三角形内切圆的几个结论及应用

（本讲适合高中） 在三角形的内切圆图形中,有一系列有趣的结论．这些结论在处理有关竞赛题时常发挥着重要作用．     

图形认识初步复习指导

会画简单的立体图形，熟悉各种图形的侧面展开图．认识线段、射线、直角、角等简单平面图形．掌握线段的中点与角的平分线的定义及性质．能利用两角互余、两角互补求出各角的度数，并能用一个角去表示另一个角．能进行线段或角的比较，会进行角的单位的简单换算．积累操作活动经验．能叙述简单的推理过程．进行简单的说理．     

构造直角三角形解题

<正>解(证)平面几何竞赛题一般都要添辅助线.添辅助线的目的是构造新的图形,把题目中的条件(或者部分条件)转化到新的图形中,运用熟悉的图形性质沟通已知与未知的内在联系,从而使问题获得解决.下面举例说明,利用特殊角或边之间的特殊关系,添垂线构造直角三角形在解竞赛题中的运用.     

圆中常作的辅助线

(本讲适合初中 )前苏联数学家亚格龙将几何学定义为 :几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科 .我们把几何图形的运动叫做“几何变换” ,常见的几何变换有平移、对称与旋转 ,它们都是“保距变换” ,即一个几何图形运动到一个新的位置时 ,这个图形上任意两点的距离保持不变 .本文就平移变换在解竞赛题中的应用加以介绍 .1　基础知识平移变换是使图形Ｆ1上的点沿同一方向平移同一距离得到图形Ｆ2 .平移变换前后的图形具有如下性质 :( 1 )对应线段平行且相等 ;( 2 )对应角的两边平行且方向一致 .例 1　如图 1 ,六边形ＡＢＣＤＥＦ中…     

圆与三角形零距离接触

三角形的外接圜及内切圆是圜中最重要的几何图形之一,它是三角形性质与圆基本性质的大综合．同学们通过经历其图形的变化及应用的探究,能进一步发展几何直觉,提升几何证明能力,展现自身的数学潜能,同时,三角形的外接圃及内切圆也是学习圆与其他多边形相结合图形的基础．它在现实生活中应用广泛、贴近生活、活泼生动,备受中考命题者的青睐,成为了历年中考的热点之一．     

正方形相互重叠的性质探讨

在数学竞赛的命题中 ,经常出现一些趣味题、智力题、逻辑推理题、开放题、探索题等 ,这些题有很强的趣味性 ,有的又有一定的难度和技巧 ,使人着迷 .对这些竞赛题的探讨和深层次挖掘十分有趣、十分有益 ,并且也十分有意义 .本文将对 2 0 0 0年北京市一数学竞赛题的图形性质作一探讨 .如图 1所示 ,两个边长相等的正方形P1Q1R1S1和 P2 Q2 R2 S2 相互重叠 ,其中的公共部分为一八边形 ABCDEFGH .探索该图形具有哪些性质 .图 1性质 1 :八边形 ABCDEFGH的八个角中 ,相间的四个角都相等 ;且每相邻两角的和为2 70°.性质 2 :八边形 ABCDE…     

与三角形的内切圆有关的几何题

如图1,△ABC的内切圆I分别切BC、AC、AB于D、E、F、以此图形为基础,我们可以构造一系列的几何题。沟通平面几何的许多知识,是复习时一图多用的典型题.     

直角三角形内切圆与旁切圆的有趣性质

三角形内切圆指圆心在三角形内、与三边相切的圆．三角形旁切圆指圆心在三角形外、与三角形一边及其它两边的延长线都相切的圆．显然,一个三角形有一个内切圆与三个旁切圆．在直角三角形中,内切圆与旁切圆有许多有趣的性质．     

垂足三角形的性质及应用

垂足三角形的问题常常出现在数学竞赛题中。本文给出关于它的面积、周长、内切圆半径、外接圆半径的有关性质及它们的应用。     

基本平面图形中动角问题研究

<正>平面几何是数学中的一个重要分支,其研究对象是平面内的点、线、角等基本图形及其性质．在平面几何中,角是一个重要的概念,其性质和应用十分广泛．本文主要研究基本平面图形中的动角问题,旨在提升同学们的逻辑推理能力和空间想象能力．     

