整系数多项式的哥德巴赫定理的别证

在整数环上的一元多项式环中,有一个类似于哥德巴赫猜想的命题:任意一个n(≥1)次整系数多项式都能表成两个n次不可约的整系数多项式的和。这个命题有人称为整系数多项式的哥德巴赫定理。本文对这个定理给出了一个有别于的证明。     

一个多项式命题的应用

由高中代数(甲种本)第三册第19页的定理:“复系数一元n次方程在复数集C中有且仅有n个根(k个重根算作k个根)”,可以引出推论: 使复系数多项式f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_n之值为零的相异x值如多于n个,则a_0=a_1=a_2=…=a_n=0(即f(x)≡0)。(*) 推论(*)易由反证法证明。因为若a_0≠0,则由定理可知,满足f(x)=0的不同x值最多有n个,这与己知使f(x)的值为零的不同x值多于n个相矛盾。所以,a_0=0。同     

关于一个代数定理的证明

由代数基本定理知:“n次复系数方程一定有n个根”.与之对应的一个定理:“如果一个n次有理整函数有多于n个的值使它为零,那么各项系数必定都是零”.它的证明如下,设f(x)表示这个函数,且为f(x)=p0xn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn,并设x为a1,a2,…,an时,f(x)为零,则f(x)=p0(x-a1)(x-a2)…(x-an),令c是使f(x)为零的而不同于ai(i=1,2,…,n)的值,由于f(c)=0,而有p0(c-a1)(c-a2)…(c-an)=0.但是,由假设c不等于ai(i=1,2,…,n),所以,c-ai≠0(i=1,2,…,n).因而,p0=0.于是原函数变为g(x)=p1xn-1+p2xn-2+…+pn.根据归纳假设,用同样的方法可以求得g(x)=p1(x-a1)(x…     

整系数多项式的哥德巴赫命题

我们熟知整数的哥德巴赫命题是:每一个大于2的偶数都可写成两个质数的和。这个命题的正确性至今尚未得到证明。在《数学爱好者》1980,1期刊载的《容易证明的“1 1”》(以下简称文[1])一文中提出了一个有兴趣的定理: 定理1.每一个整系数n(≥1)次多项式可写为两个n次不可约整系数多项式的和。这个定理的证明依赖于下述整系数多项式不可约的艾森施坦因判定法则定理2.整系数多项式 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n (1)     

数学竞赛中条件多项式的求解方法

多项式理论是代数学的一个重要组成部分，有关多项式方面的问题常常被用作数学竞赛的试题．本文仅就数学竞赛中求解满足某些条件的多项式归纳几种方法介绍如下．1．从分析根的情况入手设n∈N,a_0，a_1，…，a_n∈C（或R，或Z）且a_n≠0，称f(x)=a_nx~n a_(n-1)x~(n-1) … a_0(1）为复（或实、或整）系数一元n次多项式．多项式的次数常记为degf(x)=n．单独的一个非零常数，叫做零次多项式；系数a_0，a_1，…，a_n全为零的多项式叫做零多项式．若数x_0满足f(x_0)＝0，则称x_0为多项式f(x)的根．由代数基本定理：复系数一元n次多项式f（x）有…     

常系数齐次线性方程临界情形与零解不稳定的几则判据

本文应用霍维茨(Hurwitz)行列式和霍维茨定理、给出了一些n次实系数多项式存在正实部根、均具有正实部根和存在零实部根的条件,从而为常系数齐次线性方程的零解不稳定性、是否属于临界情形提供了有用的判别依据。     

化正整数的方幂和为多项式的一个递推算法

化正整数方幂和1r 2r ……nr为多项式Sr(n),是历代数学家感兴趣的一个问题,瑞士数学家贝努利曾给出了如下的计算公式:。其中r≥2,B2k-1是贝努利数。很明显,贝氏公式除涉及的知识超出初等数学范围之外,计算也是较麻烦的。此后,不少学者对这一问题进行过探讨,给出了不少优秀的推导方法,但用初等方法则不多见。本文在于给出一种适合中学生阅读与理解的推导方法:记Sr(n)=1r 2r …… nr(其中r、n为正整数)。我们有下面的定理:Sr(n)是关于n的r 1次多项式,其最高次项系数为,常数项为零。我们对r施行数学归纳法来证明这个定理,从而建立递推公式:证…     

次交换环的根

朱正明等同志的《次交换环及其理想》一文(见《江西教育学院学刊》1984年第1期)建立了次交换环的概念,理想和分解定理。本文主要介绍次交换环的幂零元、诣零理想、素理想等概念并研究次交换环的 n 根及其有关性质。定义1 设 R 是结合环,且对 R 中的任意三个元素 a,b,c 均有abc=acb那么称 R 为次交换环。定义2 x 是次交换环 R 的一个元素,如果有一个正井数 n,使得 x~n=0,则称 x 是幂零元。定义3 I 是次交换环 R 的一个理想,如果 I 中每个元素都是幂零元,则称 I 为诣零     

浅谈艾逊斯坦因判别法的教学

多项式理论是高等代数的重要内容之一,在研究有理系数多项式的因式分解时,有下述定理:设f(x)=a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+……+a_1x+a_0是n次整(数)系数多项式,如果有一个素数P,使:     

关于单边四元数多项式系数的一个注记(英文)

只考虑单边四元数多项式,对于二次的四元数多项式,我们给出了一个判别准则(定理2.3),该准则利用其系数来判断该二次多项式的零点全体是否都只在一个球面上.而对于零点全体只在一个球面上的n次多项式,我们给出了这些多项式的系数必须要满足的一个条件.作为这些结论的应用,当四元数多项式(二次或者是n次)的系数不满足我们所给的条件时,那么该四元数多项式必须至少有两个互不同余的零点.     

