例谈因式分解在解竞赛题中的应用

在很多竞赛题中,因式分解的应用很广泛,下面谈谈有关的应用. 一、求不定方程的整数解例1 方程x~2-y~2=2002有无整数解? 解 x~2-y~2可分解为(x+y)(x-y),因为x,y为整数,且     

数字处理的若干方法与技巧

在解某些竞赛题时 ,若能注意将问题中的数字进行巧妙处理 ,则可简化过程 ,提高速度 ,收到事半功倍之效 .现结合举例介绍数学处理的若干方法与技巧如下 ,供初中学生学习时参考 .一、巧拆数字例 1　若 x,y是方程组 1995 x 1997y =5 9891997x 1995 y =5 987的解 .则 x3 y2x2 y2 =.解 :将题设方程组变形 ,得1995 x 1997y =1995× 1 1997× 21997x 1995 y =1997× 1 1995× 2∴ x =1y =2 故 x3 y2x2 y2 =13× 2 212 2 2 =45 .二、巧提数字例 2　求 (53) 998. 31996 91165 1996 15 1996的值 .解 :原式 =(53) 1998. 31996(1 319…     

妙解二元二次不定方程

二元二次不定方程除因式分解法求参数解外,还可巧妙地应用判别式法求解,十分简便,下面列举几例,仅供参考.例1 求不定方程 x y=x~2-xy y~2的整数解.解:将方程视为 x 的二次方程为     

二元方程定解例说

我们知道,一个二元一次不定方程在一般情况下,其解有无数多组,然而有些二元方程,只要我们充分注意挖掘方程自身的隐含条件,或题中给出的附加条件,抓住未知数的特殊性,是能求得其定解的。本文列举初中数学竞赛题予以说明。例1 已知x,y为实数,且x~2+2x+2y-6y+10=0,则log_2(y-x)·log_2(y+x)=__(86,无锡)。解:原方程化为(x+1)~2+(y-3)~2=0,利用非负数的性质,可得x=-1,y=3。∴log_2(y-x)·log_2(y+x)=log_24     

关于不定方程x3-1=38y2

利用递归数列、同余式证明了不定方程x3-1=38y2仅有整数解(x,y)=(1,0),从而得知关于不定方程x3-1=Dy2(0<D<100)的全部整数解的情况.     

再谈一道竞赛题的证法

本刊2002年第9期上讨论了下面一道竞赛题的证法:已知x,y ∈R,且|x|<1,|y|<1。求证:(1/(1-x~2)+(1/(1-y~2))≥(2/(1-xy))第十九届莫斯科数学竞赛题)。我们的另外证法如下。     

巧证一赛题

第15届全俄数学竞赛题:x,y,z∈(0,1),有x(1y)+y(1-x)+z(1-x)<1.(1)第21届全苏数学竞赛题;a,b,c,x,y,z∈R~+,a+x=b+y=c+z=k,收ay+bz+cx相似文献   

关于不定方程4x^2-py^2=1的一个注记

利用连分数理论证明了不定方程4x^2-py^2=1（p=19,31,43,59,67,71）分别有最小正整数解（x,y）=（85,39）;（x,y）=（760,273）;（x,y）=（1741,531）;（x,y）=（530,69）;（x,y）=（24421,5967）;（x,y）=（1740,413）从而获得不定方程4x^2-py^2=1（p=19,31,43,59,67,71）的全部正整数解．     

不定方程的解法例说

在数学竞赛中经常会遇到解不定方程 (组 )的问题 ,由于同学们这一方面平时训练比较少 ,常常会出现差错 .如果未知量的个数多于独立方程的个数 ,那么方程 (组 )便有无穷多个解 .这类方程 (组 )称为不定方程 (组 ) .在这里我们所讨论的是不定方程 (组 )中最简单的一种 .其未知量仅限于取正整数值 .这一限制使我们能用非常简单的形式表示出方程 (组 )的解来 .　 例 1　解方程7x + 1 2y=2 2 0 ,x,y取正整数 .解　将方程两边同除以绝对值较小的那个系数 7的绝对值 ,则x+y+ 57y=3 1 + 37,所以x +y+ 5y -37=3 1 . ①因为　x与y要取整数 ,必有5y -37…     

小学生如何运用不定方程解应用题

我们把含有两个以上未知数的方程叫做不定方程,它有二元不定方程、三元不定方程等等。在小学数学中,往往有许多答案不唯一的应用题,用计算方法解答比较繁琐,如果用不定方程来解,就显得容易多了,下面通过例题来说明如何运用不定方程解题。例1:小东去商店买铅笔和圆珠笔,铅笔每支0.3元,圆珠笔每支0.9元,共用去5.1元。小东买了几支铅笔和几支圆珠笔?解:设铅笔买了x支,圆珠笔买了y支,列方程得:0.3x+0.9y=5.1等号两边同乘以10得:3x+9y=51将不定方程变形:3x=51-9y因为x和y都是笔的支数,只能是自然数,并且y最大应是5,最小是1。当y=1时,x=14;当y=2时…     

