初中数学中求变式取值范围的几种常用方法

求变式的取值范围 (或最值 )是初中数学竞赛的热点问题 .由于其涉及的知识面广 ,技巧性强 ,思路灵活多变 ,学生普遍感到难以掌握 .本文试图通过实例 ,归纳总结出这类问题的一些常见规律 ,以期对学生能有所帮助 .1　局部配方法通过对变式的局部进行配方 ,再利用 (ｘ±ｙ) 2 ≥0来求变式的取值范围 (或最值 ) .例 1　 (1998年全国初中联赛试题 )设ａ、ｂ为实数 ,那么ａ2 +ａｂ +ｂ2 -ａ - 2ｂ的最小值是解　ａ2 +ａｂ+ｂ2 -ａ- 2ｂ=ａ2 +(ｂ- 1)ａ -ｂ2 - 2ｂ=(ａ- ｂ - 12 ) 2 +34(ｂ - 1) 2 - 1.∵ (ａ - ｂ - 12 ) 2 ≥ 0 ,(ｂ- 1) 2 ≥ 0 …     

例谈初中数学竞赛题的常用解题策略

数学竞赛题难度大 ,要解答竞赛题 ,学生不但要掌握数学基础知识、基本技能和基本思想方法 ,而且还需掌握一些常用的解题策略 ,这对提高学生解数学题的能力、培养学生良好的数学素养是大有裨益的 .1　特殊值法———用满足题设条件的特殊值代入来求得正确的答案例 1　若ａ ｂ ｃ=0 ,则ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3的值是 (　　 )(Ａ) - 1　　 (Ｂ) 0　　 (Ｃ) 1　　 (Ｄ) 2(第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二二试试题 )分析　设ａ =0 ,ｂ=0 ,ｃ =0代入ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3=0 ,故选 (Ｂ) .例 2　若 14 (ｂ-ｃ) 2 =(ａ-ｂ) (ｃ-…     

活用一结论速解一类竞赛题

结论　若ａ+ｂ +ｃ=0 ,则ｂ2 ≥ 4ａｃ.证明　∵ａ +ｂ+ｃ =0 ,即ｂ=- (ａ+ｃ) ,∴ｂ2- 4ａｃ=[- (ａ+ｃ) ]2 - 4ａｃ=(ａ -ｃ) 2 ≥ 0 ,故ｂ2 ≥4ａｃ.活用这一结论可以方便、准确地求解已知等式求取值范围或不等关系类型的问题 .下面举例说明 .例 1　 (1991年“曙光杯”初中数学竞赛题 )已知三个实数ａ ,ｂ,ｃ满足 ａ +ｂ+ｃ =0 ,ａｂｃ =1,求证 :ａ、ｂ、ｃ中至少有一个大于 32 .证明　由题设条件可知ａ ,ｂ,ｃ中有一个正数 ,两个负数 ,不妨设ｃ>0 .∵ａ+ｂ +ｃ=0 ,∴ｃ2 ≥ 4ａｂ.而ａｂｃ=1,则有ｃ3 ≥ 4ａｂｃ =4 ,∴ｃ≥ 34>32 78=32…     

巧用P＋3Q≥R证明三角形不等式

数学素质教育的核心问题是培养学生的数学创新能力 .笔者注意在不等式证明的教学和兴趣小组辅导中引进创新方法 :Ｐ -Ｑ -Ｒ法 ,巧用定理 :Ｐ 3Ｑ≥Ｒ证明一类三角形不等式 ,收到了较好的效果 ,现介绍给读者 .定理　△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ ,并记Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3 ,　　　Ｑ =ａｂｃ,Ｒ =ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 ,则　　　　　Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ .　　证明　考虑到三角形两边之和大于第三边 ,有(ａ -ｂ) 2 (ａ ｂ -ｃ)=ａ3 ｂ3 -ａ2 ｂ -ａｂ2 -ｂ2 ｃ-ｃａ2 2ａｂｃ≥ 0 ,(ｂ-ｃ) 2 (ｂ ｃ -ａ)=ｂ3 ｃ3 -ｂ2…     

