函数的定义域和反函数

不少同学在学习函数时 ,由于不了解定义域对函数性质的影响 ,因而不太注意定义域 .本文讨论定义域和反函数存在的关系 .课本是这样给出反函数的概念的 :一般地 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)中设它的值域为Ｃ ,我们根据这个函数中ｘ、ｙ的关系 ,用 ｙ把ｘ表示出 ,得到ｘ=φ(ｙ) ,如果对于 ｙ在Ｃ中的任何一个值 ,通过ｘ =φ(ｙ) ,ｘ在Ａ中都有唯一的值和它对应 ,那么ｘ=φ(ｙ)就表示 ｙ是自变量 ,ｘ是自变量 ｙ的函数 ,这样的函数ｘ= φ(ｙ) (ｙ∈Ｃ)叫做函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的反函数 ,记作ｘ =ｆ- 1 (ｙ) ,习惯写为ｙ =ｆ- 1 (ｘ) .ｙ=ｆ(…     

高一数学单元测试(函数)

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 .在每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.若函数f(x) ,g(x)的定义域和值域都为R ,则 f(x) >g(x) (x∈R)成立的充要条件是 (　　 )　　 (A)有一个x∈R ,使得 f(x) >g(x)　　 (B)有无穷多个x∈R ,使得 f(x) >g(x)　　 (C)对R中任意的x ,都有 f(x) >g(x) +1　　 (D)R中不存在x ,使得 f(x)≤ g(x)2 .在国内投寄平信 ,每封信不超过 2 0g ,付邮资 80分 ,超过 2 0 g而不超过 40g ,付邮资160分 ,依次类推 ,每封重xg(0 相似文献   

一类问题的求解通法

先看一个具体例子 .题目 :若a lga =10 ,b 10 b =10 ,则a b的值是 (　　 )(A) 8　　 (B) 10　　 (C) 11　　 (D) 12解法 1　 (估值法 )设 f(x) =x lgx ,g(x) =x 10 x,则它们在各自的定义域内都是增函数 .∵ f( 9) =9 lg 9<10 ,f( 10 ) =10 lg 10=11>10 ,∴ f( 9) 相似文献   

“函数”一章中几个容易犯错的典型问题及解决对策

"函数"一章的内容贯穿于高中数学的始终,历来是高考的重点,对于函数本身的内容,如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、反函数等有关知识,学生往往容易混淆,而且也会影响对其他各章知识的理解和综合应用。因此,笔者从学生易犯的错误出发,通过实例加以说明。1 函数的定义域、值域问题     

函数图象中一类对称问题剖析

请先看下面的例子 :例 1　设函数 ｙ =ｆ(ｘ)定义在Ｒ上 ,则函数 ｙ=ｆ( 1 -ｘ)与 ｙ=ｆ( 1 +ｘ)的图象关于 (　　 )(Ａ)直线 ｙ=0对称(Ｂ)直线ｘ=0对称(Ｃ)直线 ｙ =1对称(Ｄ)直线ｘ=1对称学生往往容易错选Ｄ .什么原因呢 ?显然 ,学生将本题混同于下面的问题 :例 2　设 ｙ=ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数 ,若 ｆ( 1 -ｘ) =ｆ( 1 +ｘ) ,则函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象关于直线对称 .在这类问题上产生混淆的现象还很多 ,为此 ,笔者对这类对称问题剖析如下 ,供参考 .探讨函数图象的这类对称问题 ,首先应分清研究对象 ,是讨论某一个函数图象自身的对称问题…     

不求反函数解高考题

反函数是高中数学的一个重要概念，历届高考中常有反函数的试题，常规的处理方法是先求出反函数，然后再求解．但我们知道原函数和反函数的定义域、值域的互换性，原函数和反函数的单调性相同，原函数图象和反函数图象关于直线y=x对称等性质．所以有的问题我们可以不求反函数，利用原函数和反函数的性质直接求解．下面分四种题型，求解一些与反函数有关的高考题．     

关于分段函数的反函数

大家知道 ,一个函数是否具有反函数 ,关键在于判断确定此函数的映射是否为从定义域A到值域B上的一一映射 .一一映射必须满足两点 :A中不同的元素在B中都有不同的象 ,即x1 ≠x2 y1 ≠ y2 ;B中每一个元素 (一个不漏地 )在A中都有原象 ,即 y∈B , x∈A ,使 y=f(x) .只有满足这两点的映射才是一一映射 ,从而由此映射所确定的函数才具有反函数 .一、分段函数具有反函数的判定分段函数也是函数 ,因此它是否具有反函数 ,必须看确定分段函数的映射是否是一一映射 .例 1　判断函数f(x) =x2 -3 (x≥ 0 ) ,3x(x <0 )是否具有反函数 .解　分段函数…     

