一道三角函数题的错解分析

题：求函数ｙ＝ｃｏｓ（π６－２ｘ）的单调递增区间有两位同学作出了以下两种解法：学生甲：因ｙ＝ｃｏｓｘ的单调递增区间为［２ｋπ－π,２ｋπ］,（ｋ∈ｚ）,所以２ｋπ－π≤π６－２ｘ≤２ｋπ,－ｋπ＋π１２≤ｘ≤－ｋπ＋７π１２,（ｋ∈ｚ）．故所求递增...     

对比值sinnx/sinx下界的改进

定理　设ｎ∈Ｎ,ｎ＞２,０＜ｎｘ＜π２,则ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ＞ｎ＋３ｎ．（１）证明：ｎ＝３时,应用ｓｉｎ３ｘ＝３ｓｉｎｘ－４ｓｉｎ３ｘ,０＜ｘ＜π６,从而０＜ｓｉｎ２ｘ＜１４,即知（１）成立．设ｎ＝ｋ时,（１）成立,ｓｉｎ（ｋ＋１）ｘｓｉｎｘ＞ｋ＋１＋３ｋ＋１ｓｉｎ２（ｋ＋１）ｘ＞（ｋ＋１＋３ｋ＋１）ｓｉｎ２ｘｓｉｎ２（ｋ＋１）－ｓｉｎ２ｘ＞（ｋ＋３ｋ＋１）ｓｉｎ２ｘ１－ｃｏｓ（２ｋ＋２）ｘ－１＋ｃｏｓ２ｘ２＞（ｋ＋３ｋ＋１）ｓｉｎ２ｘｓｉｎ（ｋ＋２）ｘ·ｓｉｎｋｘ＞（ｋ＋３ｋ＋１）ｓｉ…     

从一道高考题的背景看椭圆的离心角和旋转角

今年全国高考数学理科（第２０）题是：设复数ｚ＝３ｃｏｓθ＋ｉ·２ｓｉｎθ．求函数ｙ＝θ－ａｒｇｚ（０＜θ＜π２）的最大值以及对应的θ值．一、试题的背景揭示若令ｚ＝ｘ＋ｙｉ（ｘ,ｙ∈Ｒ）,则有ｘ＝３ｃｏｓθ,ｙ＝２ｓｉｎθ．｛（０＜θ＜π２）显然,复数...     

函数值域问题错误例析

求函数的值域是一个较为复杂的问题,在解决这类问题时往往由于审题不慎,盲目从事,或忽视一些隐含条件等原因,造成解答错误,现举例分析如下．例１求函数ｙ＝｜ｓｉｎｘ｜＋ｓｉｎ｜ｘ｜的值域错解：∵０≤｜ｓｉｎｘ｜≤１,－１≤ｓｉｎ｜ｘ｜≤１,∴－１≤｜ｓ...     

用三角代换t=sinx+cosx解题

一、求函数的最值例１设－π≤x≤π，求y＝１＋sinx＋cosx＋sinxcosx的最值．解设t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t２－１２，y＝１＋t＋t２－１２＝（t＋１）２２（－２√≤t≤２√）．当t＝－１，即x＝π或x＝－π时，ymin＝０；当t＝２√，即x＝π４时，ymax＝３２＋２√．二、求函数的值域例２求y＝sin２x２（１＋sinx＋cosx）的值域．解设t＝sinx＋cosx，则sin２x＝２sinxcosx＝t２－１，y＝t２－１２（１＋t）＝t－１２（－２√≤t≤２√且t≠－１），故所求函数的值域为犤－２√＋１２，－１）∪（－１，２√－１２犦．三、求sinx＋cos…     

“sinnA+sinnB+sinnC”的最小值

ｓｉｎｎＡ＋ｓｉｎｎＢ＋ｓｉｎｎＣ的下界就一般△ＡＢＣ来说是０,而本文主要就非钝角三角形情况,来探讨幻ｓｉｎｎＡ＋ｓｉｎｎＢ＋ｓｉｎｎＣ的最小值问题． 当ｎ＝１或２的时候,易证所求的下界为２,本文着重于ｎ≥３的情况． 设ｙ＝ｓｉｎｎｘ,则ｙ’＝ｎｓｉｎｎ－１ｘｃｏｓｘ,再求导得： ｙ”＝ ｎ（ｎ－１）ｓｉｎｎ－２　ｘｃｏｓｘ－ｎｓｉｎｎｘ ＝ｎｓｉｎｎ－２ｘ［（ｎ－１）ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ］． 当 ｔｇｘ≤ 　　　　　ｙ”≥０,此时ｙ＝ｓｉｎｎｘ是凸函数,应用有关凸函数性质可知：（１）当ａｒｃｔｇ　　…     

成果集锦

倒数方程的一种解法命题１ｘ＝ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ是方程ｘ＋１ｘ＝２ｃｏｓθ的解．代入计算即知,且由棣莫佛定理知命题２若ｘ＋１ｘ＝２ｃｏｓθ,则ｘｎ＋１ｘｎ＝２ｃｏｓｎθ（ｎ∈Ｚ）．由此即知形如ａ０（ｘｍ＋１ｘｍ）＋ａ１（ｘｍ－１＋１ｘｍ－１）＋…＋ａ...     

