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1.
一个不等式的推广和应用 总被引:1,自引:0,他引:1
中学数学里熟知的不等式 (x y) 2 ≤ 2 (x2 y2 ) ,可通过增加元数和增加次数进行推广 ,易得到幂平均不等式 :(x1 x2 … xn) m ≤nm -1 (xm1 xm2 … xmn) ,其中x1 ,x2 ,… ,xn 为正数 .在幂平均不等式中 ,令x1 =m a1 ,x2 =ma2 ,… ,xn=man,则又得到无理不等式 :( ma1 m a2 … m an) m≤nm -1 (a1 a2 … an) ,即有ma1 m a2 … man≤ m nm -1 (a1 a2 … an) ,(a1 ,a2 ,… ,an 为正数 ,当a1 =a2 =… =an 时 ,等号成立 ) .此不等式在证明有关无… 相似文献
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利用数学归纳法来证明某些与自然数n有关的不等式 ,证k到 (k 1)这一过程是许多同学感到困难的一步 .为此 ,笔者介绍一种“凑配分裂”的转化策略 ,以解决这一难点 .1 凑配从归纳假设n=k的不等式出发 ,凑配出待证n=k 1时的不等式的某一端 ,再结合不等式性质将问题有效转化 .例 1 (《代数》课本下册 12 3页例 5)已知x >- 1,且x≠ 0 ,n ∈N ,且n≥ 2 ,求证 ( 1 x) n >1 nx .证明 (i)当n=2时 ,左边 =( 1 x) 2 =1 2x x2 ,右边 =1 2x ,因为x2 >0 ,所以原不等式成立 .(ii)假设不等式当n =k(k≥ 2 )时成立 ,就是( … 相似文献
3.
初学者解答一元二次方程问题时 ,容易犯的错误主要集中在求方程中的参数值这类题中 .正是这个原因 ,历年来各地的中考命题总爱在此设置“陷阱” .为增加同学们的“免疫力” ,提醒同学们注意以下五点 :一、如果题目中指明是二次方程或有两个实数根 ,应注意二次项系数不能为零例 1 已知关于x的方程 (k -1 )x2 2kx k 3=0有两个不相等的实数根 ,求k的取值范围 . (1 998年江苏省扬州市中考题 )解 由题意 ,得k-1≠ 0 ,Δ =(2k) 2 -4 (k -1 ) (k 3) >0 . k≠ 1 ,Δ =-8k 1 2 >0 . k≠ 1 ,k<32 .∴ k的取值范围是k<32 且… 相似文献
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杜雷虹 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):20-20
不等式恒成立问题是一类常见题型 ,其综合性强 ,解法灵活多样 ,能很好地考查学生的数学能力 .下面通过一个具体问题加以说明 :例 若不等式 9x- (k +1) 3x+2 >0对任意x∈R恒成立 ,则k的取值范围是 ( ) .A .( -∞ ,- 1) B .( -∞ ,2 2 - 1)C .( - 1,2 2 - 1) D .( - 2 2 - 1,2 2 - 1)解法 1:(特值否定筛选法 )令k =- 1,原式变为 9x+2 >0 ,显然对x∈R恒成立 ,排除A、C .再令k =- 5,原式变为 9x+4·3x+2 >0 ,也恒成立 ,排除D ,故选B .解法 2 :(图象分析法 )令 3x=t(t>0 ) ,原式化为t2 +2 >(k+1)t.在… 相似文献
5.
