内接于抛物线中的三角形面积公式及应用

二次函数 y=ax~2 bx十c(a≠0),当判别式△=b~2-4ac>0时,设抛物线与x轴的两支点为A(x_1,0),B(x_2,0),则 AB=│x_2-x_1│ △~(1/2)│a│. 若△ABC为内接于抛物线中的三角形,设C点坐标为(x,y),易得 S_(△ABC)=1/2AB·│y│=│y│△~(1/2)/2│a│(1) 特别地:     

直线与抛物线的位置关系

求直线y=kx h与抛物线y=ax~2 bx c的切点坐标,需要解方程组 y=ax~2 bx c, y=kx h. 此方程组有没有解?如果有解,又有几解?这是直线与抛物线的位置关系问题.这个问题可通过以下方法解决: y=ax~2 bx c, y=kx h ax~2 bx c=kx h ax~2 (b-k)x (c-h)=0. 其判别式为△′0=(b-k)~2-4a(c-h). ①△′>0 直线与抛物线相交,设交点为 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2);     

内接于抛物线的图形面积问题

内接于抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)的几何图形面积问题是近来中考的热点问题,由于它是融几何、代数于一体的综合题,同学们往往感到困难,为了便于同学们巩固所学知识,提高中考成绩,现分析如下: 一、以抛物线与x、y轴的三个交点为顶点的三角形面积设抛物线与x轴的交点A(x_1,0),B(x_2,0),与y轴的交点C(0,c),则     

方程知识在二次函数中的应用

利用平面直角坐标系可能直观看出二次函数与一元二次方程的紧密联系,一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,而二次函数的图象与x轴有无公共点又由判别式b~2-4ac来决定。因此,在解决有关函数的问题时,常常要用到一元二次方程的有关知识。下面例举方程知识在二次函数中的应用。 例1 二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)在x=-1时有最小值-4,它的图象与x轴交点的横坐标分别为x_1、x_2,且x_1~2 x_2~2=10。求此二次函数的解析式。 解:由题意可知,抛物线的顶点坐标为(-1,-4),故设其解析式为y=a(x十1)~2-4(a≠0)。     

1993年上海市高三数学竞赛

第一试 满分120分,只填最后的结果 1.已知x∈N,且3~(1/2)位于(x 3)/x和(x 4)/(x 1)之间。则x=_______。 2.已知抛物线y=ax~2 bx c与x轴交于不同的两点A,B,抛物线的顶点为C。若△ABC是等腰直角三角形,则b~2-4ac=_______。 3.已知方程x~2 (a-2)x a 1=0的两实根为x_1,x_2,而点(x_1,x_2)在圆x~2 y~2=4上,则实数a=_______。     

利用交点式求二次函数的解析式

我们知道,如果抛物线y=ax~2+bx+c与x轴有两个交点,横坐标分别是x_1和x_2,则这个抛物线可写成交点式y=a(x…x_1)(x-x_2)。本文提供几个利用交点式求二次函数的解析式的例题,供同学们学习时参考。     

抛物线的对称性在解题中的应用

抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)是轴对称图形.在应用对称性时应注意三点: 1.对称轴是直线x=b/(2a); 2.顶点在对称轴上; 3.设抛物线与x轴的交点为(x_1,0)和(x_2,0),由对称性知,     

抛物线与探索三角形问题

在近几年的中考试题中,有关抛物线与探索三角形相结合的题目时常出现,这类题求解时头绪比较复杂,要求答题者对数学知识能融会贯通,运用自如。解这类题目时,首先假设探求的三角形存在,然后利用题目条件和所学知识,得出与题目条件相符(或不符)的结论。 例1 已知抛物线y=ax~2 bx c与y轴交于点C,与x轴交于点A(x_1,0)、B(x_2,0)(x_1相似文献   

每期一题

题:若抛物线y=ax~2- 1(a≠0)上存在关于直线l:x y=0对称的两点,试求a的范围。解法1(判别式法)设抛物线上关于直线l对称的相异两点分别为P、Q,则PQ方程可设为y=x b。由于P、Q两点的存在,所以方程组 y=x b 有两组不相同的实数 y=ax~2-1 解,即可得方程: ax~2-x-(1 b)=0 ①判别式△=1 4a(1 b)>0 ②又设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),PQ中点M(x_0,y_0)。由①得x_0=x_1 x_2/2=1/2a,y_0=     

利用抛物线的对称性解题

我们知道,抛物线y=ax~2+bx+c是以直线x=-b/2a为对称轴的轴对称图形,它的顶点在对称轴上.由此可以讲一步得到如下结论:(1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点,抛物线上对称两点的纵坐标相同.(2)若抛物线上有两点(x_1,y_1),(x_2,y_1),则抛物线的对称轴为:直线x=x_1+x_2/2.解决有关抛物线的问题     

抛物线的一个性质

命题.平行于抛物线y=ax~2(a(?)0)的弦的切线上切点的横坐标,等于弦中点的横坐标. 因此,抛物线y=a(?)平行弦中点的横坐标都相同,对抛物线y=ax~2+bx+c及ay~2+by+c=x有类似结论.     

