由一个不等式想到的

最近一位中学教师,问了如下的问题:若a>1,则h(n)=(1+a~2+…+a~(2n))/(a+a~3+…+a~(2n-1))>(n+1)/n。在这个问题中,若令f(k)=1+a~2+…+a~2k,则h(n)=f(n)/af(n-1),当我们把f(n)表为1+a~2的多次式时,其系数恰好是杨辉三角底角分角线上的数,更有趣的是,这样得到的数列,就是斐波那契数列。现在先用归纳法来证明上面的问题: 当n=1时,因a>1,故(a-1)~2>0,从而(1+a~2)/a>2,不等式成立。     

如何确定多边形的边数

确定多边形的边数主要用到以下知识:(1)n边形的内角和定理:n边形的内角和是(n-2)·180°.(2)n边形的外角和定理:n边形的外角和是360°.(3)过n边形的一个顶点有n-3条对角线,它将n边形分成(n-12)个三角形;n边形共有n(n-3)/2条对角线.     

求和公式在图形问题中的应用

<正>数的计算中有这样一个公式:1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2.这是一个求和公式,这个公式具有很强的概括性和实用性,将这个公式稍加变形将会有更好的应用.如:(n-1)+(n-2)+…+3+2+1=n(n-1)/2.下面     

一个不等式的证明

最近郭燕翔同志来信问了下面的问题:“若a>1,求证(1+a~2+a~4+…+a~(2n))/(a+a~3+a~5+…+a~(2n-1))>(n+1)/n”。(1) 在解答这个问题时,得到了8种证法,今按初等证法,数学归纳法及高等数学法依次列举如下。 (一)、初等证法: 证法1 由(1)有     

莫让浮云遮望眼 透过现象看本质——例谈“函数思想”指导下的二项式系数问题解决

1问题的引出引例1(苏教版课本第33页)二项式系数Crn的性质:(3)当rn-1/2时,Cr+1n相似文献   

2006年高考(江西卷)理科压轴题探源

2006年高考(江西卷)理科数学第22题:巳知数列{a_n}满足:a_1=3/2,且 a_n=(3na_(n-1))/(2a_(n-1) n-1)(n≥2,n∈N~*).(1)求数列{a_n}的通项公式;(2)证明:对一切正整数 n,不等式     

一道课本习题的随想

普通高级中学教科书<数学>第二册(下B)(记为文[1])第146页习题8(2),证明:C1n 2C2n … nCnn=n·2n-1.教学参考书上是利用组合恒等式kCkn=nCk-1 n-1证明的,若放开思维,突破课本方法的束缚,发现该题的某些局部特征(如系数成等差数列),探索其"最近发展区",联想、对比、归纳,可以促进思维的发展.     

递推数列中的数学思想方法例谈

今年全国高考数学理工类压轴题第22题:设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N ),(1)证明,对任意n≥1,an=1/5[3n (-1)n-12n] (-1)n2na0;(2)假设对任意n≥1有an>an-1,求a0的取值范围.文史类第19题:已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1 an-1(n≥2)(1)求a2,a3;(2)证明an=3n-12这两道数列解答题     

关于愉快图的Bodendick猜想(Ⅰ)

在文献[1]一文中,我们证明了下述定理定理一.对于正整数n,k,若适合下列条件之一,则C_n(2k)是愉快图。(1)n≡0(mod 4),1≤k≤[(n-4)/2];(2)n≡2(mod 4),1≤k≤[(n-4)/2],k≠2;(3)n≡1(mod 4),1≤k≤n/3,k≠[(n+3)/4],k≠2;(4)n≡3(mod 4),1≤k≤n/3,k≠[(n+1)/4].     

■cos(kπ)/n 的结果在解题中的应用

下面我们将证明multiply from k=1 to n-1 cos kπ/n=0,n 为偶数;(-1)~((n-1)/2)/2~(n-1),n 为奇数.(1)并利用(1)的结果解一类数学问题.为了证明(1),先证明如下一个恒等式multiply from k=0 to n-1[1-cos(α+2kπ/n)]=1-cosna/2~(n-1)(2)由棣美弗公式和二项式定理,知     

一道美国竞赛题的推广

题目a、b、c是正实数.证明:(a5-a2 3)(b5-b2 3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.(2004,美国数学奥林匹克)研究该题,笔者发现可以将其堆广.命题若ai∈R ,i=1,2,…,n,则∏ni=1(a2n-1i-an-1i n)≥∑ni=1ain,n∈ .证明:因为ai∈R ,i=1,2,…,n,所以,(ani-1)(an-1i-1)≥0(n∈N )a2n-1i-ani-an-1i 1≥0a2n-1i-an-1i n≥ani (n-1).记Ani=ani (n-1),则由上式知∏ni=1(a2n-1i-an-1i n)≥∏ni=1(Ani).①下面证明∏ni=1(Ani)≥∑ni=1ain.因为1=an1An1 n-1An1=an1An1 1An1 … 1An1,1=1An2 an2An2 1An2 … 1An2,1=1An3 1An3 an3An3 1An3 … 1An3,……1=1Ann …     

数列{Sn/n}成等差数列的应用

性质:若数列{αn}成等差数列且公差为d,则数列{Sn/n}也为等差数列,且公差为1/2d. 简析:由数列{αn}成等差数列且公差为d知,Sn=na1 n(n-1)/2d,故:     

