利用向量巧解平面几何竞赛题(高一)

平面几何是数学竞赛的基本内容之一,各级各类数学竞赛中都包含有平面几何的内容．由于平面几何能提供丰富多彩、极富启迪性、具有任何一级难度的题目,世界各国及国际奥林匹克都无一例外地在高中数学竞赛中保留了平面几何的问题．要熟练地求解平面几何的有关问题,必须掌握一些重要知识内容,如面积法、几何变换、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理等等．有些平面几何的计算或证明问题,技巧要求高,特别是辅助线添加的规律难以捉摸．但是,有的问题若用向量的方法,则可通过向量的有关运算,使问题按固定程式得以解决．     

平面几何中几个常用的定理

第一讲梅涅劳斯定理和塞瓦定理梅涅劳斯(Menelaus)定理和塞瓦(Ceua)定理是研究三角形中“三点共线”与“三线共点”问题的两个互为对偶的著名定理,它们在解决数学竞赛题中,应用非常广泛. (一)梅氏定理及其逆定理     

用梅涅劳斯定理解竞赛题

众所周知,梅涅劳斯定理及其逆定理和塞瓦定理是几何证明中常用的重要定理,有趣的是,从1996年4月的全国初中联赛、集训队选拔考试,到10月份的全国高中联赛,再到1997年1月的冬令营共四个全国性的竞赛中各一道平面几何大题,尽管原答案都不是用海涅劳斯定理来证的,但事后却发现,4道题目都可以用梅涅劳斯定理和塞瓦定理来证,而且这些证法都是相当不错的。     

运用梅涅劳斯定理 求解几何中的相关问题

利用调和点列及梅涅劳斯定理对2022年高考数学全国乙卷第20题进行探究,并利用梅涅劳斯定理巧解几何中的相关问题。     

三个方法证梅涅劳斯定理(初三)

梅涅劳斯(Menelaus)是公元一世纪希腊的著名数学家,梅涅劳斯定理是由他首先发现并用他的名字命名的定理.梅涅劳斯定理:若一条直线截△ABC三边AB、BC、AC或其延长线于D、E、F,则     

梅涅劳斯定理在立体几何中的应用和推广

梅涅劳斯定理是《高中数学竞赛大纲》中基本要求掌握的内容；在平面几何中证明三点共线方面功不可没．但是在立体几何中也同样不同凡响．下面笔者通过几例来浅探它的应用及其规律，以供鉴赏．     

梅涅劳斯定理的变形在解竞赛题中的应用

梅涅劳斯定理的变形在解竞赛题中的应用贵州省威宁县哲觉中学朱家海在近些年来国际国内的数学竞赛试题中，经常出现一类“从三角形顶点向对边引线段被一点或数点分成定比”的问题．为了寻找解决这类伺题的一般规律，本文提出四四边形中梅涅劳斯（Ｍｅｎｅｌａｕｓ）定理的...     

梅涅劳斯(Menelaus)定理在四边形中的推广

<正>梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的,使用该定理可以进行直线形中线段长度比例的计算,其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法,是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要的作用.我们的问题是,这个定理在四边形中还成立吗?下面给予探究.     

关于梅涅劳斯、塞瓦定理在平几中的应用

在平面几何的教学和初中数学竞赛的辅导中，往往会碰到一些几何题的解法或证明过程难而繁．缺少一些直观性的解题，证明方法．本文拟在中学数学教学大纲范围内用梅涅劳斯、塞瓦氏两定理来证明平面几何中的某些几何题，使证明过程化难为易．一些问题分析、思考更加直观形象，思路更为简单扼要，达到事半功倍之目的．     

塞瓦定理和梅涅劳斯定理的一种向量证法

平面向量的一个主要应用是解决一些平面几何问题,塞瓦定理和梅涅劳斯定理是平面几何中的两个重要定理,人们自然想到如何利用平面向量的知识证明这两个定理,这里给出一种向量证法. 现将两个定理叙述如下: 塞瓦定理 如图1,设O是△ABC内任意一点,AO,BO,CO分别交对边于D,E,F,则 AF/FB· BD/DC · CE/EA=1.(1) 梅涅劳斯定理 如图1,设一直线与△ADC的边AC,AD及CD延长线分别交于E,O,B,则 AO/OD· DB/BC· CE/EA=1 (2) 为了证明定理,先给出一个简单的引理: 若→OA=λ→ OB+μ→ OC(λ,μ为常数),则A,B,C3点共线的充要条件是λ+μ=1.     