分段函数的学习

分段函数作为一类特殊的函数 ,有着广泛的应用 ,已愈来愈引起人们的重视 ,但由于教材中没有给予系统的介绍 ,以致于学习中常出现偏差 .现就分段函数的概念和主要题型作一介绍 ,希望对读者有所帮助 .一、分段函数的概念有些函数 ,在它的定义域中 ,对于自变量的不同取值范围 ,对应法则有不同的表示 ,这样的函数通常称为分段函数 .注意分段函数是“一个”函数 ,一个对应法则 ,而不是几个函数 ,几个对应法则 ,它的定义域是各段自变量集合的并集 ,值域是各段函数值集合的并集 .例 1　已知分段函数f(x) =x2 　 (x >1) ,x　　 (-1≤x≤ 1) ,-x2 　(…     

从一道高考题谈起

在 2 0 0 2年上海高考题中有这样一道试题 :已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +2ｘ·ｔａｎθ-1 ,ｘ∈ [-1 ,3 ],其中θ∈ -π2 ,π2 .( 1 )当θ=-π6时 ,求函数 ｆ(ｘ)的最大值与最小值 ;( 2 )求θ的取值范围 ,使 ｙ =ｆ(ｘ)在[-1 ,3 ]上是单调函数 .该题以学生熟知的二次函数知识为载体 ,考查最值和单调函数的掌握情况 .解　 ( 1 )当θ=-π6时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 -2 33 ｘ-1=ｘ-332 -43 ,∴ｘ=33 时 ,ｆ(ｘ)的最小值为 -43 .ｘ=-1时 ,ｆ(ｘ)的最大值为2 33 .( 2 )函数 ｆ(ｘ) =(ｘ+ｔａｎθ) 2 -1 -ｔａｎ2 θ图象的对称轴为ｘ =-ｔａｎθ,∵ｙ =ｆ(ｘ)在…     

函数单调性的理解及应用

函数单调性是函数知识中的重要概念.为便于学生掌握,本文试从几个侧面阐述对函数单调性的理解及应用.为方便叙述,文中涉及的相关问题均在函数f(x)的定义域内某个区间D上.一、图象理解上升则增,下降则减,陡快坡慢.例1已知函数y=f(x)的图象如图1所示,试作出y=f′(x)的草图.分析函     

对称条件下函数的周期性

在函数的性质中 ,周期性占有特殊地位 .本文给出几个在对称条件下函数周期性的一些判定方法及其应用例举 .结论 1　如果一个函数的图象有两条对称轴ｘ=ａ与ｘ =ｂ,那么这个函数一定是周期函数 .具体地说 ,若函数 ｙ=ｆ(ｘ) ,对于定义域Ｒ上的任何ｘ ,都有 ｆ(ｘ) =ｆ( 2ａ-ｘ) ,ｆ(ｘ) =ｆ( 2ｂ -ｘ) (ａ≠ｂ) ,则函数 ｆ(ｘ)是周期函数 ,且 2｜ａ-ｂ｜为其一个正周期 .证明　对于任一ｘ∈Ｒ ,都有ｆ[2 (ｂ-ａ) +ｘ]=ｆ( 2ｂ-2ａ +ｘ)=ｆ( 2ａ-ｘ) =ｆ(ｘ) ,∴ｙ=ｆ(ｘ)是一个周期函数 ,2｜ａ-ｂ｜为其一个正周期 .根据结论 1 ,若函数 ｆ(ｘ…     

抽象函数解题特点透析

1 考点释要 考点搜索 与抽象函数相关的值域、定义域、单调性、周期性、图像的对称性及与不等式、方程根的综合．     

函数单调性导学

一、对函数单调性的理解 中学数学中函数的单调性通常是对某个区间而言的,而且这个区间是函数定义域的子集．因此从这个意义上讲,函数的单调性是函数的局部性质．要注意结合单调函数的图象性质来理解函数单调性的定义．反映在图象上,若函数f（x）在区间D上是增函数（减函数）,则函数图象在D上的部分从左向右看,曲线逐渐上升（下降）,具有上升（下降）的趋势．其结果分为以下三类：     