平行线的性质与判定

一般地说,根据图形所具有的特征,肯定它是什么样的图形,叫做图形的判定．反过来,某种图形所具有的特征,就是图形的性质．判定和性质这两个概念既有联系又有区别,初学时极易混淆．下面就平行线的判定与性质的学习谈几点意见．一、从因果关系弄清判定与性质的区别与联系平行线的判定中,两直线平行是由角的相等或互补作为判断依据的．角的相等或互补是已经知道的,是前提,是“因”．两条直线平行是推出来的,是结论,是“果”．平行线的性质正好与判定相反,它是在已知两直线已经平行的情况下,推出角的相等或互补．两直线平行是前提,…     

构造全等三角形解竞赛题

利用三角形全等证明线段相等、角相等是最常用、最基本的方法 .而有些竞赛题的图形中 ,没有已知的三角形全等 ,而是要利用已知和图形所提供的信息 ,构造一个或几个三角形与原有的三角形全等 ,从而使原来不明显的线段 (或角 )关系凸现出来 .现举例说明 .一、证明线段相等例 1　 ( 1999年天津市初中数学竞赛题 )如图 1,已知在△ ABC中 ,AD是 BC边上的中线 ,E是 AD上的一点 ,且 BE =AC,延长 BE交 AC于 F.求证 :AF =EF.简析 :已知条件 BE =A C是分散的 ,在原图中难以利用 ,因此考虑添加适当的辅助线 .因为 AD是 BC边上的中线 ,往往…     

构造等腰三角形解竞赛题

等腰三角形是轴对称图形，不但具有“两腰相等、两底角相等”的性质，还具有“底边上的中线、底边上的高线和顶角的平分线互相重合”的“三线合一”特性，在初中一些竞赛题中，经常可以构造等腰三角形，然后利用等腰三角形的上述性质进行分析、解题。下面列举出运用该方法处理的几例竞赛题，供同学们参考学习。     

直角三角形的一个新性质及应用

直角三角形是一类基本图形,它的一些重要性质已被大家所熟知,本文再给出一个关于直角三角形内切圆的新性质. 定理 在rt△aBC 中,∠C ＝ 90°,设BC ＝ a,aC ＝B,r 是△aBC 的内切圆半径,则r 是一元二次方程2×2 －2(a + B)× + aB ＝ 0 的较小根.     

三角形内切圆的性质及其应用

初中数学中内切圆的内容看似简单,其实它有丰富的内涵,也是初中几何中一个重要的知识点,三角形内切圆的应用与三角形的面积、三角形的全等及相似等知识有着密切的联系．本文旨在对三角形内切圆的性质及应用作一些分析．     

利用旋转巧解题

<正>在解几何问题时,合理使用旋转法,能把分散的线段或角相对集中在一个熟悉的基本图形中,从而促使问题的解决.下面举例介绍利用旋转法解各类竞赛题,供参考.一、三角形内的旋转例1(全国初中数学竞赛题)如图1,P是等边三角形ABC内部一点,∠APB,∠BPC,∠CPA的大小之比是5:6:7,则以PA,PB,PC为边的三角形的三个角的大小(从小到大)之比是()(A)2∶3∶4(B)3∶4∶5     

直角三角形的一个新性质及应用

<正>直角三角形是一类基本图形,它的一些重要性质已被大家所熟知,本文再给出一个关于直角三角形内切圆的新性质.定理在Rt△ABC中,∠C=90°,设BC=a,AC=     

内切圆与外接圆

三角形的内切圆与外接圆有一系列颇为相似的性质。其中最本质的一点可由下列两题来举例表示。题 1 已知△ABC的边BC=a,CA=b,AB=c。求每边被内切圆切点所分成的线段。题2 已知△ABC的各角为∠A,∠B,∠C。求每个角被外接圆半径所分成的角度。     

平面图形“一题多变”一例

我在教组合图形的面积时,运用正方形内切圆这个图形,作了“一题多变”的尝试。我先用硬纸板剪了一个边长为6分米的正方形,作出正方形的内切圆,将圆外面积染上色,并剪成如图一那样的四等份。     

对一道2010年全国初中数学竞赛题的探讨

命题 已知等腰△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与边BA相交于点P,M为△ABC的内切圆(◎)I与边BC的切点,作MD//AC,交(◎)I于点D.证明PD是(◎)I的切线. 这是2010年全国初中数学竞赛题的一道几何题[1].该命题展示了三角形的圆内切一个有趣的几何性质,诱人思考的是,在三角形的旁切圆中是否有此性质呢?经笔者深入探讨,回答是肯定的.