“希望杯”全国文学艺术作品大赛征稿启事

婆什迦罗是12世纪印度著名的大数学家。他编的许多数学题被人称为“印度问题”，在世界各地广为流传。其中婆什迦罗关于著名的“勾股定理”的独特证明就为众多数学迷津津乐道。     

面积公式的妙用

在数学学习中,同学们常常会利用特殊平面图形面积公式来解决一些一般平面图形的面积问题。你可知道,我们还可用这些面积公式来解决一些其它数学问题。图1一、利用面积可以验证勾股定理例1如图1,我们知道在Rt△ABC中,两条直角边与斜边有如下关系:a2+b2=c2即在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。图2将四个全等的直角三角形拼成图2,利用计算小正方形的面积可以验证勾股定理。S小正方形=S大正方形-4SRt△即c2=(a+b)2-4×12·a·b=a2+2ab+b2-2ab∴c2=a2+b2.二、利用面积可以求出直角三角形斜边上的高例2如图3,在Rt△ABC中,BC…     

活用勾股定理 探究一题多变

<正>一、应用勾股定理探究图形面积例1如图1,在直线l上有三个正方形,面积分别为a,b,c,若a=5,c=11,则最大正方形的面积b是多少?思路点拨:根据“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△BED,则BC=ED,由勾股定理易得b=a+c=16.变式1:如图2,以Rt△ABC的三边为斜边,分别向外作等腰直角三角形BFC、等腰直角三角形AHC、等腰直角三角形AEB,面积分别为S₁,S₂,S₃,则S₁+S₂=S₃.(请同学们尝试证明)     

《勾股定理》题型举例

勾股定理是中学数学中几个重要的定理之一,也是考试中的热点之一,下面举例分析与勾股定理有关的常见的题目类型.一、勾股定理的证明例1图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,图2是以c为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形;(2)用这个图形证明勾股定理;(3)假设图1中直角三角形有若干个,你能运用图1所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图(无需证明).分析由于所给的三个三角形都是…     

在勾股定理的学习中领悟数学思想

在《勾股定理》一章的学习中,涉及许多重要的数学思想.正确运用数学思想是解决问题的关键.并能收到事半功倍的效果.下面举例说明.一、数形结合思想例1(济南中考)如图1是用硬纸做成的两个全等的直角三角形,两直角边分别为a和b,斜边为c.图2是以c为直角边的等腰直角三角形,请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形.(2)用这个图形证明勾股定理.aa图1图2(3)假设图1中的直角三角形有若干个,你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图.(无需证明…     

与勾股定理相关的探索题

近年来出现了与勾股定理相关的探索题,现举几例说明.一、探索勾股定理的证明例1(2004年济南市中考试题)如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,如图2是以c为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1     

勾股定理的“发展”

勾股定理：在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方．如果两直角边分别为a．b,斜边为c,则有a^2＋b^2=c^2．勾股定理的证明主要是利用拼图的方法,借助面积相等进行证明的．下面我们借助“面积法”探讨“勾股图形”．     

拼图拼出来的证明方法

首先,请同学们准备四种型号的纸片(如图1所示的的正方形和直角三角形)若干张,拼凑出边长为(a+b)的正方形,拼法要尽可能多.容易拼出如图2、图3所示的两种形状.从这两个图形出发,我们可以得到勾股定理的多种证法(S_1、S_2和S_3分别表     

从东、西方文化看勾股定理的起源

什么是勾股定理?众所周知,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图1所示,我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可得:勾2 股2=弦2,即:a2 b2=c2。     

探究源于课本的中学几何试题

由下列两道课本题: 1．(人教版初中几何第二册P106-B组第4 题)如图1,在边长为c的正方形中,有四个斜 边为c的全等直角三角形,已知它们的直角边 长为a,b．利用这个图证明勾股定理(这个图叫 做勾股圆方图,我国古代数学家赵爽在他所著 的《勾股圆方图注》中,用这个图证明了勾股定 理)． 由下列两道课本题: 1．(人教版初中几何第二册P106-B组第4 题)如图1,在边长为c的正方形中,有四个斜 边为c的全等直角三角形,已知它们的直角边 长为a,b．利用这个图证明勾股定理(这个图叫 做勾股圆方图,我国古代数学家赵爽在他所著 的《勾股圆方图注》中,用这个图证明了勾股定 理)．     

中考中勾股定理的证明和探索

勾股定理历来是中考重要考点之一,它的证明方法也较多.下面是2004年中考中勾股定理的证明和探索问题,供读者鉴赏. 例1 (2004年山东省济南市中考题)图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c.图2是以c     

关注过程 回归本源——PISA框架下的数学试题分析

<正>真题呈现 (宁波市2019年初中学业水平考试12题)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载,如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( )(A)直角三角形的面积(B)最大正方形的面积(C)较小两个正方形重叠部分的面积(D)最大正方形与直角三角形的面积和PISA 项目是目前国际学生学     