刘维尔定理的一个应用

在复变函数论中,有一个很重要的定理,即: J.Liouville定理:在扩充复平面上解析的函数必为常数。 Liouvlle定理有着广泛的应用,在代数论中,应用Liouville定理,我们可以很简单地证明代数基本定理:任何n(≥1)次代数方程至少有一根。本文将介绍Liouville定理在数学分析中的一个应用,即利用它来证明下述定理: 定理:任何一个有理函数总可以唯一分解成一个整式和几个形如A/(Z-a)~n的最简分式之和。     

对评分者信度检验中零假设的更正

我们通常采用Friedman双向秩次方差分析和Kendall和谐系数检验法来进行评分者信度检验.在绝大多数书籍中,此检验的零假设都被设置成"H0m个评分者对n个被评对象的评分是一致的".但是,这一零假设是错误的,本文将列举反例并给出正确假设的理论依据.     

一个多项式定理的应用

多项式有一个重要的定理: 如果使多项式f(x)=a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a.的值为零的不同x值(在复数域内)多于n个,那么a_0=a_1=…=a_n=0。(即f(x)≡0) 这个定理很有用。下面我们只就它的最     

线性方程组有解判别定理充分性的一个证法

线性方程组,sum from j=1 to n(a_1,x_1=b_1(i=1,2,…m))有解判别定理(即克朗南格定理)是线性方程理论中的一个基本定理。本文主要给出了此定理充分性的一个证法。设,线性方程组:sum from j=1 to n(a_1,x_1=b_1)(i=1,2,…m)…(1)记定理,(Kronecker)线性方程组(1)有解的充要条件是其系数矩阵A的秩r_A     

巧用抽屉原理证明代数不等式

要把3个苹果放到2个抽屉里,无论怎样放,我们发现有一个抽屉里面至少有2个苹果.这一现象,就是人们所说的"抽屉原理".抽屉原理的一般含义为:"如果每个抽屉代表一个集合,一个苹果可以代表一个元素,假如把n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定有一个集合里至少有两个元素."抽屉原理有时也被称为鸽笼原理.     

浅议一元二次含参不等式的解法

<正>解含有参数的一元二次不等式是高中数学的一类重要题型,也是教学的一个重点.要想准确地解决这类问题,就必须从两个方面入手:强化分类意识,进行合理分类;确定讨论对象.一元二次含参不等式的讨论主要有三类:讨论二次项系数型;讨论判别式型;讨论根的大小型.本文就这三类题型作分析.一、讨论二次项系数型当二次项系数为字母时,首先要讨论二次项系数是否为零.若为零,则该不等式变为一元一次不等式;若不为零,则解集     

二项式系数中奇数的个数

二项式系数C_n~0,C_n~1,C_n~2,…,C_n~n中奇数的个数是一个十分有趣的问题。它等价于求出二项展开式(1 x)~n中奇数项的问题。对n=0,1,2,3,4,…时的特殊情况,计算后可以得出这样一个结论:二项式系数中奇数的个数是2的一个方幂。自然要问它是2的几次方?或者对具体的n怎样来求出这个数?本文将证明: 定理 (1 x)~n中奇系数项的个数是2~k其中k是把n写成二进制的非零数字的个数。我们首先证明几个引理,然后利用它们来证明定理。引理1 在n=2~m-1时,C_n~(?)全是奇数。     

关于Γ—环的指数有界性

本文对Γ—环R定义了强诣零理想的上指数,由此得到结果:(一)关于结合环的谢邦杰的三个指数定理在Γ—环中的推广[1];(二)关于Γ—环中的Levitzki定理:若Γ—环R含有上指数为n(n>1)的单边强诣零理想,则R必含有强幂零理想。     

帮你学习等比性质

等比性质是一个十分重要且用途极广的定理,在学习时应该注意以下几点.一、注意性质的使用条件对于n个等比,各比的后项之和不为零.这是使用等比定理时必须注意的条件.     

浅谈“闭系统定律”在初中数学中的应用

众所周知,不是所有的定理都有逆定理,要确认一个定理是否有逆定理,往往要加以证明才行。但是,有没有这样的定理,不通过证明就可以确认它有逆定理呢?答案是肯定的:有。我们根据逻辑学中的“闭系统定律”就可以找到不少这样的定理。闭系统定律告诉我们:设有n个命题。它们的题设包括了问题所有的可能性而互不相容,它们的结论也面面俱到且互相排斥,这些命题就构成一个闭系统。如果这n个命题是真命题,那么它们相应的n个逆