魏圣玮 《中学生数理化(高中版)》2003,(1):22-23
1 .方程问题转化为函数问题一元二次方程 f(x) =0 ,经移项 ,可化为一端是一个二次式 ,另一端是一个一次式或常数项的形式 ,从而得到 φ(x) =ψ(x) .令 y1 =φ(x) ,y2 =ψ(x) ,则函数 φ(x)与 ψ(x)的图象的交点 ,即为f(x) =0的解 .判断一个方程的解的个数问题 ,可用此法求解 .例 1 已知关于x的方程x2 -2x -1-k =0 ,x∈ [-1,2 ] ,k≤ 1,求此方程的实数解的个数 .解 :原方程化为 :(x -1) 2 =2 +k ,-1≤x≤ 2 ,k≤ 1.令y1 =(x -1) 2 (-1≤x≤ 2 ) ,y2 =2 +k(k≤ 1) .在同一坐标系中 ,作出它们的图象 ,如右图 .观… 相似文献
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谢安佳 《中学数学教学参考》2001,(12)
在解与一元二次方程有关的题时 ,若考虑问题不全面 ,思维不严谨 ,容易出现错解 .现举例说明 :1 .在确定一元二次方程时 ,容易忽视二次项系数a≠ 0 .例 1 关于x的方程(k2 -1 )xk2 -2k-1 x k =0是一元二次方程 ,求k的值 .错解 :∵k2 -2k-1 =2 ,即 k2 -2k-3 =0 ,∴k1=3 ,k2 =-1 .点评 :方程ax2 bx c=0 (a≠ 0 )为一元二次方程 ,这里强调a≠ 0 .当k2 =-1时 ,使k2 -1 =0 ,原方程是一元一次方程 .正确的解法是k2 -2k -1 =2 ,k2 -1≠ 0 , ∴k =3 .2 .在使用一元二次方程根的判别式时 ,容易忽视二次项系数a… 相似文献
7.
刘艳 《中学数学教学参考》2001,(11)
以下是《高中数学新教材第六章教学问答(二 )》(载于《中学数学教学参考》2 0 0 1年第 8期 )一文中给出的一例题和解法 .“求使关于x的一元二次方程kx2-(k 1 )x 2 =0有实数根 ,且二根的绝对值都小于 1的k的值 .对此 ,可设原方程的二实根为x1、x2 ,则Δ =k2 -6k 1 ,①由①得 ,k≥ 3 2 2 ,或k≤ 3 -2 2 .②由已知 ,有 |x1|<1 ,|x2 |<1 ,所以x12 x2 2 =(x1 x2 ) 2 -2x1x2 <2 .由根与系数的关系 ,知x1 x2 =k 1k ,x1·x2 =2k,∴x12 x2 2=( k 1k ) 2 -4k=k2 -2k 1k2 <2 ,即 k2 2k-1k2 >0 .由k≠ 0… 相似文献
8.
在中学物理竞赛中 ,会涉及振动的动能、势能、圆频率以及振动方程的确定问题 ,以下简单谈谈这方面的有关内容 .任何一个物体 ,当受到大小与位移成正比且方向相反的力作用时 ,即 :F =-k(x -x0 ) ,则物体做简谐振动 .如果物体质量为m ,根据牛顿运动定律有 :a =-km(x -x0 ) , (1 )满足上式的振动 ,其固有圆频率为 :ω =2π km , (2 )振动方程为 :x -x0 =Asinω(t-t0 ) . (3 )其中 ,x0 为振动平衡点的坐标 ,即x0 为F =0时x的坐标 ;A是振幅 ,ωt0 是初相位 ,由初始条件确定 .振动过程的弹性势能为Ep=12 k(x-x0 ) … 相似文献
9.
结构和谐均衡 ,字母轮换出现的不等式称为对称不等式 .这类不等式在中学数学中比比皆是 ,尤其是在各级各类数学竞赛中频频出现 .由于其变量多 ,证明时思维指向不明确 ,故而证明难度大 ,不易入手 .本文拟介绍对称不等式的八种证明技法 ,供读者参考 .1 构造构造法是数学解题的重要方法 .由于对称不等式特点明显 ,结构优美 ,因而 ,蕴含着某些丰富的数量及几何关系 .为此 ,可通过题设和结论 ,构造出相应的数学模型 ,使证明简明流畅 ,形象直观 .例 1 设k >0 ,xi ∈R (i =1,2 ,… ,n)且x21k x21 x22k x22 … x2 nk x2 n=a … 相似文献
10.
林明成 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):15-15
本文通过几例 ,说明“已知一元二次不等式的解集求参数及可化为此类型的问题”的解法 .其根据是一元二次不等式的解集一般是以相应方程的根为端点的 .例 1 不等式ax2 +5x +b>0的解集是x 13<x <12 ,求a、b的值 .解 :由题设知 13、12 应是方程ax2 +5x +b=0的两根 .由韦达定理得13+12 =- 5a,13·12 =ba ,即 a =- 6 ,b =- 1.评注 :本题解法紧扣方程与不等式的关系 ,利用韦达定理 ,迅速获解 .例 2 若关于x的不等式x >ax +32 的解集为 {x|4 <x <m},求实数a、m的值 .解 :令x =t,则t∈ ( 2 ,m) .原不等式化为at2 … 相似文献
11.
