IMO45-1的三种证法

第45届国际奥林匹克数学竞赛(IMO)于2004年7月14-18日在希腊首都雅典举行,我国选手取得了举世瞩目的好成绩,一共6名选手全部夺得金牌. 试题第一题是:已知在锐角三角形ABC中,AB≠AC,以BC为直径的圆分别交AB、AC于M、N点,记BC的中点为O,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交点R,求证:△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上. 本文给出该题的三种证法如下:     

IMO_(42-2)的推广的推广

第 4 2届国数学奥林匹克试题第 2题是 :对所有正实数a ,b ,c,证明 aa2 +8bc+bb2 +8ca+cc2 +8ab ≥ 1.文 [1]采用文 [3] [4 ]的方法给出其推广为 :若a ,b ,c ∈R+ ,λ ≥ 8,则 aa2 +λbc +bb2 +λca+cc2 +λab ≥ 31+λ( 1) .文 [2 ]给出了 ( 1)式的简证 ,本文进一步把 ( 1)式推广为更一般的形式 :设λ≥n2 - 1,ai ∈R+ (i =1,2 ,… ,n) ,则有an- 11an- 11+λa2 a3 …an+an- 12an- 12 +λa1a3 …an+… +an- 1na2n +λa1a2 …an- 1≥ n1+λ　 ( 2 )证明　先求正实数x使得an- 11an- 11+λa2 a3 …an≥ nax11 +λ(ax1+ax2 +… +axn) 　　 ( 3) …     

不等式a_1 a_2…a_n≥f(n)的三种证法

<正>在各级考试题中有关数列乘积的不等式a1·a2·…·an≥f(n)的证明时有出现.下面先通过一个例子介绍这类问题的三种证法,然后提供一些练习供同学们思考,以便巩固这三种方法.     

Weitzenb(o)ck不等式一个加强的三种证法

1919年,R.Weitzenbǒck[1]给出了下述三角形不等式:△ABC的三个边长与面积分别为a,b,c和△,则有a2+b2+c2≥4√3△,(1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 在1961年举行的国际数学竞赛中,不等式(1)被选为赛题.从此这一不等式广为人知,并被称为Weitzenbǒck不等式.     

2~(1/2)不是有理数的五种证法

毕达哥拉斯证法 毕达哥拉斯（公元前585年—497年）是古希腊著名的数学家,他对人类的贡献是巨大的。2不是有理数的证明是毕达哥拉斯学派首先给出的,并流传至今。证法如下:     

数列不等式的几种证法(续)

四、递推法对于某些递归数列不等式,如能从它的递推关系式中导出某一递推规律,并逐步递推得到与所证不等式紧密相关的结果,从而使不等式获证。称这种证法为递推法。     

三种思路、四种证法

人教版九年义务教育三年制初中几何教科书第二册第20页B组第三题课本上介绍了两种方法其实这一题有三种思路、四种证法、现介绍如下: 一、利用三角形内角和定理推论3 方法一:延长BP交AC于D点     

拉格朗日(Lagrange)中值定理的几种证法

从Lagrange中值定理的结论及它的几何意义出发,采用多种方法证明了Lagrange中值定理。     

一道复试题的三种证法

1979年中国科技大学招考少年大学生有这样一道复试题: “设M为△ABC内任一点,MD⊥AB,ME⊥BC,MF⊥CA,又BD=BE,CE=CF(如图)。求证AD=AF。此题当时却没有一个学生能完整地解出来。现用三种证法,其中证法一得到了贵刊编辑的指导。 [证法一]:(用等轴) 以A、B、C为圆心,并各依次以AD、BD、CE为半径作三圆。∵MD⊥AB且AB为连心线。∴MD为⊙A与⊙B的等幂轴又BD=BE,则E点在⊙B上,由ME⊥BC,且BC为连心线∴ME为⊙B与⊙C的等幂轴     

直角三角形一个性质的三种证法

沪科版初中数学教材P137的一个定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知如图1在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°求证:BC=1/2AB.     