巧用递推法求值

所谓“递推法” ,就是根据题目特点 ,构造递推关系式解题的一种方法 ,运用这种方法解题 ,往往能化繁为简 ,变难为易 ,得到简捷合理的解题途经 .1　利用已知的递推关系式求值例 1　设ａ、ｂ、ｃ为非零常数 ,ｘ2 =ａｘ1 ｂ ,ｘ3=ａｘ2 ｂ ,… ,ｘ1 0 =ａｘ9 ｂ ,若ｘ1 0 =0 ,则ｘ1 =.(第三届“缙云杯”竞赛题 )解　∵　ｘ3 =ａ(ａｘ1 ｂ) ｂ =ａ2 ｘ1 ａｂ ｂ ,ｘ4=ａ(ａ2 ｘ1 ａｂ ｂ) ｂ =ａ3 ｘ1 ａ2 ｂ ａｂ ｂ ,… ,ｘ1 0 =ａ9ｘ1 ａ8ｂ ａ7ｂ … ａｂ ｂ =0 ,∴　ｘ1 =- ｂａ9( 1 ａ ａ2 … ａ8) .2　利用幂指数构造…     

一类条件不等式的证明体系

成功的解题 ,常常体现在 :善于发现规律 ,巧于利用规律 .这是一类常见的条件不等式证明问题 :题设条件是ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ=1.本文试图揭示其证题规律 ,并巧用其规律 .定理　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,则ａ2 ｂ2 ｃ2 ≥ 13≥ａｂ ｂｃ ｃａ ;①1ａ 1ｂ 1ｃ ≥ 9;②1ａ2 1ｂ2 1ｃ2 ≥ 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ ≥ 2 7;③ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 1;④ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 9;⑤ａｂｃ≤ 12 7,或 1ａｂｃ≥ 2 7;⑥ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7;⑦ａ ｂ ｃ≤ 3;⑧ａｂ ｂｃ ｃａ≤ 1. ⑨　　 (当且仅当ａ=…     

反思教学中的一题多解

解题教学是数学教学的一个重要组成部分 ,特别是一题多解教学深受数学教师的重视 ,经常被用来培养学生的发散性思维 .然而本人从自身的教学实践及参加的教研活动中发现 ,并不是所有的一解多解教学都能起到培养学生的发散性思维的目的 .下面试举几例进行说明 .第一 ,所选择例题及其解法不恰当 ,则达不到培养学生发散性思维的目的 .例 1　已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,那么ａ ｂ≥ 2ａｂ ,当且仅当ａ =ｂ时等式成立 .证法 1 :∵已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,∴ａ ｂ -2ａｂ =(ａ -ｂ) 2 ≥ 0 ,当且仅当ａ =ｂ ,即ａ =ｂ时 ,(ａ-ｂ) 2 =0 .∴原命题成立 .证法 2 :∵…     

例谈公式（数）运算的技巧

在近几年的各类数学竞赛中 ,常出现有关分式(数 )运算的问题 .本文结合近几年来各省、市的竞赛题 ,谈谈此类问题的解法技巧 ,供参考 .1　巧用分式的基本性质例 1　 (1998年希望杯初二数学竞赛试题 )已知ａ≠ 0 ,ｂ≠ 0 ,且 1ａ + 1ｂ =4 ,则求 4ａ + 3ａｂ+ 4ｂ- 3ａ + 2ａｂ- 3ｂ的值 .分析　注意到式中分子或分母的ａ、ｂ项系数相同 ,故分子、分母同除以ａｂ ,即可利用条件式直接求解 .解　注意到ａｂ≠ 0 ,ａ +ｂａｂ =4 ,则原式 =4·ａ+ｂａｂ + 3- 3ａ+ｂａｂ + 2=- 1910 .2　巧用字母代替数例 2　 (1999年北京市初中数学竞赛题 )计算…     

