又一组与圆有关的等积线段

相交弦定理、切割线定理反映的是两组与圆有关的等积线段或比例线段 ,这是再介绍一组 ,供同行参考 .命题 :三角形外接圆上任一点到三角形各顶点的距离与到各顶点所对边的距离之积相等 .此命题试证如下 :设△ABC内接于⊙O ,P是⊙O上任一点 ,连结PA、PB、PC ,分别作PA′⊥BC ,PB′⊥AC ,PC′⊥AB ,垂足分别A′、B′、C′.求证 :PA·PA′ =PB·PB′=PC·PC′ .证明 :( 1 )当点P与A、B、C三点中某一点重合时 ,由点与点 ,点与直线的距离的规定可知此时 :PA·PA′ =PB·PB′ =PC·PC′=0 .( 2 )当点P不与A、B、C三点中任…     

向量基底的选择(高一、高二、高三)

1.以共点向量为基底例1 在△ABC内求一点P,使PA2 PB2 PC2的值最小. 解如图1, 设CA=a,CB=b,CP=x,以a,b,x为一组基底,有PA=a-x,PB=b-x,故|PA|2 |PB|2 |PC|2     

张角公式帮你解竞赛题

本文现将张角公式及其在数学竞赛解题中的应用介绍如下: 一、张角公式如图,设直线ACB外一视点P,对于线段AC、CB的张角分别为α、β,且α β<180°,则sin(α β)/PC=sinα/PB sinβ/PA 证明:∵△PAB=△PAC △PCB,∴1/2PA·PB·sin(α β)-1/2PA·PC·sinα 1/2PC ·PBsinβ。∴两边同除以1/2PA·PB·PC,即得欲证式。二、应用举例例1 连结正△ABC的外接圆劣弧AB上一点P的线段CP交AB于D,求证:1/PA 1/PB=1/PD(1990年山西省初中数学     

与费尔马点相关的一个开放题的研究与探索

引理(费尔马问题) 已知△ABC,使PA+PB+PC为最小的平面上的点P称为△ABC的费尔马点. 解:显见点P不可能在△ABC外. (1)若△ABC的每个内角都小于120°,将△ABP绕B点逆时针旋转60°至△A_1BQ的位置,如图1,则△BPQ为正三角形.于是PA+PB+Pc=A_1Q+QP+CP. ∵A_1、C为定点,欲使PA+PB+PC最小,P点应在A_1C上.     

计算弦长方法种种

题目如图1,PA、PB、PC是⊙O的三条弦,PA=a,PB=b,∠APC=30°,∠BPC=60°,求弦PC的长.下面我们以此题为例来分析关于计算弦长的几种方法.解法一:灵活作垂线如图2,连结AB、AC,过点A作AE⊥PC于点E.在Rt△APE中,因为∠APC=30°,PA=a,所以AE=a2,PE=3姨a2.又因为∠ACP=∠PBA,∠AEC=90°,∠APB=∠APC ∠BPC=90°,所以△ACE∽△ABP.P图1COAB图2COPABE所以ECEA=PBPA,所以EC=EA·PBPA=a2·ba=b2,所以PC=PE CE=3姨a b2.解法二:巧用面积法如图3,连结AB、AC、BC,过点A作AE⊥PC于点E,过点B作BF⊥PC于点F.因…     

数学问题与解答 1993年第4期问题解答

306.以△ABC的BC、CA、AB为底边分别在形外作三个相似的等腰三角形,使其底角为30°,顶点是O_1、O_2、O_3,求证:△O_1O_2O_3是正三角形。证:如图1,作C关于O_1O_2的对称点P,连PO_1、PO_2、PO_3、PA、PB、PC。由O_1B=O_1C=O_1P知O_1为△BPC的外心,∠PBC=1/2∠PO_1C,∠PCB=1/2∠PO_1B,故∠PBC ∠PCB=1/2(∠PO_1C ∠PO_1B)=1/2∠BO_1C=60°,∠BPC=120°。同理,∠CPA=120°。于是∠APB=120°。延长BO_3到Q,使O_3Q=O_3B,连QA。∵     

与费马点有关的又一不等式

命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、     

张角公式在研究三角形连比问题中的应用

<正>张角公式如图1,设直线ACB外一点P对于线段AC、CB的张角分别为α、β,则sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证明因为S_(△PAB)=S_(△PAC)+S_(△PCB),所以1/2PA·PB·sin(α+β)=1/2PA·PC·sinα+1/2PC·PB·sinβ,两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所证等式.下面举例说明它的应用.例1如图2,已知BP:PQ:QC=3:2:1,AG:GC=4:3,则BE:EF:FG=___.     

应用张角公式巧解连比问题

1.张角公式如图1,设直线ACB外一点P对于线段AC、CB的张角分别为αβ,则sin（α＋β）/PC=sinα/PB＋sinβ/PA证明：因为S△PAB=S△PAC＋ S4PCB,所以1/2PA.PB·sin（α＋β）=1/2PA·PC·sinα＋1/2PC·PB·sinβ,两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所证等式.     

