梯形面积的一个性质及其应用

定理梯形的两条对角线和两腰所在的两个三角形的面积相等,且这个面积是梯形两条对角线与两底所在的两个三角形面积的比例中项。证明:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,记∠AOB=a,△AOD、△BOC的两面积分别为 S_1、S_2,内三角形面积公式可知:S_(△ABC)=S_(△DBC), ∴ S_(△ABC)-S_(△BOC)=S_(△DBC)-S_(△BOC), ∴ S_(△AOB)=S_(△DOC)。又S_1·S_2=1/2OA·ODsina·1/2OB·OCsina =1/2OA·OBsina·1/2OD·OCsina =S_(△AOB)~2。应用上面的定理,解决一类作图题和与梯形面积有关的竞赛题。     

数学竞赛训练题

…l|l||||||二.东 1.有9个连续的质数,它们的积是偶数,则其中后5个数的平均数是 2.一只无盖立方体粉笔盒,将它沿棱剪开成平面展开图,共有多少种不同的展开图(请画出每种展开图)? 3.如图1,点G、点F是四边形A五〔汇)对角线AC的三等分点,点F又是线段BE的二等分点.如果甲、乙两个三角形的面积和是25.7厘来,则四边形户以汇D的面积是厘米. 4.图2是一个彩色显示盘,每行的左边有一个按键“O”,每按一次,这行的3个方格中的数全部变成其相反的数.每列的上方有一个按键“O”,每按一次,这列的3个方格中的数也全部变成其相反的数.请问能不能通过若干…     

探索图形中的规律

问题一个三角形的两边中点的连线叫做这个三角形的中位线.我们可以看到,图1①中三角形的三条中位线把这个三角形分成了4个小的三角形,而且这些小的三角形都是全等的. 把三条边都三等分,再按图②将分点连结起来,可以看     

等积形的证明

证明两个图形面积相等,常用“等底等高的三角形面积相等”来证明.下面就这个定理的应用列举几例,谨供参考.例1 O 是梯形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点.求证:S_(△AOB)=S_(△DOC).     

直角梯形的性质在抛物线有关问题中的应用

一、直角梯形的性质若直角梯形的斜腰等于两底之和 (该梯形可称为抛物线的几何形象 ) ,则不难证明该梯形有如下一些主要性质 :性质１ 斜腰与两底夹角的平分线必交于直角腰的中点 .推论１ 斜腰与两底夹角的平分线互相垂直 ;推论２ 以斜腰为直径的圆必与直角腰相切 ;推论３ 直角腰的中点在斜腰上的射影是斜腰的巧分点（把斜腰分成等于上下底两段的点称为斜腰上巧分点） ;推论４ 以直角腰为直径的圆必与斜腰相切 ;推论５ 连结直角腰的中点和斜腰上巧分点的线段 ,是两底的比例中项．推论６ 自斜腰的巧分点向直角腰所作的垂线段 ,是垂足分直角腰…     

1999年北京市中学生数学邀请赛(初二)

4.正方形纸片ABCD中,E为BC中点,折叠正方形,使点A与点E重合,压平后,得折痕MN(如图)。设梯形ADMN的面积为S_1,梯形BCMN的面积为S_2:。求S_1/S_2的值。 5.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向匀速行走,t小时后相遇于中途的C     

尺规作图三等分一个给定的任意角

三等分任意角的出现是很自然的.二等分一个已知角既是这么容易,很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢？这样,这一个问题就这么非常自然地出现了.本文是笔者对尺规作图三等分一个给定的任意角的研究结果.     

数学问题与解答

281.设ABCD是⊙O的外切梯形,E是它的对角线交点,r_1、r_2、r_3、r_4分别是△ABE、△BCE、△CDE、△DAE的内切圆半径,求证: 1/r_1+1/r_3=1/r_2+1/r_4。证:设AD∥BC,S_1、S_2、S_3、S_4和P_1、P_2、P_3、P_4分别表示△ABE、△BCE、△CDE、△DAE的面积和半周长。由于S_i=r_i·p_i,故只要证明P_1/S_1+P_3/S_3=P_2/S_2+P_4/S_4。∵ABCD是圆的外切梯形,∴AB+CD=     

剖分三角形法解一类数学竞赛题

什么叫剖分三角形法?笔者一下子也给不出个确切定义,其实也未必有这个必要,还是请读者通过下面的例子自己去领会吧. 例1.如图,P,Q,R将△ABC周长三等分,且P,Q∈AB.求证S_(△PQR)>2/9S_(△ABC).(88年全国高中数学竞赛题) 解如图,将△ABC各边三等分,把△ABC剖分为9个全等的小三角形,显然有     

梯形中位线定理的再推广

本刊86年第4期在《梯形中位线定理的推广及其应用》一文中,把梯形中位线定理推广到棱台,并给出下列定理: 定理设棱台上、下底面积分别为S′、S,与底平行的截面面积为S_0,截面分棱台     

巧用“1”求线段比

在求解有关线段比的问题时,巧用"1"代替某线段的长,再借助运算或推理,常可化难为易.例1如图1,梯形ABCD的两条对角线把它的中位线EF三等分,交点为M、N求MN:DC:AB的值.简解:设EM=MN=NF=1.     

