“算两次”的“偶然”一试

最近仔细阅读了单搏先生编著的《算两次》，书中谈到，算两次是一种重要的数学方法，也称为富比尼（G．Fubini）原理．减法运算完后用加法运算检验其结果，除法运算完后用乘法运算检验其结果，都属于“算两次”，为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，这也属于“算两次”，不仅计算题、求解题需要这样做，在证明中，用两种方法计算同一个量，更是一种行之有效的基本方法．该书中举了大量精巧的例子来说明算两次确实是一种应用广泛的数学方法．最后，单先生指出：“算两次，即从两个方面来考察．……某些时候用‘转换观点’，‘换一个角度看问题’等说法比‘算两次’稍微确切一些。”     

“算两次”的思想方法及其在高考解题中的应用

1问题提出 波利亚说：“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来．”即将一个量“算两次”,从而建立相等关系,这就是算两次原理,又称富比尼（G．Fubini）原理．文[1]～文[3]结合竞赛数学问题从思想方法的角度介绍了算两次原理;文[4]～文[6]分别介绍了算两次的对象选择、算两次解应用题以及算两次的应用情况．     

例说解析几何试题中的“算两次”思想

<正>“算两次”又称富比尼(G. Fubini)原理，是指将同一个数学对象从两个不同角度进行考察，运用两种不同的方式计算两次，借助殊途同归建立等量关系，达到出奇制胜的效果．“算两次”的思想方法在高考中有着非常广泛的应用，本文以2022年全国高考中的几道解析几何题为例，展示其无穷的魅力．     

用Fubini原理巧求圆锥曲线中的定值(高二、高三)

在组合数学中,往往需要选择一个适当的量,从两个方面去考虑它,然后综合起来得到一个关系式,这种方法称为算两次或Fubini原理.本文就利用“算两次”的方     

"算两次"方法在中学数学中的应用举例

从两个方面去考虑同一个量,然后综合起来得到一个关系式．这种方法称为算两次或Fubini原理．在列方程解应用题时,正是运用这一原理来列出方程的．下面举例说明“算两次”方法在中学数学中的应用．     

“算两次”的思想方法例说

波利亚说：“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来。”即将一个量“算两次”。从而建立相等关系,这就是“算两次”的思想方法,下面例说“算两次”的思想方法的应用。     

一题多“用”

在数学竞赛解题思想方法知识宝库中，经典的思想方法有对偶原理、分类原则、两次算、函数构造法、极端原理、抽屉原理等等．在介绍这些思想方法时，需分门别类地举例说明．每一种思想方法都有自己特意设计的例子．由于解题思想方法的差异大，很难有一题多用的例子，即很难找到一道典型竞赛题适用于多种解题思想方法的介绍．如果能有这样的例子，那么多种解题思想方法在同一个例子上的切入突破点的差异比较，将显得十分有趣，对思路开拓的启发也更具意义．“一题多用”是“一题多解”在更高层次上的跨思路的探讨．本文将用一个例子统领对偶原理、分类原则、两次算、函数构造法以及极端原理的运用．     

聚焦方法 提升高三复习教学效益——以“算两次”方法的应用为例

“算两次”是一种重要的数学方法，但很多教师在日常教学中没有对“算两次”方法的使用进行系统总结，故以专题形式对该方法归纳复习，将有助于学生学会思考、会学数学，在不断变化的问题情景中，升华思想、理解本质、提升能力.     

“算两次”在数学竞赛中的应用

<正>“算两次”是一种基本的数学方法,其思想就是把同一个量从两个不同角度计算“两次”,进而建立等量关系.单墫教授将“算两次”法的解题形式比喻成“三步舞曲”,即从两个方面考虑一个适当量,“一方面…,另一方面…,综合起来可得…”.“算两次”法蕴含了化归转化和方程思想的运用,在数学问题的诸多方面都有广泛的应用.下面举例说明它在初中数学竞赛中的应用.     

例析江苏高考数学题中的“算两次”方法

<正>算两次,是一种重要的数学方法,也被称为富比尼(G.Fubini)原理.学过列方程解应用题的同学们一定知道,"为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来"(波利亚),即将同一个量"算两次".算两次的典型做法是选择一个适当的量,从两个方面去考虑它,"一方面,另一方面,综合起来可得".好像三步舞曲,这种舞曲常常在求解数学题的过程中听到.本文中仅从近几年江苏高考数学题中举出几例以供参考.     