一道竞赛题推广的又一证明

《中学数学月刊》1997年第10期第40页上,王太武老师将一道俄罗斯竞赛题: 证明:对于任何实数x,y,有 2x~4 2y~4≥xy(x y)~2.推广为: 证明:对于任何实数x,y,n∈N,有     

“根式大小比较”的非常规方法例谈

初中数学竞赛中根式大小比较的非常规方法主要有以下几种 :1　恰当放缩例 1　比较 2 3x+ 5- 2 3x与 53x 的大小 .( 1999年重庆市初中数学竞赛题 )导析　因为 2 3x + 5- 2 3x =( 2 3x+ 5- 2 3x) ( 3x+ 5+ 3x)3x+ 5+ 3x =103x + 5+ 3x <103x + 3x =53x,所以 23x + 5- 2 3x <53x.2　巧取特殊值例 2　已知a >b>c >d >0 ,且x =ab+cd ,y =ac +bd ,z =ad +cd ,则x、y、z的大小关系为 (　 )(A)x 相似文献   

浅谈用真分式换元法解竞赛题

数学的教与学都离不开解题 ,美国著名数学教育家G·波利亚曾说 :“掌握数学就意味着解题”怎样学会解题 ?这是我们每一个人都曾问过的一个问题 .我想 ,从浩瀚的题海中析出一些解题的规律来 ,并对这一解题方法或规律加以总结归纳 ,并形成自已的解题经验 ,应不失为一种有效的学习解数学问题的途径 .对于等式1x 1y =1 ,作变换 :令 1x =aa b,1y =ba b称为真分式换元 .巧用这种换元法解一类带有条件等式 ∑ni =1xi =a(a为常值 )的竞赛题十分奏效 .1　用于求不定方程的自然数解例 1　设x ,y是两个不同的正整数 ,并且1x 1y =25,则x y=.(1 990年…     

不定方程Kx(x+1)(x+2)=Dy(y+1)(y+2),(x,y∈Z+)的整数解

设K,D是互素的正整数,给出了不定方程Kx(x+1)(x+2)=Dy(y+1)(y+2),(x,y∈Z+)的一种求解方法.     

因式分解巧解竞赛题

在各类数学竞赛题中,常能看到应用因式分解求解的题目,下面举例说明.例1计算:(99 814)×22/(317 315)×8=____.解:原式=(318 316)×22/(317 315)×8=316(32 1)×4/315(32 1)×8=3/2.例2若x y=-1,则x4 5x3y x2y 8x2y2 xy2 5xy3 y4的值等于( ).     

巧用变换x=a b,y=a-b解题

众所周知,对于任意实数x,y,总有x=x y/2 x-y/2,y=x y/2-x-y/2,若令x y/2=a,x-y/2=b,便得到 x=a b,y=a-b. 这个简单的变换有着不同凡响的功效,解题中若能巧妙、合理地运用它,常能独辟蹊径、化难为易、避繁就简,使解题过程显得简洁、活泼、新颖、别致,现例说如下。 1 求变量的取值范围 例1 已知x,y是实数,且x~2 xy y~2-2=0,则x~2-xy y~2的取值范围是( )(1997年湖北省黄冈地区初中数学竞赛题) 解 设x=a b,y=a-b, 代入已知等式,得3a~2 b~2-2=0. 即b~2=2-3a~2。     

一类分式不定方程的解法

在初中数学竞赛中,常常出现“1/x 1/y=1/a”型的不定方程。关于这类方程的解法有以下两个结论: 结论1 不定方程1/x 1/y=1/a(a为非零 x=a(a n)/n,其中n是整数)的整数解为{ y=a n满足下列两个条件的整数: (1)n≠-a; (2)n=pq 且p、q都是a的因数结论2 不定方程1/x 1/y=1/a(a为正 x=a(a n)/n整数)的正整数解为{ y=a n 或     

不定方程ax by=c整数解的几何意义

例用平面上的点表示不定方程3x 4y=1的整数解。解由观察法易知不定方程3x 4y=1的一个整数解为,则其全部整数解为     

关于不定方程x~3-8=65y~2

利用同余式和递归数列的方法,证明了不定方程x3-8=65y2无适合(x,y)=1的整数解.     

x~2+y~2=z~2本原解的素数定理

寻找不定方程x2+y2=z2本原解个数的计算公式,对解不定方程x2+y2=z2是十分有意义的.在解决这一问题的过程中,又进一步发现了不定方程x2+y2=z2本原解个数的奇偶性与4k+3形式的素数有着十分密切的联系,得到4k+3形式的素数定理.