错在哪儿

<正>题目若函数f(x)=(1/2)(x-1)+m在区间[a,b]上的值域为[a/2,b/2](b>a≥1),则实数m的取值范围为.此题是我市高三期中模拟试卷上的一道试题.我和同桌分别用了两种不同的解法,但最后结果不一致,到底谁是谁非呢?解法1(我的解法)由于f(x)=(1/2)(x-1)+m在[a,b]上是单调增函数,故f(a)=a/2,f(b)=b/2,即     

一道赛题的配方解法

题目求实数x,y,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值. 这是2001年全国初中数学联赛第二试第一题.安振平老师在文[1]中谈到,他感悟到此题可用配方法求解,但经多次变形,配方和实验,均遭失败.后来虽然寻求到了四种初等解法,但均立足于对偏导数的稳定点x=5/2,y=5/6和对柯西不等式的等号成立条件心中有数,这对初中学生来说实在是勉为其难,笔者以为该赛题完全可用初中的配方知识求解.     

合理“巧设”轻松求解导数题

<正>高考中经常把导数作为压轴题出现,其难度是显而易见的。那么怎么来处理这种高难度的导数题呢?下面就来对此类题的解法作一个探究。1.根据函数的单调性巧设自变量例1已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且_x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,则方程f(x)-f′(x)=2的实数解所在的区间是()。     

一道导数题的多种解法赏析

<正>一、考题呈现题目(2017年全国高考题)已知函数f(x)=ae~(2x)+(a-2)e~x-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.二、多维度探寻考题解法解法1(原参考答案)(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2ae~(2x)+(a-2)e~x-1=(ae~x-1)(2e~x+1).(i)若a≤0,则f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递减.     

两道三角函数题的错解剖析

题目1:已知函数f(x)=sin2x+cos2x/tanx+cotx,求f(x)的值域. 该题是某教育出版社2002年12月出版的<高中数学课课练>(一年级下学期)中P67第9题第2小题,该书P183给出了如下解法:     

一道赛题的配方解法

题目求实数x,y,使得(y-1)2 (x y-3)2 (2x y-6)2达到最小值。这是2001年全国初中数学联赛第二试第一题。安振平老师在文[1]中谈到,他感悟到此题可用配方法求解,但经多次变形,配方和实验,均遭失败。后来虽然寻求到了四种初等解法,但均立足于对偏导数的稳定点x=5/2,y=5/6和对柯西不等式的等号成立条件心中有数,这对初中学生来说实在是勉为其难,笔者以为该赛题完全可用初中的配方知识求解。     

2004年高考数学模拟题(二)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,又是以2为最小正周期的周期函数,若f(x)在[-l,0]上是单调递减函数,则f(x)在[2,3]上是( ) (A)单调递增函数(B)单调递减函数     

由一道高三质检题看两类数学题解法的探究

2016年云南省某市高中毕业生第一次教学质量检测理科数学第21题为: 题目 已知函数f(x) =2ln x-ax+a(a∈R). (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若(V)x∈(0,+∞),f(x)≤0,证明:当0＜x1 ＜x2时, f(x2)-f(x1)/x2-x1＜2(1/x1-1). 这是一道构思精巧的函数与不等式的综合题,着重考察导数在研究函数的性质以及证明函数不等式中的综合运用,试题呈现起点低、落点高,知识综合性强,对考生能力要求高的特点.考后分析知试题的第(Ⅱ)问得分率非常低,可见该题实属不易.由此引发笔者对该问题解法分析和背景溯源以及由此引出的两类高考题解法探究的一些思考.     

