一道数学练习题的启示

<正> 在全日制普通高级中学教科书（必修）数学（人教版）第一册（上）第137页上有这样一道题目:有两个等差数列{a_n},{b_n},且（a₁+a₂+…+a_n/b₁+b₂+…b_n）=（7n+2/n+3）,求（a₅/b₅）。这是一道利用等差数列的性质（在等差数列{a_n}中,若 m+n=p+q,则 a_m+a_n=a_p+a_q）和等差数列前 n 项和的公式[S_n=（a₁+a_n）·n/2]求解的综合试题。本文想通过这道题目的求解思路和方法,给出解这类问题的一般思路和方法。首先来解这道题:     

竞赛中的数列

数列在中学数学中占有很重要的地位,是数学学习的一项基本内容,本文主要介绍了数列在竞赛中的应用.例1（2001年全国高中数学联合竞赛）设{a_n}为等差数列,{b_n}为等比数列且b₁=a₁²,b₂=a₂²,b₃=a₃²（a₁2）,又（?）(b₁+b₂+     

排序不等式的应用举例

设有两个有序数组a₁≤a₂≤…≤a_n及b₁≤b₂≤…≤b_n.则a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n（顺序和）≥a₁b_j1+a₂b_j2+…+a_nb_jn（乱序和）≥a₁b_n+a₂b_n-1+…·+a_nb₁（逆序和）。其中j₁,j₂,…,j_n是1,2,…,n的任一排列。当且仅当a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n时等号（对任一排列j₁,j₂,…,j_n）成立。以上就是新课程介绍的排序原理（或排序不等式）,以前是竞赛数学中的一个重要的不等式,现在新增至高中数学选修教材中。排序不等式和柯西不等式一起作为两个基础而重要的不等式,形式优美、意思非常简单明了,很容易理解和记忆,而且它的应用十分广泛和而又富有技巧性,掌握和利用好排序不等式,对证明不等式,比较大小,求最值,以及解决一些应用题都很有帮助,体现了数学的对称美,有利于培     

一道全国高中联赛题的解法赏析及溯源

<正>1 真题呈现(2022年全国数学联赛第10题)给定正实数m (m≥3)．设正项等差数列{a_n}与正项等比数列{b _n}满足：{a _n}的首项等于{b _n}的公比,{b_n}的首项等于{a_n}的公差,且a_m=b_m,求a_m的最小值,并确定当a_m取最小值时a₁与b₁的比值．分析：观察此题,应首先用尽量少的变量表示a_m,得到a_m的函数式,然后考虑使用导数法或均值不等式来求解a_m最值．2 解法探究     

2012欧洲女子数学奥林匹克

第一天1.如图1,O是△ABC的外心,点D、E、F分别在线段BC、CA、AB上,使得DE⊥CO,DF⊥BO.设K为△AFE的外心,证明:DK⊥BC.2.设n是一个给定的正整数.求最大的正整数m,使得具有如下性质:存在一张m行n列的实数数表,满足对任意两行数[a₁,a₂,…,a_n]和[b₁,b₂,…,b_n]均有     

再探等差与等比数列前n项和的性质

文[1]作者得到下列两个性质:①若数列{a_n}是以口a₁为首项,d为公差的等差数列,则a₁Ca_n⁰+…+a_n+1C_nⁿ=（a₁+n/2d）·2ⁿ.②若数列{a_n}是以a₁为首项,q为公比的等比数列,贝a₁C_n⁰+a₂C_n¹+…+a_n+1C_nⁿ=q（1+q）ⁿ.文[2]作者得到性质:对于任意以口l为首项,q为公比的等比数列{a_n}（a₁≠0,q≠0）,任意以b₁为首项,d为公差的等差列{b_n},总有:     

柯西不等式的若干变式及其应用

柯西不等式是由法国数学家柯西最早发现的,因而被命名为柯西不等式.由不等式2ab≤a²+b²,这里只要令a=a₁b₂,b=a₂b₁,便可得到,二维的柯西不等式为（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）,而等号成立时就是完全平方公式,这时a=b,也就是a₁:a₂=b₁:b₂.n维的柯西不等式为:设a₁,a₂,…,     

2021年全国新高考数学Ⅰ卷第17题的解法探究和教学启示

1问题提出(2021年新高考Ⅰ卷第17题)已知数列{a_n}满足a1=1,a_n+1={a_n+1,n为奇数,a_n+2,n为偶数。(1)记b_n=a_2n,写出b₁、b₂,并求数列{b_n}的通项公式;(2)求{a_n}的前20项和.本题以“奇偶项交织”的递推关系考查数列的基本知识,注重基础,但形式新颖,解题方法较为丰富.     