一类不等式的妙证

本文介绍一类不等式的证明方法。这种证法简洁,有章可循。下面举例说明: [例1] 证明不等式 1/2·3/4…(2n-1)/2n<1/((2n+1)~(1/2))。证明:令S_n=1/((2n+1)~(1/2))则 S_(n-1)=1/((2n+1)~(1/2)) ∵ S_n/S_(n-1)=((2n-1)~(1/2))/((2n+1)~(1/2))=(2n-1)/((4n~2-1)~(1/2))>(2n-1)/2n。(n≥2) 而S_1=1/(3~(1/2))>1/2。故:1/2·3/4…(2n-1)/(2n)相似文献   

一道数学选择题的解法及评析

'95高考第12题:等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n,若S_n/Tn=2n/(3n 1),则(?)a_n/b_n等于(A)1(B)(6~(1/2))/3(C)2/3(D)4/9.应该说这是一道考察基础且具有一定灵活性的好题.就解法看,(i)从熟悉的关系a_n=S_n-S_(n-1)着眼,由题设可转化为S_n=kn·2n.T_n=kn·(3n 1)(k∈R且k≠0)得a_n=2k(2n-1).b_n=2k(3n-1)∴(?)2k(2n-1)/2k(3n-1)=(?)(2n-1)/(3n-1)=2/3.(ii)从灵活利用公     

利用分类解题几例

解证某些数学命题,若先将命题中所涉及的数学对象进行恰当的分类,往往会使命题较为顺利地获解。下面就提供利用分类解题的几个例子。例1设有n+1个元素的实数集 S={a_1,a_2,…,a_(n+1)}(?)[0,1)求证:存在a_1,a_k∈S,使|a_1-a_k|<1/n。证明将实数集[0,1)中的实数分成n类,[0,1/n),[1/n,2/n),…,[(n-1)/n,1),由题设S={a_1,a_2,…,a_n,a_(n+1)}(?)[0,1)=[0,1/n)∪[1/n,2/n)∪…∪[(n-1)/n,1)     

两个重要的恒等变换在解题中的作用

我们知道,对于 n 个不为零的数(或式)f(1)、f(2)、f(3)、…、f(n),有f(n)=f(1)+[f(2)-f(1)]+…+[f(n)-f(n-1)]f(n)=f(1)·f(2)/f(1)·f(3)/f(2)…f(n)/f(n-1)在解有关数学题时,灵活地运用这两个简单的恒等变换,不仅能使问题的解法相当简捷,而且方法巧妙、新颖。下面通过举例加以说明。一、证明代数恒等式例1 试证1~3+2~3+3~3+…+n~3     

数学解题中逆向思维的培养途径

逆向思维就是按研究问题的反方向思考的一种方式 .在解题中以问题的正面思考陷入困境时 ,则以问题的反面思维往往会绝处逢生 ,使问题迎刃而解 .根据本人的教学经验 ,本文就从以下几个方面说明培养学生的逆向思维 .1　从数学定义、公式的可逆性进行逆向思维培养　　因为数学定义本身是等价命题 ,而作为定义的命题 ,其逆命题成立而由它生成的公式法则也具有可逆性 .例 1　求和 1× 2× 3 + 2× 3× 4+…+ n(n + 1) (n + 2 )分析 :本题若从正面分析思考入手较难 ,但注意公式 :C3 n+2 =(n + 2 ) (n + 1) n3 !,逆向思考有 :n(n + 1) (n + 2 ) =3…     

一个不等式的证明

定理nn-1[(m+1)n-1n-1]<∑mi=11niαn-αn-1(α>1,n∈N,n≥2).证明由二项式定理得(α-1n)n=∑nr=0(-1)rCrn1nrαn-r,∵Crn(1n)r-Cr+1n(1n)r+1=Cr+1n(1n)r+1·nr+rn-r≥0,∴Crn(1n)r≥Cr+1n(1n)r+1(当且仅当r=0时等号成立).若n为偶数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-2n1nn-2α2-Cn-1n1nn-1α)+Cnn1nn>αn-αn-1;若n为奇数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-1n1nn-1α-Cnn1nn)>αn-αn-1.2定理的证明(1)∑m…     

谈“配偶”技巧的应用

偶即成对,两者之间关系紧密.在数学上两个量关系密切,我们可把其称之为“对偶”,在考察问题时将两者联系起来考虑,更能凸现式子的本质特征,使问题得到更好的解决. 先看下面例题的解答. 对于一切大于1的自然数,求证:(1+1/3)(1+1/5)…(1+1/2n-1)>证明:设M=(1+1/3)(1十1/5)…(1十1/2n-1)=4/3·6/5·…·2n/2n-1引入N=5/4·7/9·9/8·…·2n+1/2n显然 M>N>0,     

双等比数列的性质初探

定义 若数列{a_n}满足关系 a_(2n)/a_(2n-1)=u_1,a_(2n 1)/a_(2n)=u_2,(n=1,2,…)其中u_1,u_2为非零常数.则称数列{a_n}为双等比数列,称u_1为第一公比,u_2为第二公比.当u_1=u_2时,{a_n}称为等比数列. 例如数列: 1,2,2/3,4/3,4/9,8/9,8/27,16/27,…它满足a_(2n)/a_(2n-1)=2,a_(2n 1)/a_(2n)=1/3 所以它是一个双等比数列. 定理1 双等比数列{a_n}的通项公式为