PCDP=CDHG;由AK∥DG,得DANN=AKDG.所以CPDP DANN=CHD GAK=2DFGG=2DDGG=2.由CQ∥DN,得PQNP=PCDP;由AM∥PD,得MPNN=ANDN.所以QPNP MPNN=PCDP DANN=2.即MN PQ=2PN.图2证法2如图2,作FH∥CD,交QM于H,易知H是PM的中点,由梯形中位线定理,得AM CP=2FH.显然,△PGD≌△HGF,有PD=FH.由CQ∥DN,得...     

关于a~2/b~2=c/d的几何证题思路

在平面几何中,相似形、圆的证题因题型多变、难度较大,对于一个学过几何的人来讲,如果能独立完成中等难度的几何证题方法,那么就可以说平面几何学得不错了.我们平时遇到的平面几何问题,有时可采取归类证题,在几何证题中,     

关键是把方法教给学生——也谈几何证题方法

目前,在初中几何教学过程中,学生普遍感觉困难的是几何证题方法。其关键原因是学生没有掌握几何证题方法。所以只要把证题的关键方法教给学生,学生在证题过程中就“有法可依,依法炮制”,再经过反复练习,从而掌握一般规律,提高解题能力。 在初中几何证明题中,多采用直接证法,直接证法的思路有两条:一是由因导果,即综合法;另一是执果索因,即分析法。综合法是从题设出发,以公理、定理为依据,逐步推理,最后达到证明结论。而分析法则从结论出发,以公理定理为依据,每步采用“要想证明…只须证明…”的形式,步步上溯,环环相扣,寻找证题途径。分析法利于构思,综合法便于叙述,两者互为逆施,因果为用。用分析法执果索因,寻找证题途径,用综合法写出条理的证明过程。两种方法在证题过程中交替使用。就可对命题进行证明。下面举例说明以上两种方法的具体运用。