2014年高考数学必做解答题——数列

第1点等差、等比数列的综合,数列求和（）必做1已知等差数列{a_n}的首项a₁=2,a₇=4a₃,前n项和为S_n.（1）求a_n及S_n.（2）设b_n=（S_n-4a_n-4）/n,n∈N*,求b_n的最大值.牛刀小试破解思路对于第（1）问,等差数列问题通常以首项a₁和公差d为基本量,由于已知a₁的值,故只需把条件a₇=4a₃翻译成关于d的方程,从而得到d的值;再利用等差数列的基本公式（通项公式及前n项和公式）求解即     

权方和不等式的一些应用和推广

在高中阶段,有一个重要的权方和不等式:设a₁,b₁>0,m>0,则（?）,等号当且仅当a₁=λb₁时成立.这个不等式在竞赛和自主招生等试题的求解中都并不鲜见,现略举几个实例,以期抛砖引玉.例1（数学奥林匹克问题之163（高中）《中等数学》2005年第11期）已知a为锐角,求证:（?）.     

对一道高考试题的引申

本文对陕西省2009年文科高考题中的一道数列题进行引申,并给出一般性的中等数学的处理方法.陕西省2009年文科数学高考题第21题:已知数列{a_n}满足a₁=1,a₂=2,a_n+2=(a_n+a_n+1)/2,n∈N*.（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n,证明,数列{b_n}是等比数列;     

求递推数列的通项

数列是高中数学的重要内容,求递推数列的通项是高考的热点之一.其主要方法有归纳、累和、累积、换元、取倒数、待定系数等方法.下面通过对几个例题的解析分别介绍这几种方法.例1①已知数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=a_n+3,求通项;②已知数列{b_n}满足b₁=1,b_n+1=2b_n,求通项.分析:本例①为等差数列,②为等比数列,可用归纳法或迭代的方法求出其     

错解数列题的原园分析

易错点1:忽视数列求和的项数而导致错误例1设数列{a_n}的前n项和为S_n,且b_n=2-2S_n,数列{a_n}为等差数列,且a₂=14,a₇=20.（1）求数列{b_n}的通项公式.（2）设c_n=a_nb_n,T_n为数列{c_n}的前n项和,若2a²-5a>2T_n恒成立,求实数a的取值范围.难度系数0.60     

2013年高考数学湖北理科卷第12题的背景素材

（2013年高考湖北卷·理12）阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=_<sub>.解析（1）a₁=10,i=1;（2）a₁为偶数,则a₂=a₁/2=5,i=2;（3）a₂为奇数,则a₃=3a₂+1=16,i=3;（4）a₃为偶数,则a₄=a₃/2=8,i=4;（5）a₄为偶数,a₅=a₄/2=4,i=5.故答案为i=5.本题立意新颖,其背景是世界数学名题"3x+1问题":即任意一个正整数,若是偶数则除以2;若是     

构造新数列 巧解竞赛题

例1数列{a_n}中,a₁=1,a_n+1=1/（16）(1+4a_n+（1+24a-n）^1/2求a_n.分析本题的难点是递推关系式中的（1+24a_n）^1/2的处理,可构建新数列{b_n},令b_n= （1+24a_n）^1/2,这样就巧妙地去掉了根式,便于化简变形.     

把握契机 深度引领——一道数列问题求解的探究

<正>目前,双减政策实施下,更需要的是课堂教学的提效增质,数学教学的着力点要体现在启发思维,激发兴趣,促进学生的内生长动力的产生方面.而恰当的情境创设、问题设计、本文是笔者的一次数列问题的探究课,供同仁指正.1题目呈现已知数列{a_n},{b_n}满足a₁=1/2,a_n+b_n=1,     

n个自然数的积与最小公倍数、最大公约数的关系

我们知道,对于任意两个自然数a₁、a₂,它们的最大公约数（a₁,a₂）、最小公倍数[a₁,a₂]和乘积a₁·a₂之间满足关系式[a₁,a₂]=a₁·a₂/（a₁,a₂）.那么对于任意n个式[a₁,a₂]=a₁·a₂/（a₁,a₂）.那么对于任意n个自然数a₁、a₂、a₃、…、a_n,它们的最大公     

引入参数求摆动数列通项

例1已知数列{a_n}中,a_n+1+a_n=5,a₁=2,求数列{a_n}的通项a_n.解令a_n=b_n+μ,由a_n+1+a_n=5,得(b_n+1+μ)+（b_n+μ）=5,即b_n+1=-b_n+5-2μ,令5-2μ=0,解得μ=5/2.     

解答数列不等式题的四大易错点

一、没有关注数列中刀应该是正整数例1已知数列{a_n}满足a₁=33,a_n+1-a_n=2n,则（a_n）/n的最小值为_<sub>.难度系数0.70错解由a_n+1-a_n=2n叠加有（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+(a_n-a_n-1)=2[1+2+3+…+（n-1）],化简整理得     

换一只眼看数学——函数视野下的数学解题

函数思想是数学思想的重要组成部分,在高中数学中起到横向联系和纽带连接的主干作用.用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想.具体讲就是通过类比联想转化,合理地构造函数,从而有效降低题目难度,以达到轻松解题的目的.函数思想的运用范围不仅在函数问题的高考试题中,而且在不等式、数列、解析几何等问题中也有不俗表现.1.数列数列从本质上来讲是函数,用函数思想解决数列问题不但能够加深对数列概念的理解,而且能加强知识点间的联系.例1等差数列{b_n}中,b₁>0,前n项的和为T_n,若T_l=T_k（l≠k）,当n取何值时T_n最大?