20 0 0年普通高等学校招生全国统一考试《数学》(上海文科卷 )中有这样一道题 :(11题 )图 1中阴影部分的点满足不等式组 图 1x y≤ 5,2x y≤ 6 ,x ≥ 0 ,y≥ 0 ,在这些点中 ,使目标函数k=6x 8y取得最大值的点的坐标是.分析 由于不等式组所组成的几何图形是如图 1所示的四边形OABC ,目标函数可变成 y =- 34x k8,其图像是斜率为 - 34的一组平行直线 ,所以要使目标函数中的k达到最大 ,只要当点 (x ,y)在阴影部分 (包括边界 )内时 ,直线 y =- 34x k8的截距 k8达到最大 .因此 ,只有通过点A或点B或点C时… 相似文献
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在中考中 ,为了考查同学们的观察能力和综合运用知识的能力 ,在一些参数问题里 ,命题者往往设置一些容易被忽视的条件 ,使解题者误入“陷阱” .本文列举参数问题中常见的一些“陷阱” ,以引起同学们足够的注意 .例 1 已知关于x的一元二次方程( 1-2k)x2 -2k +1x -1=0有两个不相等的实数根 ,求k的取值范围 . ( 2 0 0 0年广西区中考题 )错解 Δ =( -2k +1) 2 -4 ( 1-2k) ( -1)=-4k +8.∵ Δ >0 ,∴ -4k +8>0 .解得k <2 .又∵ 1-2k≠ 0 ,∴ k≠12 .则k的取值范围是k <2且k≠12 .分析 本题设置的“陷阱”是一次项-2k +… 相似文献
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中学课本里介绍不等式的解法都是常规策略 ,但对于一些结构比较特殊的不等式 ,用常规策略过于繁琐 ,甚至难以奏效 ,本文介绍解不等式的九种非常规策略 ,供参考 .一、构造函数策略某些不等式 ,若结合其特点 ,构造一个函数 ,利用函数的性质来解 ,将会使解题简捷明快。例 1 解不等式 8(x 1) 3 10x 1-x3 - 5x >0 .解 :将原不等式变形为8(x 1) 3 10x 1>x3 5x .令f(x) =x3 5x .则不等式为f 2x 1>f(x) .∵f(x)在R上单调递增 ,∴不等式等价于 2x 1>x .解得 :- 1<x<1或x <- 2 .二、构造图像策略构造图像 ,具体直观 ,… 相似文献
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题目 证明 :对任意实数a >1,b>1,有不等式a2b - 1 b2a - 1≥ 8.这是第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 ,苏州大学《中学数学月刊》分别在 1999年第 11期、2 0 0 0年第5期、第 9期上用多种方法进行了证明 .现从实数个数和分子指数做如下推广 .引理 设a>1为实数 ,则aka- 1≥k(1 1k- 1) k- 1(k≥ 2 ,k∈N) ,(当且仅当a =kk - 1时等式成立 ) .证明 设a=1 x(x >0 )则aka- 1=(1 x) kx =1kx kxk- 1k=[1(k -1) kx 1(k -1) kx … 1(k -1) kxk-1项 kxk-1] k≥ [k·k(1k - 1) k- 1]k =kk(k-… 相似文献
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证“至少”型命题有以下几种方法 .一、利用反证法例 1 已知函数 :y=x2 + 2xtanθ-(1-3 )tanθ+ 3 ,y2 =x2 + 2x + 3tan2 θ(θ≠kπ+ π2 ,k∈Z) ,求证 :不论θ取何值 ,这两个函数的图象至少有一个位于x轴的上方 .证明 已知两函数可写成y1 =(x +tanθ) 2 -tan2 θ+ (3 -1)tanθ+ 3 ,y2 =(x+ 1) 2 + 3tan2 θ -1.假若两函数的图象都与x轴相交或相切 ,就必须有-tan2 θ + (3 -1)tanθ+ 3≤ 0 ,3tan2 θ-1≤ 0 .将以上两个不等式相加 ,就必有2tan2 θ + (3 -1)tanθ + (3 -1)≤ 0 .①①… 相似文献