关于三角形内点的一个向量命题

命题　若P是△ABC内的一点 ,记△BPC、△APC、△APB的面积为SA 、SB 、SC ,则SA ·PA SB ·PB SC ·PC =0 .证明　延长AP与BC边相交于D点 ,则｜BD｜｜DC｜ =S△ABDS△ACD=S△BPDS△PCD=-S△BPD-S△PCD等比定理 SCSB.记｜BD｜｜DC｜=λ ,有BD=λDC ,所以PD- PB=λ( PC- PD) ,所以 - ( 1 λ) ·PD PB λPC=0 .又因为PD =- ｜PD｜｜PA｜ · PA =-SASB SC·PA ,所以 SASB SC( 1 SCSB) ·PA PB SCSB ·PC=0 ,所以SA·PA SB·PB SC·PC =0 .推论 1　当P为△ABC的内心时 ,有sin…     

“三角形”与“轴对称”易错题选析

【例1】已知(如图1),PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是A上的一点,求证:∠BDP=∠CDP.【错解】∵PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,∴∠PAB=∠PAC即AP是∠BAC的平分线.∵D是AP上的一点,∴DB=DC(角平分线上的点到角两边距离相等).在△PDB和△PDC中PB=PC,DB=DC,PD=PD∴△PDB≌△PDC(SSS).∴∠BDP=∠     

用梅涅劳斯定理解立几题一例

如图,平面四边形EFGH的顶点E、F、GH分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上。若E、G分别是对边AB、CD中点,FC:FB=3:2,求HD:HA=? 解:在平面β中,延长FE,CA交于P,则P点为CA与平面EFGH的交点,在平面α中延长CA、GH交于P’,则P’也是直线CA与平面EFGH的交点。∴ P和P’点重合。在平面β中,由梅涅劳斯定理 FC/FB·EB/EA·PA/Pc=1. ∵FC:FB=3:2,EB=EA, ∴PA:PC=2:3。在平面α中,同理有GC/GD·HD/DA·PA/PC=1。∵GC=GD,PA:PC=2:3 ∴HD:HA=3:2。     

参考答案

<轴对称>单元测试题(一) 　　1.B 2.B 3.D 4.AC 5.C 6.C 7.4 △ABE与△ACF,△ABD与△ACD.AAED 与△AFD.△ABF与△ACE 8.23cm 9.冀A3075 10.(出) 11.连接BC,因AB=AC,DB=DC,故点A在BC的中垂线上,点D在BC的中垂线上.所以直线AD足线段RC的中垂线.PB=PC又因为AB=AC,AP=AP,所以△ABP≌△ACP(SSS).于是∠ABP=∠ACP.……     

参考答案

<轴对称>单元测试题(一) 　　1.B 2.B 3.D 4.AC 5.C 6.C 7.4 △ABE与△ACF,△ABD与△ACD.AAED 与△AFD.△ABF与△ACE 8.23cm 9.冀A3075 10.(出) 11.连接BC,因AB=AC,DB=DC,故点A在BC的中垂线上,点D在BC的中垂线上.所以直线AD足线段RC的中垂线.PB=PC又因为AB=AC,AP=AP,所以△ABP≌△ACP(SSS).于是∠ABP=∠ACP.……     

浅谈三棱锥的解题技巧

三棱锥是重要的多面体,空间图形的很多问题都与它有关.因而对三棱锥的解题方法的研究,无疑是十分必要的,本文就三棱锥的解题技巧谈几点体会. 一、注意确定顶点射影的位置 因为三棱锥的高是它的主要元素,所以在解有关三棱锥的题目时,确定顶点在底面上的射影的位置,往往是解题的关锥. 例1 在三棱锥P—ABC中,PA=PB=PC.底面ABC中,∠C=90°,AC=18,三棱锥的高为40,求P到另一直角边BC的距离. 解:如图1,过P作PO⊥底面ABC,O是垂足.∵PA=PB=PC.∴OA=OB=OC,因此O是△ABC的外心,又△ABC是直角三角形,故O是斜边AB的中点.     

一个命题的别证及对偶结果

命题 设P是△ABC内的任一点,记BC=a,CA=b,AB=c,PA=x,PB=y,PC     

几何综合题

总复习阶段,应有针对性地、适量地研究一些不同类型的几何综合题的解法.几何综合题大多是圆与平行线、三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.近几年来,全国各地中考题中,一题多问、开放性题目是几何综合题常见类型.图1例1如图1,已知正△ABC内接于⊙O,P是劣弧BC上一点,PA交BC于点E.求证:(1)PA=PB+PC;(2)P1B+P1C=P1E.证明:(1)在AP上取一点D,使AD=PC,联结BD.易知△ABD≌△CBP.则BD=PB.又∠3=∠4=60°,所以△PBD是等边三角形.故PD=PB,即PA=PB+PC.(2)证法1:因为∠3=∠5=60°,∠1=∠2,所以,△PAB∽…     

线段的调和分割在证明两角相等中的应用

设PC、PD分别为△PAB的∠APB的内、外角平分线,由三角形内、外角平分线性质,可得AC／CB=PA／PB=AD／DB,更一般地,若两点C、D内分与外分同一线段AB成同一比值,即AC／CB=AD／DB,则称点C、D调和分割线段AB．显然,当C、D调和分割AB时,也有A、B调和分割CD：CA／AD=CB／BD,如图1,其中PA,PB,PC、PD也称为调和线束．     

一道椭圆试题的本源探究

<正>一、问题如图1,设点P是椭圆E:x2/4+y2=1上的任意一点(异于左、右顶点A,B).(1)设椭圆E的右焦点为F,上顶点为C,求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径;(2)设直线PA,PB分别交直线l:x=10/3于点M、N,求证:PN⊥BM.     

一道操作探索型数学中考题赏析

题目 操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。 探究:设A、P两点间的距离为x。 (1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论。 (2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围。 (3)当点P在线段AC上运动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果