谁对谁错——评一道数学题的两种解答

题目:当m取什么实数时,方程x~2 (m-2)x (m 3)=0两根平方和有最小值?最小值是多少?解法一:设此方程的两根为x_1、x_2,则x~2_1 x~2_2=(x_1 x_2)~2-2x_1x_2=〔-(m-2)〕~2-2(m 3)=m~2-6m-2∴当m=-(b/2a)即m=3时,x~2_1 x~2_2=m~2-6m-2 有最小值为:3~2-6×3-2=-11。解法二:设此方程的两根为x_1、x_2,则     

巧用韦达定理的逆定理

有些数学题不是从方程求解形式提出,但若能设法对某些条件变换成两数和与两数积,然后用韦达定理的逆定理来布列方程求解,使问题得到解决。 [例1] 若x=2-3~(1/2),求x~1-5x~3 6x~2-5x的值。显然,这题直接代入计算是很繁的,若根据一元二次方程根的性质,由x=2-3~(1/2)可知x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2),一定是某一元二次方程的两根,巧用根和系数关系定使解题简捷。解由根与系数关系可知,x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2)是方程x~2-4x 1=0的两根, ∴ x~4-5x~3 6x~2-5x=(x~2-4x 1)(x~2-x 1)-1=0。 (x~2-x 1)-1=-1。例2 已知实数a、b、c满足:a=6-b,c~2     

根与系数的关系的应用

设方程 ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x_1,x_2,那么 x_1+x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a).这就是一元二次方程根与系数的关系.由根与系数的关系,我们知道:以两个数 x_1,x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x~2-(x_1+x_2)x+x_1·x_2=0.根与系数的关系使我们能够由方程来讨论根的性质;反之,则可以由根的性质来确定方程的系数.因而,根与系数的关系的应用相当广泛.我     

用“三法”求一元二次方程两根非对称代数式的值

设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是x1、x2,要求不解方程,我们能够熟练地求出关于x1、x2的对称代数式(如x_1~2+x_2~2、x_1~3+x_2~3、1/x1+1/x2、(x1-x2)2、|x1-x2|等)的值.对含x1、x2的非对称代数式的值的求法,现举例介绍三种转化的方法:例设x1、x2中二次方程x2+x-3=0的两个根,那么x_1~3-4x_2~2+19的值是( )(1996年全国初中数学联赛)(A)- 4.(B)8.(C)6.(D)0.解法1:(配偶转化法):设A=x_1~3-4x_1~2+19,B=x_2~3-4x_1~2+19.∵x1、x2是方程x2+x-3=0的两根,∴x1+x2=-1,x1·x2=-3.     

巧用韦达定理解竞赛题

如果ax~2 bx c=0=(a≠0)的两个根是_x_1、x_2,那么x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=c/a.这个定理是数学家韦达发现的.它揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系.应用这个定理来求解的数学竞赛题在历年的初中数学竞赛中,频频出现.下面我们一起探讨几个问题。一、讨论方程的根的状况例1 当m是什么整数时,关于x的方程x~2-(m-1)x m 1=0的两根都是整数?     

课本变式题库

初中部分 题目1.已知方程ax~2 bx c=0(a≠O)的两根和为S_1,两根平方和为S_2,两根立方和为S_3,则aS_3 bS_2 cS_1的值是____.(1993年四川省初中数学联合竞赛试题) 解:设x_1,x_2是已知方程ax~2 bx c=0(a≠0)的两根,则有ax_1~2 bx_1 c=0,ax_2~2 bx_2 c=0. 由题意知,x_1 x_2=S_1,x_1~2 x_2~2=S_2,x_1~3 x_2~3=S_3. ∴ax_1~3 bx_1~2 cx_1=0, ① ax_2~3 bx_2~2 cx_2=0. ② ① ②得 a(x_1~3 x_2~3) b(x_1~2 x_2~2) c(x_1 x_2)=0. 即 aS_3 bS_2 cS_1=0. 注:此题是根据初中《代数》第二册第84页第9题综合改编而成.经过深究还有类似结论,现列举两个.     

辽宁省1997年中等学校招生考试数学试题

一、填空题(每小题2分,共30分) 1.方程(x 1)(3x-2)=0的根是____。 2.函数y=(3-x)~(1/2)的自变量x的取值范围是____。 3.已知如图,圆周角∠ACB的度数为42°。则圆心角∠AOB的度数为____。 4.如果x_1、x_2是方程x~2-3x 1=0的两个根,那么,x_1 x_2=____,x_1x_2=____。     

1997年数学总复习质量检测题

一、填空题(每小题2分,共30分) 1.把方程x~2 9x=6化成一般式为________。 2.方程(x~2-4)/(2-x)=0的根是______。 3.已知x_1和x_2是方程x~2-2x-3=0的两个根,则x_1 x_2 x_1x_2的值等于______。 4.若点P(a,4-a)是第二象限的点,则a满足的条件是______。 5.函数y=1/(x-3)~(1/2)的自变量x的取值范围是______。     

利用倒数关系解方程

题目 解方程:x (1/x)=c (1/c).(c≠0) (1) 这是一种具有倒数关系的方程. 按照解分式方程的一般步骤,最后解得此方程的根为x_1=c,x_2=1/c.其实,这个方程左、右两边分别是一对互为倒数的代数式之和,经观察可直接得到结果x=c或x=1/c.     