算术—几何平均值不等式

算术———几何平均值不等式是高中数学解题的重要工具 ,特别是二、三元均值不等式 ,无论是在高考 ,还是在竞赛中都有着广泛的用途 .突破均值不等式的变用、活用以及跨学科应用是本讲需要解决的核心问题 .一、基础知识1 .二元均值不等式及其变形ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) ,ａ ｂ≥ 2 ａｂ　 (ａ ,ｂ∈Ｒ ) ,ａｂ≤ ａ ｂ22 　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) ,ａｂ≤ ａ2 ｂ22 　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) .2 .三元均值不等式及其变形ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ,ａ ｂ ｃ≥ 3 3ａｂｃ ,ａｂｃ≤ ａ3 ｂ3 ｃ33 ,ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ) .3.ｎ元均…     

两个不等式引起的思索

《中学数学教学参考》2 0 0 2年第 8斯 ｐ .2 7上有这样两个不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ａ ｂ =1,则43 ≤ 1ａ 1 1ｂ 1<32 ,32 <1ａ2 1 1ｂ2 1≤ 85 .经过类比、猜测、证明 ,笔者得到两个新的结果 ,兹介绍如下 .定理 1　若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ａ ｂ=1,则32 <1ａ3 1 1ｂ3 1≤ 169.证明　显然 1ａ3 1 1ｂ3 1≥ 1ａ2 1 1ｂ2 1>32又因为 16ａ3 ｂ3 5≥ 16ａ3 ｂ3 12 18ａｂ≥ 3316ａ3 ｂ3 · 14 · 14 18ａｂ=2 1ａｂ ,所以 2 7(1-ａｂ) ≤ 16(ａ3 ｂ3 2 - 3ａｂ) ,所以 3 (1-ａｂ)ａ3 ｂ3 2 - 3ａｂ≤ 169,所以 1ａ3 1 1ｂ3 1≤ 169.所…     

从完全平方公式变形引起的联想

“学无止境,教无定法”,数学的教与学也是如此.数学中错综复杂的公式,繁重的计算量,常常使学生无所适从,既花费了大量的时间,又得不到正确答案.如何化繁为简,找到解题的捷径,这就是解题的技巧问题.我在长期教学实践中不断地探索研究,及时地总结经验,认为初中代数中某些公式如能通过变形,加以灵活巧用,将会使一类数学问题的解题思路清晰明朗,解题过程简洁凑效.下面仅以完全平方公式为例,阐明之.(ａ ｂ)2=ａ2 2ａｂ ｂ2,(ａ-ｂ)2=ａ2-2ａｂ ｂ2.这是初中一年级代数课本中两个重要的公式,通常是直接运用于解题.如果将两公式叠加,将得到一个新的…     

解题杂谈

一、分与合例 1　设ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 1ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 -ｂ2 ｃ21ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 -ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 1ｃ2 ｄ2 =0 .①求证 :ａｂ ｂｃ ｃｄ ｄａ与ａｂ ｃｄ -ｄａ -ｂｃ中至少有一个为零 .讲解　这是文 [1 ]谈数学和谐美的第一个例子 .整个分析处理过程如下 :已知条件是分式 ,而结论是整式 ,不和谐 ,且条件复杂 ,结论简单 .所以 ,可以运用顺推策略探索解题途径 ,并将分式化为整式 ,使条件与结论和谐化 ,另外 ,还需将结论等价地变为(ａｂ ｂｃ ｃｄ ｄａ) (ａｂ ｃｄ…     