三点共线的八种证法

人教版高中数学第二册（上）87页复习参考题3是：用两种方法证明三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上．此题涉及到直线方程中的许多知识，通过解决这个问题，既可以比较系统地复习直线方程部分的有关知识，又可以培养发散思维和创新思维的能力．下面给出此题的八种证法，供同学们参考．     

多边形内角和定理的三个证法(初二)

多边形内角和定理: n边形的内角和等于(n-2)·180°. 证明多边形内角和定理的思路是: 1.先选一个出发点(设为O); 2.再由出发点引出若干条射线,将多边形分割成若干个三角形,然后用三角形的内角和等于180°求得多边形的内角和.     

浅谈不等式a

张世镕 《数学教学通讯》1989,(2)

三点共线的一种面积证法

定理：若S_(△ABC)＝0，则A、B、C三点共线．这个定理在证明某些较难的三点共线问题中往往有着出奇制胜的作用．下面试举三例来体现它的证明技巧．倒1凸四边形ABCD中，S_(△ABg)＝3，S_(△ADC)求证：BC、AC的中点E、F和D共线．国一赛题的等价命题）．证如图1由条件得：所以由上述定理知：D、E、F三点共线．例2已知AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角钱，点M、N分别内分AC、CE且使求证：B、M、N三点共线．（IMO·23第5题的逆命题）．证设正六边形面积例3圆外切四边形ABCD中，内切圆圆心为O，E、F分别为对角线AC和BD…     

素数个数问题的三种新证法

我们已熟知欧几里得和欧拉给出过素数无穷多的证明,据说目前已有十几种证明方法,笔者现在提供三种新证法。 文[1]介绍了笔者发现并整理的素数公式——埃拉托塞尼筛法的公式。埃氏筛法是用素数p_1,p_2,…,p_k去筛p_(k 1)~2以内的合数,     

一个组合数恒等式的三种证法

一个有关组合数的恒等式是 :C1 n+ 2C2 n+3C3n+… +nCnn =n· 2 n- 1 (n∈N ) .下面给出它的三种不同证法 ,其中第三种证法出人意料 ,简洁优美 ,有绝妙之处 .证法 1　倒序相加法 .设Sn =C1 n + 2C2 n + 3C3n +… + (n-1)Cn - 1 n +nCnn,则Sn =nC0 n+ (n -1)C1 n+ (n-2 )C2 n+… +Cn- 1 n ,两式相加 ,得2Sn =n(C0 n+C1 n+C2 n+… +Cn - 1 n +Cnn)=n· 2 n.∴Sn =n· 2 n- 1 .证法 2　逐项转化法 .mCmn =m· n !m !(n -m) !=n· (n -1) !(m-1) !(n -m) !=nCm - 1 n- 1 ,分别令m =1,2 ,3 ,… ,n并分别相加得 .C1 n+ 2C2 n + 3C3n+…     

第三册(1-15课)

一天山景物记巧于用喻是本文一大特色。根据比喻要贴切。通俗的原则,用线条把下面的语词(一边是本体,一边喻体)连接起来,使之成为完整的句子: 1、远望天山,那长年积雪高插云霄的群峰, 2.黄昏时,落日映红周围的五峰, 3.美丽多姿、富于色彩的连绵不断的山峦, 4、无边的草原是这样的平展, 5、阵雨过后,雨洗后的草原更加清新碧绿, 6、急湍的涧边,绿色的深谷里也散布着一顶顶蒙古包, 7、再留意一看,那茫茫碧水接近你视线的却是 1、象千万条银鱼在游动。 2、象块巨大的蓝宝石。 3、象孔雀开屏,艳丽迷人。 4、就象风平浪静的海洋。 5、象云霞那样灿烂。 6、象集体起舞时的维吾尔族少女的珠冠,银光闪闪。 7、却又象数不清金刚石。