分式方程的一种解法

如何解可化为一元二次方程的分式方程x (1/x)=c (1/c)(见部编初中代数课本第三册117页)?显然若t是这个方程的一个根,则1/t是这方程的另一个根。用观察法我们立即可找出这方程的一个根x_1=c,故这方程的另一个根为x_2=1(1/c)。以上这种解法比将分式方程化为整式方程后再求根要简便得多。应用这道题的结论,可以简化课本中许多习题的解题过程。     

利用方程根的性质解题

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。根据这一定义可知: 1.若ax_0~2 bx_0 c=0(a≠0),则x_0是方程ax~2 bx c=0的一个根; 2.若x_0是方程ax~2 bx c=0(a≠0)的一个根,则ax_0~2 bx_0 c=0。     

一道习题解答的补正

题:“直线y=mx+b(|m|<1)与圆x~2+y~2=1交于P、Q,与双曲线x~2-y~2=1交于R、S,如果P、Q把线段RS三等分,求m、b。”见到一本公开发行的资料中的解答是这样的: 解:P、Q的横坐标x_1、x_2是方程x~2+(mx+b)~2=1的两个根, ∴有x_1+x_2=-2mb/1+m~2 ① x_1·x_2=b~2-1=1+m~2 ② R、S的横坐标x_1′、x_2′是方程x~2-(mx+b)~2=1的两个根,     

一元二次方程的演绎

1根与系数的关系对于一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的韦达定理x_1 x_2=-b/a、x_1x_2=c/a (x_1,x_2是方程的两个根)是大家都熟悉的,那么两根之比λ和两根之差d与系数的关系又是怎样的呢?     

北京市中学1962年数学竞赛第二試試題解法

高二第二試题目解法 1.証明:不論n是什么整数,方程 x~2-16nx 7~5=0 (1)没有整数解。这题目里面的7~5可以改成7~8,其中s是任何正的奇数。解题时,最好利用根与系数的关系,并用反证法。现在把解写在下面: 解:设两根为x_1,x_2,则有 x_1 x_2=16n (2) x_1x_2=7~8 (3)现在假定(1)有一根是整数,则由(2),另一根也是整数。因7是素数,故由(3)知,x_1x_2可以写成下面的形式: x_1=±7~k,x_2=±7~h (4)上面两式同时取 号或-号,而 k h=s. (5)把(4)代入(2)得 7~k 7~h=±16n (6)因k h=s为奇数,不妨设k>h,则     

根与系数关系应用错例分析

初三代数教材对一元二次方程根与系数关系叙述为:如果ax~2+bsr+c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a。此定理对结论成立的先决条件交代很清楚,即“原方程存在两个根x_1和x_2”。但在教学过程中,我发现有些学生在运用这一关系时却只记住了结果,忽视了条件,因粗心大意导致解题错误。 错例1.判断正误:方程ax~2+bx+c=(a≠0)两根之和为-b/a。( ) 错误判断为“对”。 错例2.若方程x~2+(m~2-1)x+1+m=0的两根互为相反数,则m的值为( ) (A)1或-1; (B)1; (C)-1; (D)0。 错选(A)。     

含变量的综合题的求解

在中考考题和其他试题中,经常出现含变量的综合题。这类试题一般安排在最后的“压轴题”,学生对这一类型的问题往往难于下手,得分率也较低。下面我们来分析这一类型的试题的解法。 一、代数、三角综合题 例1:已知x_1、x_2是关于x的方程4x~2-4(cosα-1)x cos~2α 1=0的两个实根,并且满足(4x_1x_2)~2-(x_1 x_2 1)~4=57/25(1)求cosα的值。(2)若以方程中的α为三角形的一个内角,角α的对边长为130~(1/2),其它两边之和等于12,求这个三角形的面积。(河南省1994年中考试题)     

直接求根 出奇制胜

在解有关一元二次方程的根的问题时,同学们习惯于用韦达定理求解.其实,有时直接求出方程的根,更能迅速地解决问题.现举例说明. 例1已知关于x的方程x~2-2mx m~2-1=0的两个实根x_1、x_2满足x_1~2 x_2~2=4,求m的值. 分析:因为x~2-2mx m~2-1可分解为(x-m 1)(x-m-1),所以易求得方程的根为:x_1=m-1,x_2=m 1.根据x_1~2 x_2~2=4,可列出m满足的方程,进     

变式题库

高中部分 1.一个三角形的两边为方程x~2 px 1=0的两个根.第三边的长为2,求p的取值范围. 解:由题意可知,方程x~2 px 1=0有两个正根. 故△=p~2-4≥0 ① 或p>0 ②设x_1、x_2为方程的两个根,则x_1、x_2为三角形的三边,所以有x_1 x_2>2,即-p>2. ③ 又因|x_1-x_2|<2,即(x_1-x_2)~2=(x_1 x_2)~2-4x_1x_2<4,即p~2-4<4. ④ 解由①、②、③、④组成的不等式组得-2×2~(1/2)相似文献   

一类方程的简捷解法

初中代数第三册P_(126)练习中有这样一题:解方程x 1/x=c 1/c。解:去分母,整理得x~2-(c 1/c)x 1=0,解之得x_1=c,x_2=1/c。经检验,x_1=c,x_2=1/c均是原方程的根。由此得,形如x 1/x=c 1/c的两根互为倒数,且x_1=c,x_2=     

让根“回娘家” 解题简又捷

若x_1、x_2是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根,则ax_1~2+bx_1+c=0和ax_2~2+bx_2十c=0.这种把根代入原方程,即让根"回娘家"的方法在解题中有着独特的作用.