一个不等式的推广和应用

中学数学里熟知的不等式 (ｘ ｙ) 2 ≤ 2 (ｘ2 ｙ2 ) ,可通过增加元数和增加次数进行推广 ,易得到幂平均不等式 :(ｘ1 ｘ2 … ｘｎ) ｍ ≤ｎｍ -1 (ｘｍ1 ｘｍ2 … ｘｍｎ) ,其中ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 为正数 .在幂平均不等式中 ,令ｘ1 =ｍ ａ1 ,ｘ2 =ｍａ2 ,… ,ｘｎ=ｍａｎ,则又得到无理不等式 :( ｍａ1 ｍ ａ2 … ｍ ａｎ) ｍ≤ｎｍ -1 (ａ1 ａ2 … ａｎ) ,即有ｍａ1 ｍ ａ2 … ｍａｎ≤ ｍ ｎｍ -1 (ａ1 ａ2 … ａｎ) ,(ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ 为正数 ,当ａ1 =ａ2 =… =ａｎ 时 ,等号成立 ) .此不等式在证明有关无…     

凑配分裂 有效转化

利用数学归纳法来证明某些与自然数ｎ有关的不等式 ,证ｋ到 (ｋ 1)这一过程是许多同学感到困难的一步 .为此 ,笔者介绍一种“凑配分裂”的转化策略 ,以解决这一难点 .1　凑配从归纳假设ｎ=ｋ的不等式出发 ,凑配出待证ｎ=ｋ 1时的不等式的某一端 ,再结合不等式性质将问题有效转化 .例 1　 (《代数》课本下册 12 3页例 5)已知ｘ >- 1,且ｘ≠ 0 ,ｎ ∈Ｎ ,且ｎ≥ 2 ,求证 ( 1 ｘ) ｎ >1 ｎｘ .证明　 (ｉ)当ｎ=2时 ,左边 =( 1 ｘ) 2 =1 2ｘ ｘ2 ,右边 =1 2ｘ ,因为ｘ2 >0 ,所以原不等式成立 .(ｉｉ)假设不等式当ｎ =ｋ(ｋ≥ 2 )时成立 ,就是( …     

求方程中的参数值五注意

初学者解答一元二次方程问题时 ,容易犯的错误主要集中在求方程中的参数值这类题中 .正是这个原因 ,历年来各地的中考命题总爱在此设置“陷阱” .为增加同学们的“免疫力” ,提醒同学们注意以下五点 :一、如果题目中指明是二次方程或有两个实数根 ,应注意二次项系数不能为零例 1　已知关于ｘ的方程 (ｋ -1 )ｘ2 2ｋｘ ｋ 3=0有两个不相等的实数根 ,求ｋ的取值范围 . (1 998年江苏省扬州市中考题 )解　由题意 ,得ｋ-1≠ 0 ,Δ =(2ｋ) 2 -4 (ｋ -1 ) (ｋ 3) >0 . ｋ≠ 1 ,Δ =-8ｋ 1 2 >0 . ｋ≠ 1 ,ｋ<32 .∴　ｋ的取值范围是ｋ<32 且…     

一个恒成立问题的多种解法

不等式恒成立问题是一类常见题型 ,其综合性强 ,解法灵活多样 ,能很好地考查学生的数学能力 .下面通过一个具体问题加以说明 :例　若不等式 9ｘ- (ｋ +1) 3ｘ+2 >0对任意ｘ∈Ｒ恒成立 ,则ｋ的取值范围是 (　　 ) .Ａ .( -∞ ,- 1)　　　　Ｂ .( -∞ ,2 2 - 1)Ｃ .( - 1,2 2 - 1)　　Ｄ .( - 2 2 - 1,2 2 - 1)解法 1:(特值否定筛选法 )令ｋ =- 1,原式变为 9ｘ+2 >0 ,显然对ｘ∈Ｒ恒成立 ,排除Ａ、Ｃ .再令ｋ =- 5,原式变为 9ｘ+4·3ｘ+2 >0 ,也恒成立 ,排除Ｄ ,故选Ｂ .解法 2 :(图象分析法 )令 3ｘ=ｔ(ｔ>0 ) ,原式化为ｔ2 +2 >(ｋ+1)ｔ.在…     