梅涅劳斯定理的推广

本文对平面几何中著名的梅涅劳斯定理进行剖析,然后作出推广。定理一(梅涅劳斯定理)一直线l分别截△ABC的三边(或边的延长线)AB、BC、CA于D、E、F.则AD/DB·BE/EC·CF/FA=1 在许多教科书里的介绍中,都是直线l与△ABC的两条边相交,与第三边的延长线相交.其实,若直线l与三角形三条边都不相交,其结论仍是成立的。     

正、余弦定理在几何定理证明中的应用及启示

通过应用正弦定理对梅涅劳斯定理、赛瓦定理的 证明和用余弦定理对斯特沃尔特定理的证明,使学生意识到找 到特殊的角关系是应用正、余弦定理解决一些复杂几何问题的 关键。     

关于现行教材的一类习题及证法

一、题目的引出在平面几何中有一个著名的定理,即梅涅劳斯定理:一直线截△ABC的BC、CA、AB或其延长线于X、Y、Z,则BX/CX·CY/AY·AZ/BZ=1.     

利用梅涅劳斯定理求线段的比

证明共线的重要定理梅涅劳斯定理,也是求二线段的比的一个重要定理。事实上,利用这定理来解决这一类问题,可以不引或者少引辅助线,避免不必要的重复,使问题简单化。在中学课本中,这个定理被当作一个练习题,没有作为一个定理,更未阐述它的重要作用。因此有必要作一介绍,以供同志们参考。梅涅劳斯(Menelaus)定理(下称梅氏定理)是: 设X、Y、Z各是△ABC三边BC、CA、AB或其延长线上的点,则它们共线的必要且充分条件为:     

梅涅劳斯定理在立体几何中的应用和推广

梅涅劳斯定理是<高中数学竞赛大纲>中基本要求掌握的内容;在平面几何中证明三点共线方面功不可没.但是在立体几何中也同样不同凡响.本文通过几例来浅探它的应用及其规律.以供鉴赏.     

角元塞瓦定理及其应用(一)

塞瓦定理与梅涅劳斯定理是数学竞赛范围内的两个重要定理．近几年来，使用这两个定理证明的试题频频出现，因而，不会运用这两个定理证题的人是很难取得好成绩的．     

一道MO试题的再证

在文[1]、[2]中分别给出了下面一道 MO试题的解析法证明和平几法的证明.文[2]中的证法用了梅涅劳斯定理,本文再给出一种不用梅涅劳斯定理的证法.题目,在△ABC中.AA_1为中线,AA_2     

再证一道MO试题

在文[1]、[2]、[3]、[4]中分别给出了下面一道 MO 试题的证明方法.包括解析法,向量法,平面几何证法,其中平面几何证法中,有用了梅涅劳斯定理,和避开这一定理,适合初中学生,但证明时,其辅助线较多,证明也不够明快,下面再给一种证法.     

几个重要定理的思考

本文在梅涅劳斯定理、塞瓦定理和笛沙格定理分别给出判断诸点共线或诸线共点准则的基础上。首先探讨了塞瓦定理与笛沙格定理的一致性;接着分析研究了塞瓦定理和梅涅劳斯定理的统一性,并给出这两个定理的对立统一形式——[M—C]定理。又进一步揭示了[M—C]定理与射影几何中的帕斯卡定理和他成对偶的布列昂雄定理(包括退化的情形)之间的内在联系,从而形成了这些重要定理的完整体系。     

相似形复习中加强对两个复习题的指

众所周知,在平面几何里,梅涅劳斯(Menelaus)定理和塞瓦(Ceva)定理常被用来证明几何图形中的点共线和线共点问题,有关这方面的教学已经超出了中学数学教学大纲的要求,因而对中学生、特别是对初中学生讲这方面的内容,是并非必要的.部编初中数学课本对这两个定理作了适当的处理,把它们安排在讲过相似形后的复习题中,(见全日制十年制学校初中数学课本几何第一册第235页)为便于引用,现将这两