对称性问题综述

近几年的高考、会考试题都考查到对称性问题 .对称性问题从曲线角度分为曲线自身的对称与两曲线之间的对称 ;从点的角度分为点关于点的对称与点关于直线的对称(曲线关于直线、点对称可转化为点关于直线的对称、点关于点的对称 ) .一、几个结论(1 )点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )关于Ｐ(ａ ,ｂ)对称点Ａ′的坐标为 (2ａ-ｘ0 ,2ｂ-ｙ0 ) .(2 )点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )关于直线ｌ:ａｘ+ｂｙ+ｃ=0 (其中｜ａ｜ =1 ,｜ｂ｜ =1 )对称点Ａ′(ｘ0 ′,ｙ0 ′)的坐标满足ｘ0 ′=-ｂｙ0 -ｃａ ,ｙ0 ′=-ａｘ0 -ｃｂ .(3 )函数 ｙ =ｆ(ａ+ｍｘ)与函数 ｙ=ｆ(ｂ-ｍｘ) (ａ、ｂ、…     

查漏补缺之函数与导数

函数在高考中占有重要的地位,以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年高考命题的新趋势.导数作为研究函数的工具,在高考的地位也不可小视.因此,本文对函数与导数的知识作一梳理,希望对同学们有所帮助.     

用好“组合拳”,攻克函数值域问题

函数值域问题是高中数学中的重要问题,但由于其方法众多,同学们往往难以理清头绪,不知以何种方法作为思维的起点,本文将探析此类问题的思维路线.值域问题是函数中的重要内容,其思想和应用渗透于高中数学的各个章节.然而由于基本初等函数的种类繁多,由其所构造的复合函数更是"千姿百态",这就使得函数值域问题的求法具有多样性(比     

简析函数图象的对称性

图象的对称性是函数的一个重要性质，它与函数的奇偶性、单调性、周期性和最值性并称函数5性．函数图象的对称问题分为中心对称和轴对称2种类型，它们在函数知识的学习和实际应用当中起着很重要的作用．     

广义奇(偶)函数的单调性及其应用

文 [1]介绍了广义奇 (偶 )函数的概念与性质 :定义　对于函数 f(x) ,若存在常数a、b ,使得函数定义域内的任意x ,都有 f(a+x) =- f(b-x)成立 ,则称 f(x)为广义奇函数 ;若存在常数a、b ,使得函数定义域内的任意x ,都有 f(a+x) =f(b -x)成立 ,则称 f(x)为广义偶函数 ,性质　对于函数 f(x)定义域的任意x ,f(a+x) =- f(b-x) f(x)的图像关于点 (a+b2 ,0 )对称 ;对于函数 f(x)定义域内的任意x ,f(a+x) =f(b-x) f(x)的图像关于直线x =a+b2 对称 .实际上 ,将上述广义奇 (偶 )函数 f(x)的图像平移 n=(- a +b2 ,0 ) ,即成为对应的奇 (偶 )函数的图…     

几类特殊函数的反函数

一、分段函数的反函数分段函数的反函数一定也是分段函数,具体求时,一般是把每一段当作单个函数来求,最后写成分段函数的形式.在这个过程中要注意函数的定义域、值域与其反函数的值域、定义域的对应关系.例1设函数f(x)=-log3(x 1),x∈(6, ∞),3x-6,x∈(-∞,6]的反函数为f-1(x),若f-119=a,则f(a 4)=.解当x>6时f(x)<0,x≤6时f(x)>0.又f-119=a,∴f(a)=91,∴3a-6=91,解得a=4,∴f(a 4)=f(8)=-log3(8 1)=-2.例2求函数f(x)=x2-1,x∈[0,1),239-x2,x∈[-3,0)的反函数.解由y=x2-1(0≤x<1),解得x=1 y(-1≤y<0).又由y=239-x2(-3≤x<0)得x=-9-49y2(0≤y<2…     

高中数学函数单调性在解题中的巧妙应用

在高中数学中,常常会涉及到对函数单调性的研究,和对函数单调区间的考察,函数单调性这一方面的内容,成为函数问题考察中的重中之重,甚至在方程有解求参数的范围和不等式恒成立求参数等方面的问题,也可以通过对其进行的转化,利用函数的单调性进行解答.函数单调性还可以对一些特殊的不等式进行解答,但是,熟练地掌握函数单调性是解决这些问题的一个必要前提,这就需要高中数学教师在进行日常教学内容的同时,对函数的求解方法的讲解不能太过单一.要有针对性地灵活运用函数单调性的定义,巧妙地运用各种方法进行习题的解答并不是很容易,因此需要对函数单调性的解题方法进行系统性的探究.本文