分式变形的各种方法

从小学到高中 ,从代数到几何 ,分式遍布数学的每一章每一节 .分式的变形方法很多 ,当然得因题而异 ,选取不同方法 .方法选准 ,问题就会迎刃而解 .一、分式配项凑分母例 1　 (1 989年全国高考题 )求函数 ｙ =ｅｘ -1ｅｘ + 1 的反函数的定义域 .解　由题意得ｙ =(ｅｘ+ 1 ) -2ｅｘ + 1 =1 -2ｅｘ + 1 .∵ｅｘ >0 ,∴ 0 <2ｅｘ + 1 <2 ,∴ -1 <1 -2ｅｘ+ 1 <1 .故所求反函数的定义域为 (-1 ,1 ) .例 2　若ａ>0 ,ｂ>0且ａ + 2ｂ+ａｂ=3 0 ,求 1ａｂ的最小值 .解　由题意 :ｂ=3 0 -ａ2 +ａ,则1ａｂ=13 0ａ-ａ22 +ａ= 1-(ａ + 2 ) 2 + 3 4(ａ + 2…     

巧用韦达定理逆定理 妙解一类竞赛试题

韦达定理和其逆定理是初中数学中一个充满活力的定理 ,不但在历年的中考试题中是一个命题的热点 ,而且其逆定理在初中数学竞赛中应用也较多 ,现举例如下 .例 1　已知实数ａ、ｂ满足ａ2 +ａｂ+ｂ2= 1,且ｔ =ａｂ-ａ2 -ｂ2 ,那么ｔ的取值范围是 (2 0 0 1年ＴＩ杯全国初中数学竞赛试题 ) .解　由ａ2 +ａｂ+ｂ2 =1,ｔ=ａｂ -ａ2-ｂ2 得 ,ａ2 +ｂ2 =1-ｔ2 ,ａ2 ｂ2 =1+ｔ22 ,则以ａ2 、ｂ2 为根的一元二次方程为 :ｘ2 -1-ｔ2 ｘ+ 1+ｔ22 =0 ( ) ,因为ａ、ｂ为实数 ,所以方程 ( )有实数根 ,即Δ =1-ｔ22 -4 1+ｔ22 ≥ 0 ,得 -3 ≤ｔ≤-13 .例 2　…     

不等式P+3Q≥R的本质

近日读了西北师大《数学教学研究》上的一篇文章 (见文 [1]) ,该文研讨了关于三角形三边ａ、ｂ、ｃ的一个不等式Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ ,(1)其中Ｐ = ａ3 =ａ3 ｂ3 ｃ3 ,Ｑ =ａｂｃ ,Ｒ = ａ2 ｂ=ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 .今将不等式 (1)中的Ｒ改记为Ｆ ,从而不等式(1)改写为Ｐ 3Ｑ ≥Ｆ ,(2 )其中Ｐ = ａ3 ,Ｑ =ａｂｃ ,Ｆ = ａ2 ｂ .本文将指出 ,不等式 (2 )本质上等价于著名的欧拉不等式 .首先 ,易知不等式 (2 )可以改写为 ａ3 5ａｂｃ≥ (ａ ｂ) (ｂ ｃ) (ｃ ａ) .(3)　　其次 ,由熟知的恒等式 (其中Ｒ、ｒ分别表示三角…     

巧证平均不等式

平均不等式 :若ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,则ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ,当且仅当ａ =ｂ=ｃ时 ,取“ =”号 .教材上已给出一种证明方法 ,笔者再给出如下一种简捷证法 ,供读者学习时参考 .证明　由ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,得ａ+ｂ +ｃ+3 ａｂｃ=(ａ+ｂ) +(ｃ+3 ａｂｃ)≥ 2ａｂ +2ｃ· 3 ａｂｃ=2 (ａｂ+ｃ 3 ａｂｃ)≥ 4ａｂ·ｃ 3 ａｂｃ=4 4 ａｂｃ 3 ａｂｃ=44 3 ａ4ｂ4ｃ4=4 3 ａｂｃ .∴ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ.以上证明中等号成立 ,当且仅当ａ =ｂ,且ｃ =3 ａｂｃ,ａｂ =ｃ 3 ａｂｃ ,即巧证平均不等式@徐有林$云南省巧家县第一中学!654600…     