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一、忽视二次项系数不为零例 1 已知关于x的一元二次方程mx2 -4x +4=0有实根 ,求m的取值范围 .( 2 0 0 0年新疆乌鲁木齐市中考题 )误解 ∵ 方程有实根 ,∴ Δ =( -4 ) 2 -4×m× 4≥ 0 .解得m≤ 1.∴ m的取值范围是m≤ 1.评析 一元二次方程mx2 -4x +4=0有实根的条件是 :( 1)二次项系数m≠ 0 ;( 2 )Δ≥ 0 .错解只考虑了( 2 ) ,而忽视了 ( 1) ,即忽视了二次项系数不为零这一条件 .故正确结果是 :m≤ 1且m≠ 0 .值得说明的是 ,若题中未有“一元二次”四个字 ,则前面的解法是正确的 .同学们想一想 ,这是为什么 ?二、忽视… 相似文献
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初中数学 ,内容丰富 ,题型五花八门、千变万化 ,所以我认为要提高初中数学教学质量 ,应在“活”字上下功夫。 一、内容上求“活” 同样的内容 ,不同的教师去教 ,效果大不相同 ,这就体现了教师钻研教材、处理教材的能力。在教学初中《代数》第一册 (下 )的 6 7页“6 3一元一次不等式的解法”时 ,我采用先复习一元一次方程的解法 ,后用对比的方法介绍一元一次不等式的解法 ,做法如下 :1.解方程 :3x +2解 :3x3x∴ x2 .解方程 :x +6解 :x - 3x- 2x∴ x=5=5- 2=3=1=3x=- 6=- 6=3解不等式 :3x +2解 :3x3x∴ x解不等式 :x… 相似文献
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彭宝义 《中学数学教学参考》2001,(11)
文 [1 ]已得到minf4 (x) =0 673 5 5 3… 本文得到定理 1 n为奇数时 ,fn(x)在 (-∞ ∞ )上无界 .证明 f2k - 1(x) =(x 1 ) (x2k- 2 x2k- 4 … x2 1 ) =(x 1 )M (x) ,由于x→±∞时 ,M(推论 1 f2k - 1(x)为增函数 .推论 2 f′2k - 1(x) >0 .定理 2 n为偶数时 ,fn(x)在 (-∞ ∞ )上有下界 ,无上界 .证明 f2k(x) =x(x 1 ) (x2k- 2 x2k - 4 … x2 1 ) 1 ,故当 |x|→∞时 ,f2k(x)→ ∞ ,但 f(0 ) =f(-1 ) =1 ,由罗尔定理知存在x0 ∈ (-1 ,0 ) ,使 f′(x)<0 ,结合… 相似文献
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直线方程x0x/a^2+y0y/b^2=1的几何意义 总被引:6,自引:0,他引:6
何才富 《中学数学教学参考》2000,(4):54-55
文 [1]给出了直线方程x0 x y0 y =r2 的三种几何意义 .笔者认为直线方程 x0 xa2 y0 yb2 =1也有类似的几何意义 .先求经过椭圆 x2a2 y2b2 =1(a >0 ,b >0 )上一点P(x0 ,y0 )的切线方程 .设切线的斜率为k ,则其方程为y - y0 =k(x -x0 )或y=k(x -x0 ) y0 .将y的表达式代入椭圆方程 ,得x2a2 [k(x -x0 ) y0 ] 2b2 =1.化简并整理为x的二次方程就是(b2 a2 k2 )x2 - 2a2 k(kx0 - y0 )x a2 (kx0 -y0 ) 2 -a2 b2 =0 . 由于点P(x0 ,y0 )是切点 ,所以x0 是这个方程的二重实… 相似文献
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富伯亭 《吕梁高等专科学校学报》2001,16(1):6-7
二次函数是中学数学的重点内容之一 ,历年的高考对二次函数的有关知识均进行考查 ,如 :解析式、最值、单调性、奇偶性、对称性、图像、二次不等式等。结合近几年有关二次函数的试题进行归类 ,以揭示二次函数的解题规律。1 解析式二次函数的解析式有三种形式 :( 1)一般式 :y =ax2 +bx+ +c(a≠ 0 )( 2 )顶点式 :y =a(x+k) 2 +h(a≠ 0 )其中 ( -k,h)为顶点。( 3)交点式 :y=a(x -x1) (x-x2 ) (a≠ 0 )其中 (x1,0 ) (x2 ,0 )为抛物线与x轴的交点。在上述三种形式中 ,均有三个常数 ,但在各种形式中又各有侧重 ,在一定的… 相似文献