一道美国数学月刊征解题的新解与推广

题目设x,y,z∈(0,+∞)且2 2 2x+y+z=1,求函数f=x+y+z xyz的值域.这是一道《美国数学月刊》征解题,文[1]运用三角代换及导数给出了此题的一个解法,文[2]给出求f上界的抽屉原则的解法,文[3]给出了幂平均不等式的解法.此题运用初等数学的知识来解难度都比较大,下面以高等数学中的拉格朗日乘数法为突破口,给出此题的一个简单解法.解设拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=x+y+z2 2 2xyzλ(x+y+z 1),对L求偏导数,并令它们都等于0,则有1 2 01 2 0L yz x x L xz yλλ====,,2 1(1)yz xλ+=,,     

新题赏析

题目:已知f(x)=ax~3 bx~2 cx d是定义在R上的函数,其图象交x轴于A、B、C三点。若点B坐标为(2,0),且f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性。     

08年高考试题研究 4．全国卷Ⅱ理科第22题

题目设函数f(x)=(sinx)/(2+cosx)·(1)求f(x)的单调区间;(2)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.解法1标准答案     

一道美国数学月刊征解题的再探与推广

正题目设x,y,z∈(0,+∞),且x2+y2+z2=1,求函数f=x+y+z-xyz的值域.文[1]、文[2]、文[3]站在不同的角度对这道题展开了研究,给出了多种不同解法,本文笔者再给出一种解法,并在此解法的基础上展开推广.     

构造恒等式,妙解几道题

文[1]、[2]、[3]分别对下面几道题目作出了不同的解答,文[1]、[2]实际上是通过解方程的方法解决了这两道题,笔者认为并不符合原题的要求(原题要求不解方程),文[3]从不同角度利用韦达定理解决了这几道题,有的解法符合要求,有的解法也不符合要求,其中有的解法已近要求,但又遗憾的     

导数解题研究——几道导数题不同角度下的不同解法

<正>导数作为高中函数的一部分,即作为工具来研究非初等函数的单调性在近几年的高考中考查的分量还是很重的,导数题也经常作为压轴题出现在高考数学试卷上,就此拿几个典型的导数题举例说明解决导数题目的代表性方法.例题一:已知函数f(x)=1/3x~2-1/2ax~2+(a-1)x+1在(1,4)内为减函数,在(6+∞)内为增函数,求实数a的取值范围.     

对2017年新课标Ⅱ文科第21题的解法探究

2017年高考新课标Ⅱ文科第21题,题目虽不新颖,但是内涵丰富,引起了笔者的深入探索和思考.题目如下: 设函数f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论的f(x)单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.     

2013年湖北高考数学试题理科13题

题目 设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=____. 本题言简意赅,内涵朴实、解法多样,思想鲜活,是一道难得一见的好题,下面提供6种解法,供同行参考. 解法1 (柯西不等式法)由柯西不等式得:     

2005年北京高考卷（理）单峰函数题思路分析

题目:设f(x)是定义在[0,1]上的函数,若存在x*∈(0,1),使得f(x)在[0,x*]上单调递增, 在[x*,1]上单调递减,则称f(x)为[0,1]上的单峰函数,x*为峰点,包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0,1]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法．     

对2017年新课标Ⅱ文科第21题的解法探究

<正>2017年高考新课标Ⅱ文科第21题,题目虽不新颖,但是内涵丰富,引起了笔者的深入探索和思考.题目如下:设函数f(x)=(1-x²)e2)e^x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.1试题分析本题属于传统题,考查了函数的单调性和恒成立问题.以含参数不等式问题为载体,既考查学生的分类讨论思想、等价转化思想、数形结合思想和函数     

2022年高考北京卷导数题的溯源、求解与推广

<正>1 题目呈现题目 (2022年高考北京卷第20题)已知函数f(x)=exln(x+1).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程;(2)设g(x)=f′(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及不等式的证明.     

一例值域问题的再探究

文[1]用数形结合处理了武汉市高中调考题中的一例值域问题,题目如下:求函数y=x (x~2 x 1)~(1/2)的值域.标准答案给出的一种解法容易出错,文[1]所用方法甚是巧妙,但文[1]的解法不符常规,