互相渗透的函数、方程和不等式

1 .方程问题转化为函数问题一元二次方程 ｆ(ｘ) =0 ,经移项 ,可化为一端是一个二次式 ,另一端是一个一次式或常数项的形式 ,从而得到 φ(ｘ) =ψ(ｘ) .令 ｙ1 =φ(ｘ) ,ｙ2 =ψ(ｘ) ,则函数 φ(ｘ)与 ψ(ｘ)的图象的交点 ,即为ｆ(ｘ) =0的解 .判断一个方程的解的个数问题 ,可用此法求解 .例 1　已知关于ｘ的方程ｘ2 -2ｘ -1-ｋ =0 ,ｘ∈ [-1,2 ] ,ｋ≤ 1,求此方程的实数解的个数 .解 :原方程化为 :(ｘ -1) 2 =2 +ｋ ,-1≤ｘ≤ 2 ,ｋ≤ 1.令ｙ1 =(ｘ -1) 2 (-1≤ｘ≤ 2 ) ,ｙ2 =2 +ｋ(ｋ≤ 1) .在同一坐标系中 ,作出它们的图象 ,如右图 .观…     

有关方程(组)错解例谈

在解与一元二次方程有关的题时 ,若考虑问题不全面 ,思维不严谨 ,容易出现错解 .现举例说明 :1 .在确定一元二次方程时 ,容易忽视二次项系数ａ≠ 0 .例 1　关于ｘ的方程(ｋ2 -1 )ｘｋ2 -2ｋ-1 ｘ ｋ =0是一元二次方程 ,求ｋ的值 .错解 :∵ｋ2 -2ｋ-1 =2 ,即　　ｋ2 -2ｋ-3 =0 ,∴ｋ1=3 ,ｋ2 =-1 .点评 :方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0 (ａ≠ 0 )为一元二次方程 ,这里强调ａ≠ 0 .当ｋ2 =-1时 ,使ｋ2 -1 =0 ,原方程是一元一次方程 .正确的解法是ｋ2 -2ｋ -1 =2 ,ｋ2 -1≠ 0 ,　　∴ｋ =3 .2 .在使用一元二次方程根的判别式时 ,容易忽视二次项系数ａ…     

不等价转化致误一则

以下是《高中数学新教材第六章教学问答(二 )》(载于《中学数学教学参考》2 0 0 1年第 8期 )一文中给出的一例题和解法 .“求使关于ｘ的一元二次方程ｋｘ2-(ｋ 1 )ｘ 2 =0有实数根 ,且二根的绝对值都小于 1的ｋ的值 .对此 ,可设原方程的二实根为ｘ1、ｘ2 ,则Δ =ｋ2 -6ｋ 1 ,①由①得 ,ｋ≥ 3 2 2 ,或ｋ≤ 3 -2 2 .②由已知 ,有 |ｘ1|<1 ,|ｘ2 |<1 ,所以ｘ12 ｘ2 2 =(ｘ1 ｘ2 ) 2 -2ｘ1ｘ2 <2 .由根与系数的关系 ,知ｘ1 ｘ2 =ｋ 1ｋ ,ｘ1·ｘ2 =2ｋ,∴ｘ12 ｘ2 2=( ｋ 1ｋ ) 2 -4ｋ=ｋ2 -2ｋ 1ｋ2 <2 ,即 ｋ2 2ｋ-1ｋ2 >0 .由ｋ≠ 0…     

简谐运动的能量、圆频率以及振动方程的确定

在中学物理竞赛中 ,会涉及振动的动能、势能、圆频率以及振动方程的确定问题 ,以下简单谈谈这方面的有关内容 .任何一个物体 ,当受到大小与位移成正比且方向相反的力作用时 ,即 :Ｆ =-ｋ(ｘ -ｘ0 ) ,则物体做简谐振动 .如果物体质量为ｍ ,根据牛顿运动定律有 :ａ =-ｋｍ(ｘ -ｘ0 ) , (1 )满足上式的振动 ,其固有圆频率为 :ω =2π ｋｍ , (2 )振动方程为 :ｘ -ｘ0 =Ａｓｉｎω(ｔ-ｔ0 ) . (3 )其中 ,ｘ0 为振动平衡点的坐标 ,即ｘ0 为Ｆ =0时ｘ的坐标 ;Ａ是振幅 ,ωｔ0 是初相位 ,由初始条件确定 .振动过程的弹性势能为Ｅｐ=12 ｋ(ｘ-ｘ0 ) …     