关于一道三元分式不等式链

一类三元分式不等式证明的数学问题 ,屡见于数学竞赛和多种数学杂志征解题中 ,绚丽多姿 .其证明方法虽有多种 ,但颇具难度 .传统证法往往因题而异 ,孤立施证 ,因而难以看出诸不等式之间的内在联系 ,“只见树木 ,不见森林” .本文提出一道三元分式不等式链 :定理　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,并记Ｐ=ａ2ｂ ｃ ｂ2ｃ ａ ｃ2ａ ｂ,Ｍ=ｂ2ｂ ｃ ｃ2ｃ ａ ａ2ａ ｂ,Ｎ=ｃ2ｂ ｃ ａ2ｃ ａ ｂ2ａ ｂ,Ｌ=ａｂｂ ｃ ｂｃｃ ａ ｃａａ ｂ,Ｒ =ｃａｂ ｃ ａｂｃ ａ ｂｃａ ｂ,Ｑ =ｂｃｂ ｃ ｃａｃ ａ ａｂａ ｂ,则Ｐ≥Ｍ =Ｎ ≥ 12 ∑ａ≥ＬＲ1…     

重视解题过程中的方法性训练

奥加涅相在《中小学数学教学法》一书中强调指出 :“中学教学首要也是最主要的职责是强调解题过程中的方法性训练 .”那么数学教学中特别是解题教学中 ,如何有意识地对学生进行系统地数学思想方法的训练呢 ?笔者试以一题为例谈谈解题过程中的方法性训练 .题目　已知实数ａ、ｂ、ｃ满足ａ >0 ,ｂ >ａ ｃ,求证 :方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0有两个相异实数根 .1　重视转化思想 ,训练化归方法转化思想贯穿于整个数学教学中 ,它要求对某一数学问题加以转化 ,化陌生为熟悉、化复杂为简单、化抽象为具体 ,实现转化的基本手段就是化归问题的结论是要证…     

函数思想在解题中的应用

函数是贯穿于初等数学的一根主线 ,函数思想是数学思想方法的重要组成部分 .函数思想的实质是剔除问题的非数学特征 ,用联系变化的观点提出数学对象 ,抽象其数量特征 ,建立函数关系 .下列举例说明函数思想在解题中的重要性和广泛的应用性 .例 1　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ2 ≤ 1 ,ｂ2 ≤ 1 ,ｃ2 ≤ 1 .求证 :ａｂ ｂｃ ｃａ 1≥ 0证明 :构造一次函数ｆ(ｘ) =(ａ ｃ)ｘ ｃａ 1若ａ ｃ=0 ,由于-1 ≤ａｃ≤ 1 ,有ａｃ 1≥ 0 .即ｆ(ｘ) ≥ 0若ａ ｃ≠ 0 ,ｆ(1 ) =ａ ｃ ｃａ 1=(1 ａ) (1 ｃ) ≥ 0 .ｆ(-1 ) =-(ａ ｃ) ｃａ 1 =(1 -ａ)…     

分式求值的代入技巧

代入法是数学中一种非常重要的解题方法 ,解题时 ,若能根据题设条件和求值式的特点 ,灵活运用代入法 ,则可巧妙地求出问题的解 .一、整体代入例 1　若ｘ - 1ｘ=1,则ｘ3 - 1ｘ3 的值为 (　　 ) .(Ａ) 3　 (Ｂ) 4　 (Ｃ) 5　 (Ｄ) 6(2 0 0 0年湖北省初中数学竞赛试题 )　解　∵　ｘ- 1ｘ =1,∴　ｘ3 - 1ｘ3 =ｘ - 1ｘ ｘ2 +ｘ·1ｘ+1ｘ2=ｘ - 1ｘ ｘ - 1ｘ2 +3=1× (12 +3) =4.故选 (Ｂ) .例 2　已知 1ａ - 1ｂ =2 ,则2ａ -ａｂ - 2ｂａ - 3ａｂ -ｂ 的值为. (江苏省第十五届数学竞赛初二试题 )　解　由 1ａ - 1ｂ =2 ,得 1ｂ - 1ａ =- 2 .视…