抛物线与三角形面积一文的补充

本刊93年第5期“抛物线与三角形面积”一文,给出了下面的两个结论:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)当△=b~2-4ac>0时,抛物线与x轴的两交点为A、B,顶点为C,与y轴的交点为D,则本文拟对结论(2)作两点补充: ①若△ABC为等边三角形,则△=b~2-4ac=12,S_(△ABC)=3 3~(1/2)/a~2. ②若△ABC为等腰直角三角形,则△=b~2-4ac=4,S_(△ABC)=1/a~2. 由于△ABC的底边AB=△/|a|,高为|△/4a|;当△ABC为等边三角形时,高为底边的3~(1/2)/2倍;当△ABC为等腰直角三角形时,高为底边的一半,利用这两点,不难证明以上两个结     

立方曲线的若干性质

如所周知,若以立方曲线的拐点为坐标原点O,则它可表示为 3(0)yaxbxa= ? ()*一、我们约定,顶点在曲线()*上的三角形叫做它的内接三角形. 设曲线()*的 内接 △123AAA的 顶点1A、2A、3A 的横坐标分别为1x、 2x、3x,则△123AAA 的面积 12331113222333312AAAxabxSxabx     

抛物线内接三角形的一个结论及应用

<正>在初中阶段,抛物线除了对称性外,还具有其他们性质[1].本文将给出抛物线内接三角形的一个几何结论,并运用结论快捷地解决有关几何问题.一、一个结论如图1(或图2),若抛物线y=ax²+bx+c(a>0)与直线y=m交于A(x_1,m),B(x_2,m)两点,点Q为抛物线上不与A,B重合的任意一点,直线AQ,BQ分别交抛物线的对称轴于点M,N,则抛物线的顶点P是线段MN的中点.证明由题设,可知     

抛物线与三角形面积

近几年的中考数学题中,有一类与抛物线有关的三角形面积的试题,这类题沟通了代数、几何等方面的数学知识,综合性强,知识覆盖面宽,且具有一定难度,本文举例谈这类试题的解法. 如图,是二次函数y b、。=ax~2+bx+c=a(x+b/2a)~2+4ac-b~2/4a(a≠0)的图象,抛物线的顶点C的坐标为(-b/2a,4ac-b~2/4a),与y轴的交点D的坐标为(0,C),当其判别式△=b~2-4ac≠0时,抛物线与x轴有两个交点A(x_1,0)、B(x_2,0),     

抛物线的内接三角形

如图1,抛物线y=ax2 bx c(a≠0),当△=b2-4ac>0时,它与x轴必有两个交点.设两交点为A(x1,0)、B(x2,0),抛物线顶点为P,我们把△PAB叫做抛物线的内接三角形.由抛物线的对称性可知它是等腰三角形.它的形状、大小由P、A、B三点坐标确定.那么该三角形形状与抛物线系数a、6、c有怎样的内在联系呢?     

“垂足三角形”的几个性质

1 三阶垂足三角形的性质 以三角形三条高的垂足为顶点的三角形常称之为垂足三角形,本文将此概念作一推广。从平面上一点P向△ABC各边作垂线,垂足为A_1、B_1、C_1且不共线,则称△A_1B_1C_1为点P关于△ABC的垂足三角形,或一阶垂足三角形。点P关于△A_1B_1C_1的垂足三角形△A_2B_2C_2称为二阶垂足三角形,点P关于△A_2B_2C_2的垂足三角形称为三阶垂足三角形。     

对一道中考题的解法探究

<正>试题(2019年山西中考题)如图1,抛物线y=ax~2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上一动点,设点D的横坐标为m(1 相似文献   

三次函数的图象、性质及应用

一、三次函数的图象及其性质对于三次函数 y=f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0),我们有 y′=f′(x)=3ax~2+2bx+c.设导函数 y′=f′(x)的判别式为△=4b~2-12ac=4(b~2-3ac).(1)当 a>0时,(i)若△>0,则方程 f′(x)=0有两个不等的实根。设两实根为 x_1,x_2(x_10、f(x_2)<0)时,图象与 x 轴有三个不同的     

抛物线内接三角形形状的数值特征的证明及应用

如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),当Δ=b2-4ac>0时,它与x轴有两个交点,设这两个交点为A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为P,我们把△PAB叫做抛物线的内接三角形,因为抛物线是轴