试论对称不等式的八种证明技法

结构和谐均衡 ,字母轮换出现的不等式称为对称不等式 .这类不等式在中学数学中比比皆是 ,尤其是在各级各类数学竞赛中频频出现 .由于其变量多 ,证明时思维指向不明确 ,故而证明难度大 ,不易入手 .本文拟介绍对称不等式的八种证明技法 ,供读者参考 .1　构造构造法是数学解题的重要方法 .由于对称不等式特点明显 ,结构优美 ,因而 ,蕴含着某些丰富的数量及几何关系 .为此 ,可通过题设和结论 ,构造出相应的数学模型 ,使证明简明流畅 ,形象直观 .例 1　设ｋ >0 ,ｘｉ ∈Ｒ (ｉ =1,2 ,… ,ｎ)且ｘ21ｋ ｘ21 ｘ22ｋ ｘ22 … ｘ2 ｎｋ ｘ2 ｎ=ａ …     

一类问题的解法

本文通过几例 ,说明“已知一元二次不等式的解集求参数及可化为此类型的问题”的解法 .其根据是一元二次不等式的解集一般是以相应方程的根为端点的 .例 1　不等式ａｘ2 +5ｘ +ｂ>0的解集是ｘ 13<ｘ <12 ,求ａ、ｂ的值 .解 :由题设知 13、12 应是方程ａｘ2 +5ｘ +ｂ=0的两根 .由韦达定理得13+12 =- 5ａ,13·12 =ｂａ ,即 ａ =- 6 ,ｂ =- 1.评注 :本题解法紧扣方程与不等式的关系 ,利用韦达定理 ,迅速获解 .例 2　若关于ｘ的不等式ｘ >ａｘ +32 的解集为 {ｘ|4 <ｘ <ｍ},求实数ａ、ｍ的值 .解 :令ｘ =ｔ,则ｔ∈ ( 2 ,ｍ) .原不等式化为ａｔ2 …     

谈线性规划型应用题的求解

20 0 0年普通高等学校招生全国统一考试《数学》(上海文科卷 )中有这样一道题 :(11题 )图 1中阴影部分的点满足不等式组　　　　　图 1ｘ ｙ≤ 5,2ｘ ｙ≤ 6 ,ｘ ≥ 0 ,ｙ≥ 0 ,在这些点中 ,使目标函数ｋ=6ｘ 8ｙ取得最大值的点的坐标是.分析　由于不等式组所组成的几何图形是如图 1所示的四边形ＯＡＢＣ ,目标函数可变成 ｙ =- 34ｘ ｋ8,其图像是斜率为 - 34的一组平行直线 ,所以要使目标函数中的ｋ达到最大 ,只要当点 (ｘ ,ｙ)在阴影部分 (包括边界 )内时 ,直线 ｙ =- 34ｘ ｋ8的截距 ｋ8达到最大 .因此 ,只有通过点Ａ或点Ｂ或点Ｃ时…     

谨防参数问题中的“陷阱”

在中考中 ,为了考查同学们的观察能力和综合运用知识的能力 ,在一些参数问题里 ,命题者往往设置一些容易被忽视的条件 ,使解题者误入“陷阱” .本文列举参数问题中常见的一些“陷阱” ,以引起同学们足够的注意 .例 1　已知关于ｘ的一元二次方程( 1-2ｋ)ｘ2 -2ｋ +1ｘ -1=0有两个不相等的实数根 ,求ｋ的取值范围 . ( 2 0 0 0年广西区中考题 )错解　Δ =( -2ｋ +1) 2 -4 ( 1-2ｋ) ( -1)=-4ｋ +8.∵　Δ >0 ,∴　 -4ｋ +8>0 .解得ｋ <2 .又∵　 1-2ｋ≠ 0 ,∴　ｋ≠12 .则ｋ的取值范围是ｋ <2且ｋ≠12 .分析　本题设置的“陷阱”是一次项-2ｋ +…     