算两次思想在数学教学中的运用

<正>算两次理论又被称为富比尼原理,其主要内容就是从两个方面对同一个量进行两次计算,从而得到一个等量的关系式.在目前的高中数学教学中,表面上看来,这种理论方法主要在奥赛中运用的较多,常规的数学学习中这种方法采用的比较少,其实这种方法在数学中应很广泛,用这种思想方法能够快速的解决一些数学问题.算两次的思想目前在常规教学中没有得到足够的重视,本文以算两次在常规教学中的运用为着手点进行详细     

用面积“算两次”

"算两次",又称为"富比尼(G.Fubini)原理",是指把同一个量用两种不同的方式表示出来,通过等量关系进行求解的一种数学策略".算两次"是一种重要的数学方法,如减法算完后再用加法检验其结果,除法算完后用乘法验算其结果,解出方程的根后把根代入原方程去检验等,都属于"算两次".不仅计算     

解三角形与平面几何图形结合的解题策略

解三角形与平面几何图形结合是高考的一个考点,也是难点,对于图形所给的条件,考生往往不知从何分析而失分.本文主要探究解三角形与平面几何图形相结合的常见类型及解决方法,具体来说是对正弦定理或余弦定理的运用次数,可以分为“算一次”和“算两次”,从而找到解三角形的一个有效的方法,便于分析计算,化繁为简.     

美国“高考”：一年有七次

美国的“高考”是一个常年不断的标准化考试，每年有7次SAT考试，考生可以根据自己的情况，参加任何一次甚至每一次考试。成绩两年内有效，大学看你所考得的那个最高的分数，因为他们认为：这表明你有这个能力。对美国的高中生来说，如果想上大学，得时时惦记着成绩。考试算分，平时作业算分，做实验算分，课堂讨论算分，     

这样教的效果好

“小数乘以小数”的教学重点,是确定积中小数点的位置。按课本例题所用的方法来教,学生难以理解和掌握。因为学生在此以前,只学过“一个因数不变,另一个因数扩大(或缩小)10倍、100倍……积也扩大(或缩小)10倍、100倍……”的算理,并不熟悉教材中采用的“两个因数同时扩大(或缩小)若干倍”的情形。针对这种情况,我在教学时,采取两次运用上述算理的方法来分散难点,收到良好的教学效果。教法如下:     

“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中的应用

"算两次"是一种重要的数学方法,又称为富比尼(G.Fubini)原理.它的基本思想是:将同一个量从两个不同角度计算两次,从而建立等量关系.如立体几何中求距离常用的等体积法,就是利用三棱锥可换底的特点,两次计算体积建立等式求高(即距离).又如在解析几何中求某些动点轨迹,常根据动     

算两次原理及其应用

对同一个量,用两种,甚至更多种不同的方法计算,得到的结果不管形式如何,实质是完全一样的。由此,导出一些等式,也可以建立不等式或其他关系。这种方法称为算两次原理或 Fubing原理。在反证法中,算两次又常常用来导出矛盾。例1 如图是由16个数组成一个4×4的数阵,其中每一个数都为±1,每行右边的数是这行四个数的积,每列下边的数是该列四个数的积.这八个积的和为零.问:能否作出一个由±1组成的,25×25的数阵,使每行的积     

关注课堂上“异口同声”之处的声音

“平行四边形是不是轴对称图形？”是《轴对称图形》一课经常会节外生枝的一个教学难点。我在两次试教中，一次是在本班，学生通过“对折”一致认为“平行四边形不是轴对称图形”。（注：提供的是普通平行四边形）第二次是借班试教，一番“对折”后有两位学生提出“平行四边形有可能是轴对称图形”。     

中国传统绘画中“板块结构”的形态

“板块结构”的提法，本来是属于地理学范畴的概念，经探究出现在绘画领域中还是第一次，这是一个重新定义的老概念。本力求从通过对中国传统绘画中“板块结构”现象的研究，具体全面的剖析绘画中“板块结构”原理的形式内涵，最终达到“他山之石可以功玉”的目的。     

一以贯之“算两次”思想——以《几何图形中的一次方程》为例

列方程解应用题主要有两种方法,一种是把两件相同的事情表示出来,另一种是把同一件事情用两种不同的方式表达出来,即“算两次”思想。结合《新思路数学》七年级读本,本文讲解利用“算两次”构造方程来解决几何图形问题的方法。