梯形在解数学竞赛题中的妙用

“如图1,在梯形ABCD中,若AD∥BC,AC和BD交于点O,则S_(△OAB)=S_(△OCD)”(部编几何第一册P.215)。由此题容易推出:S_1·S_2=1/2OA·OD·sin(180°-α)·1/2     

一道中考题与一组竞赛题

1993年安徽省中专考试第一题第10题:“如图1,已知梯形ABCD(其中DC和AB为上下底)的两条对角线AC与BD相交于O,且AO:OC=3:2,则这两条对角线将梯形分成的四个三角形面积之比S_     

梯形的“功夫”表演

几何大厅正在进行杂技表演,现在上场的是梯形。“嘿——”只见梯形运了一下气,身子摇了摇,它的两腰慢慢伸长,最后相交于一点,竟成了一个三角形。“好!”场下一片喝彩声。三角形叫道:“你变了形,能把你求面积的公式也变得和我们一样吗?”三角形的话音刚落,梯形手一指,屏幕上出现了:(上底 下底)×高÷2=(0 下底)×高÷2=底×高÷2。梯形继续变化,只见它身子晃了晃,上底慢慢伸长,最后与下底同长,竟成了一个平行四边形,“哗!”场下一片掌声。平行四边形叫道:“你变成了我们的模样,也能把求面积的公式和我们……”不等平行四边形的话说完,梯形手…     

特殊四边形

一、选择题 1.已知菱形AD皿〕的两条对角线AC、刀D的乘积等于菱形的一条边的平方,菱形的一个钝角的大小是(). A .1650 B.1500 C.1350 D.1200 2.梯形的两条对角线与中位线的两个交点把中位线分成三等分,则较短底边与较长底边的比为(). A.l:2 B.2:3 C.1:3 D.2:5 3.在曰凡故刃中,月刀=2仪二,月E土AO,垂足为E,F是〔刀的中点,/刀EF二500,则艺D的大小是(). A .1000 B.1100 C.1200 D.135o 4.在梯形八刀(刃中汤刀//仪二汤刀+且了=〔刀,记艺C的平分线为〔五,艺D的平分线为刀F,则A扫、(王、D石,的关系是(). A.两两相交于三点 B.相交于一…     

写给云的信

星星级:☆☆☆☆云啊,云啊你会变山,你会变水你能不能把那些讨厌的噪音变成甜美的歌声?云啊,云啊你会变猫,你会变马你能不能把那条凶恶的狗变成善良的小白兔?云啊,云啊你会变花,你会变草你能不能把平凡的女孩变成美丽的小仙女?云啊,云啊你会变书,你会变笔你能不能把我的数学书变成连环画?云啊,云啊你会变黑,你会变红你能不能把老师对我的批评全部变成表扬?星亮点:云有奇异的形态变化和颜色变化,这位大自然里神奇的“魔术师”给了小作者无限的遐想。把噪音变成歌声、凶恶变成善良、凡人变成仙女、枯燥变成有趣、批评变成表扬,这就是一个可爱…     

历史科高考评分技术的改进

在近二十多年的高考命题历史中,历史科主观题的评分方法大致可以分为两种:一是采点评分,二是层次评分。采点评分大家都很熟悉,其原理就是把参考答案细分为若干个落分点,然后以落分点为标准对照考生的答案,如果考生写出的字句与落分点相同或相近就可得分,否则就丢分。层次评分就是把参考答案从低到高分为若干个思维层次,阅卷教师不太在乎考生是否答对了相关的字、句,而是着重判断考生是否回答出与某个层次相近的意     

1994中国数学奥林匹克试题解答

一、证明 连接EF,在梯形AEFD中,显然有 sin∠AGD =sin∠DGF =sin∠EGF =sin∠AGE, (1) S_(△AGD)=S_(△AED)-S_(△AEG) =S_(△AEF)-S_(△AEG)=S_(△EGF)。(2) 由(1)和(2),有     

圆外切四边形的性质及应用

初三几何课本119页例2反映了圆外切四边形边之间的关系,“圆外切四边形的两组对边的和相等”这就是圆外切四边形的性质,用这种性质就可以解决题目中涉及圆外切四边形的问题,现举例如下: 例1.已知梯形ABCD,AD∥BC且AB=CD=8cm,边AB、BC、CD、DA与⊙O分别切于点E、F、G、H,⊙O的直径为6cm,求S_(梯形ABCD)。 解:连结HO并延长,则HO⊥AD∵AD∥BC∴OH⊥BC得HO的延长线必过F点,即HF是⊙O的直径,也是梯形的高,由圆外切四边形性质得AD+BC:AB+CD,∴AD+BC=8×2=16(cm),∴S_(梯形ABCD)=1/2(AD+BC)HF=1/2×16×6=48(cm~2)     

一题多证,妙在割补

题已知梯形ABCD中,AD//BC,DE=EC,EF⊥AB于F,如图1,求证:S_(梯形ABCD)=AB·EF.一、将图形割补成平行四边形. 简证1 如图2,过E作GH//BA,交BC于H,