勾股定理及其逆定理的学习

勾股定理是平面几何中几个重要定理之一 ,它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系 ,可以解决直角三角形中的许多问题。利用勾股定理及其逆定理 ,可以把三角形的特征 (有一个角是直角 )与数量关系 (三边之间满足 c2 =a2 + b2 )紧密地联系起来 ,互相转化 ,对今后的学习十分有用。现从解题的角度谈谈怎样学好勾股定理及其逆定理。一、掌握勾股定理的常用证法例 1　现有若干直角边为 a、b,斜边为 c的直角三角形的纸板 ,请从中取出若干块拼图 (需画出所拼的图形 )证明勾股定理。(1999年安徽省中考试题 )分析 :勾股定理是几何中一个非常重要…     

从奇妙的“拼图”到漂亮的“会标”

我国数学家赵爽在他所著的《勾股圆方图注》中，利用如图1所示的拼图，巧妙地证明了勾股定理，被世人传为佳话，它是我国有记载的最早的勾股定理的证明．其策略是：赵爽用4个全等的直角三角形(边长为a、b、c)拼成一个中空的正方形，他把直角三角形涂上红色，每     

2006年第5期问题解答

25.请加一个条件,将图中的阴影部分面积求出来(.长度单位是厘米)解:由于此题中正方形的边长是圆的直径,所以要求出阴影部分的面积,只要在正方形的边长、面积及圆的半径、直径、面积等这些量中任意知道其中一个,就可以求出阴影部分的面积.如,若增加正方形的面积为25平方厘米这个条件,则可以知道其边长为5厘米,所以阴影部分的面积为25-π×(2.5)2=25-6.25π(平方厘米).26.设三角形三边长分别为a,b,c,且有(1)a>b>c(;2)2b=a c(;3)b为正整数(;4)a2 b2 c2=84.求a c b2的值.解:由条件可得a c=2b,ac=5b22-84.构造一元二次方程x2-2bx 5b22-84=0.所以…     

数学思维方法A、B、C——方程思想(3)

方程思想不但在代数中有广泛的应用，在几何中也十分有用．例１用一个火柴盒（matchbox）直立在桌面上，轻轻一推将其推倒，从这一过程中分析其中的数量关系，居然由此发现著名的勾股定理．这是怎么回事？假设火柴盒的侧面ABCD直立在桌面上，设AB＝a，BC＝b，BD＝c．推动点B，使其绕点D旋转，达到A落在CD的延长线上的点A'，B落在点B'，点C落在AD上的点C'，如图１所示．据此图，可以证明勾股定理：a２＋b２＝c２．分析：勾股定理是直角三角形三条边长a、b、c构成的等式，实质上是以a、b为边长的两个正方形面积之和等于以斜边c为边的…     

《勾股定理》中的数学思想

勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a、 b,斜边为c,那么a2 b2=c2．勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 b2=c2,那么这个三角形是直角三角形．勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质, 它的逆定理则是由三边关系判定直角三角形的一个方法．德国数学家、天文学家开普勒曾经说过:“几何学中有两个宝藏:一是勾股定     

数学教学活动中图形演示的意义

数学教学过程是再现数学知识发生的过程 ,是揭示数学对象内在联系的过程。图形的演示可使上述过程形象化 ,找出变化规律 ,找出变与不变之因素 ,从而发现问题的内在联系 ,有利于学生掌握知识 .1　证明恒等式有些恒等式可用图形来证明 .图 1(1)～ (3)的 3个图形分别用大正方形的面积进行不同分割 ,得到了 3个恒等式 .分析 :图 1(1) : = =ab, =a2 , =b2 .大正方形的面积 (a b) 2等于 ,即 (a b) 2 =a2 b2 2 ab;图 1(2 ) : = =12 (a b) (a - b) , =b2 .大正方形的面积 a2 等于 ,即 a2 - b2 =(a b) (a - b) ;图 1(3)…     

勾股定理证明的探讨与教学思考

勾股定理的证明方法有很多种,目前教材给出的几种证明方法是面积法.如下图所示:①利用若干个全等的直角三角形和一个小正方形,拼成一个大正方形(图1是邹元治的证明拼图法、图2是赵爽的证明拼图法);②利用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形,拼成一个直角梯形(图3是1876年美国总统Garfield的证明拼图     

用三角形拼正多边形

三国时代 ,吴国人赵君卿于公元 2 2 2年为《周髀算经》作注时 ,用数形结合的方法证明了勾股定理 ,构思十分巧妙 .如图 1,用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形套一个小正方形 ,因大正方形的面积等于其中三角形与小正方形面积之和 ,即c2 =4 ( 12 ab) +(b-a) 2 ,所以c2 =a2 +b2 .这就是勾股定理 .证明何等简单 ,几乎不证自明 ,奇异而美妙 .深入分析 ,发现因∠C =90° ,所以∠A+∠B =90° ,故拼成大正方形 ;因∠C的邻补角也等于 90° ,故拼成小正方形 .可见 ,∠C =90°是如上拼图的关键和基础 .当∠C的大小改变时 ,也可用全等三角形拼成…