解不等式的九种非常规策略

中学课本里介绍不等式的解法都是常规策略 ,但对于一些结构比较特殊的不等式 ,用常规策略过于繁琐 ,甚至难以奏效 ,本文介绍解不等式的九种非常规策略 ,供参考 .一、构造函数策略某些不等式 ,若结合其特点 ,构造一个函数 ,利用函数的性质来解 ,将会使解题简捷明快。例 1　解不等式 8(ｘ 1) 3 10ｘ 1-ｘ3 - 5ｘ >0 .解 :将原不等式变形为8(ｘ 1) 3 10ｘ 1>ｘ3 5ｘ .令ｆ(ｘ) =ｘ3 5ｘ .则不等式为ｆ 2ｘ 1>ｆ(ｘ) .∵ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增 ,∴不等式等价于 2ｘ 1>ｘ .解得 :- 1<ｘ<1或ｘ <- 2 .二、构造图像策略构造图像 ,具体直观 ,…     

一个不等式的推广

题目　证明 :对任意实数ａ >1,ｂ>1,有不等式ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1≥ 8.这是第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 ,苏州大学《中学数学月刊》分别在 1999年第 11期、2 0 0 0年第5期、第 9期上用多种方法进行了证明 .现从实数个数和分子指数做如下推广 .引理　设ａ>1为实数 ,则ａｋａ- 1≥ｋ(1 1ｋ- 1) ｋ- 1(ｋ≥ 2 ,ｋ∈Ｎ) ,(当且仅当ａ =ｋｋ - 1时等式成立 ) .证明　设ａ=1 ｘ(ｘ >0 )则ａｋａ- 1=(1 ｘ) ｋｘ =1ｋｘ ｋｘｋ- 1ｋ=[1(ｋ -1) ｋｘ 1(ｋ -1) ｋｘ … 1(ｋ -1) ｋｘｋ-1项 ｋｘｋ-1] ｋ≥ [ｋ·ｋ(1ｋ - 1) ｋ- 1]ｋ =ｋｋ(ｋ-…     

怎样证“至少”型命题

证“至少”型命题有以下几种方法 .一、利用反证法例 1　已知函数 :ｙ=ｘ2 + 2ｘｔａｎθ-(1-3 )ｔａｎθ+ 3 ,ｙ2 =ｘ2 + 2ｘ + 3ｔａｎ2 θ(θ≠ｋπ+ π2 ,ｋ∈Ｚ) ,求证 :不论θ取何值 ,这两个函数的图象至少有一个位于ｘ轴的上方 .证明　已知两函数可写成ｙ1 =(ｘ +ｔａｎθ) 2 -ｔａｎ2 θ+ (3 -1)ｔａｎθ+ 3 ,ｙ2 =(ｘ+ 1) 2 + 3ｔａｎ2 θ -1.假若两函数的图象都与ｘ轴相交或相切 ,就必须有-ｔａｎ2 θ + (3 -1)ｔａｎθ+ 3≤ 0 ,3ｔａｎ2 θ-1≤ 0 .将以上两个不等式相加 ,就必有2ｔａｎ2 θ + (3 -1)ｔａｎθ + (3 -1)≤ 0 .①①…     

一元二次方程常见错解析因

一、忽视二次项系数不为零例 1　已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -4ｘ +4=0有实根 ,求ｍ的取值范围 .( 2 0 0 0年新疆乌鲁木齐市中考题 )误解　∵　方程有实根 ,∴　Δ =( -4 ) 2 -4×ｍ× 4≥ 0 .解得ｍ≤ 1.∴　ｍ的取值范围是ｍ≤ 1.评析　一元二次方程ｍｘ2 -4ｘ +4=0有实根的条件是 :( 1)二次项系数ｍ≠ 0 ;( 2 )Δ≥ 0 .错解只考虑了( 2 ) ,而忽视了 ( 1) ,即忽视了二次项系数不为零这一条件 .故正确结果是 :ｍ≤ 1且ｍ≠ 0 .值得说明的是 ,若题中未有“一元二次”四个字 ,则前面的解法是正确的 .同学们想一想 ,这是为什么 ?二、忽视…     

数学习题教学须求“活”

初中数学 ,内容丰富 ,题型五花八门、千变万化 ,所以我认为要提高初中数学教学质量 ,应在“活”字上下功夫。　　一、内容上求“活”　　同样的内容 ,不同的教师去教 ,效果大不相同 ,这就体现了教师钻研教材、处理教材的能力。在教学初中《代数》第一册 (下 )的 6 7页“6 3一元一次不等式的解法”时 ,我采用先复习一元一次方程的解法 ,后用对比的方法介绍一元一次不等式的解法 ,做法如下 :1.解方程 :3ｘ +2解 :3ｘ3ｘ∴　ｘ2 .解方程 :ｘ +6解 :ｘ - 3ｘ- 2ｘ∴　ｘ=5=5- 2=3=1=3ｘ=- 6=- 6=3解不等式 :3ｘ +2解 :3ｘ3ｘ∴　ｘ解不等式 :ｘ…     

函数f_n(x)=x~n … 1在(-∞, ∞)上的最小值估计

文 [1 ]已得到ｍｉｎｆ4 (ｘ) =0 673 5 5 3… 本文得到定理 1　ｎ为奇数时 ,ｆｎ(ｘ)在 (-∞ ∞ )上无界 .证明　 ｆ2ｋ - 1(ｘ) =(ｘ 1 ) (ｘ2ｋ- 2 ｘ2ｋ- 4 … ｘ2 1 ) =(ｘ 1 )Ｍ (ｘ) ,由于ｘ→±∞时 ,Ｍ(推论 1　 ｆ2ｋ - 1(ｘ)为增函数 .推论 2　 ｆ′2ｋ - 1(ｘ) >0 .定理 2　ｎ为偶数时 ,ｆｎ(ｘ)在 (-∞ ∞ )上有下界 ,无上界 .证明　 ｆ2ｋ(ｘ) =ｘ(ｘ 1 ) (ｘ2ｋ- 2 ｘ2ｋ - 4 … ｘ2 1 ) 1 ,故当 |ｘ|→∞时 ,ｆ2ｋ(ｘ)→ ∞ ,但 ｆ(0 ) =ｆ(-1 ) =1 ,由罗尔定理知存在ｘ0 ∈ (-1 ,0 ) ,使 ｆ′(ｘ)<0 ,结合…     

直线方程x0x／a^2＋y0y／b^2=1的几何意义

文 [1]给出了直线方程ｘ0 ｘ ｙ0 ｙ =ｒ2 的三种几何意义 .笔者认为直线方程 ｘ0 ｘａ2 ｙ0 ｙｂ2 =1也有类似的几何意义 .先求经过椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的切线方程 .设切线的斜率为ｋ ,则其方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )或ｙ=ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 .将ｙ的表达式代入椭圆方程 ,得ｘ2ａ2 [ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 ] 2ｂ2 =1.化简并整理为ｘ的二次方程就是(ｂ2 ａ2 ｋ2 )ｘ2 - 2ａ2 ｋ(ｋｘ0 - ｙ0 )ｘ ａ2 (ｋｘ0 -ｙ0 ) 2 -ａ2 ｂ2 =0 .　　由于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是切点 ,所以ｘ0 是这个方程的二重实…     

二次函数在高考中的题型综述

二次函数是中学数学的重点内容之一 ,历年的高考对二次函数的有关知识均进行考查 ,如 :解析式、最值、单调性、奇偶性、对称性、图像、二次不等式等。结合近几年有关二次函数的试题进行归类 ,以揭示二次函数的解题规律。1　解析式二次函数的解析式有三种形式 :( 1)一般式 :ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ +ｃ(ａ≠ 0 )( 2 )顶点式 :ｙ =ａ(ｘ+ｋ) 2 +ｈ(ａ≠ 0 )其中 ( -ｋ,ｈ)为顶点。( 3)交点式 :ｙ=ａ(ｘ -ｘ1) (ｘ-ｘ2 ) (ａ≠ 0 )其中 (ｘ1,0 ) (ｘ2 ,0 )为抛物线与ｘ轴的交点。在上述三种形式中 ,均有三个常数 ,但在各种形式中又各有侧重 ,在一定的…