单位根在计算三角函数连乘积中的应用

首先给出单位根的一个重要性质：性质１设ｎ∈Ｎ且ｎ＞１,εｋ＝ｃｏｓ２ｋπｎ＋ｉｓｉｎ２ｋπｎ（ｋ＝,０,１,２…,ｎ－１）是ｎ次单位根,则有εｋ＝εｎ－ｋ．（１）证事实上,有εｋ＝ｃｏｓ２ｋπｎ－ｉｓｉｎ２ｋπｎ＝ｃｏｓ２（ｎ－ｋ）πｎ＋ｉｓｉｎ２（...     

运用构造策略解题举隅

运用构造策略解题举隅靖远县二中王云寿一、构造函数例１．已知：ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｓｉｎ２γ＝１，求证：解：由ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｓｉｎ２γ＝１得ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２β＋ｃｏｓ２γ＝２。由此构造函数解：∵ｘ∈Ｒ，故可构造函数二、构造对偶式或复数...     

关于三角函数定义域的表示之我见

关于三角函数定义域的表示之我见渭源县一中陈具才先抄录几则有关三角函数定义域的问题及其答案：１．［１］函数的定义域是（Ｄ）。２．［２］函数的定义域是２ｋｎ≤ｘ≤（２ｋ＋１）π，（ｋ∈Ｚ）。３．［３］求函数ｙ＝ｌｏｇｓｉｎｘ（２ｘ－１）的定义域。［答案：...     

用“判别式法”求函数y=mx±sqr(ax~2+bx+c)的值域

用“判别式法”求函数ｙ＝ｍｘ±ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的值域□武山水泥厂中学杨允利形如ｙ＝ｍｘ±ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的无理函数，若采用平方取掉根号，再利用判别式△０求ｙ的范围，就会把值域的范围扩大，从而导致错误的结论．例如：求函数ｙ＝ｘ＋４－ｘ２的值域，易得到...     

三角形内三角函数值的求法

在解决三角形中有关三角函数的求值问题时,要注意角的范围与三角函数值的联系与影响,通过对内在条件的挖掘,使隐含的条件显露出来。现就一常见类型问题的求解讨论如下：在△ＡＢＣ中,已知ｓｉｎＡ＝ｐ,ｃｏｓＢ＝ｑ,求ｃｏｓＣ。显然０＜ｐ≤１,－１＜ｑ＜１。　　（一）当ｐ＝１时,知Ｂ＋Ｃ＝π２,∴ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＢ＝１－ｑ２;　　（二）当ｑ＝０时,知Ａ＋Ｃ＝π２,∴ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＝ｐ;　　（三）当－１＜ｑ＜０时,知０＜Ａ＜π２,π２＜Ｂ＜π,∴ｃｏｓＡ＝１－ｐ２,ｓｉｎＢ＝１－ｑ２,∴ｃｏｓＣ＝－ｑ１－…     

一个应用广泛的不等式

设ｘ、ｙ、ｚ是任意实数,Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,则ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≥２ｘｙｃｏｓＣ＋２ｙｚｃｏｓＡ＋２ｚｘｃｏｓＢ．（＊）证　注意到Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,将不等式（＊）移项、配方、整理,该不等式等价于（ｘ－ｙｃｏｓＣ－ｚｃｏｓＢ）２＋（ｙｓｉｎＣ－ｚｓｉｎＢ）２≥０．上面不等式显然成立,故不等式（＊）成立．不等式（＊）揭示了任意三个实数ｘ、ｙ、ｚ与满足条件Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π的三个角Ａ、Ｂ、Ｃ的余弦值之间的一个重要关系．在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明．例１　在△ＡＢＣ…     

错在哪里

题 已知函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，１），求函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ａ）ｆ（ｘ—ａ）（ａ≤０）的定义域。 解　ｆ（ｘ）的定义域为（０，１）， （１）当ａ＝０时，ｘ∈（０，１）； （２）当ａ＜－１／２时，－ａ≥１＋ａ，ｘ∈φ； （３）当－１／２≤ａ＜０时．－ａ≤１     

求函数值域的九种方法

一、观察法根据完全平方数、算术根和绝对值都是非负数的特点以及函数的图象、性质，凭观察能直接得到一些简单的复合函数的值域．例１求函数y＝x＋１√－x－１√的值域．解析将y＝x＋１√－x－１√变形得y＝２x＋１√＋x－１√．易知此函数在区间犤１，＋∞）上是减函数．当x＝１时，ymax＝２√．又∵x＋１√＞x－１√，∴y＞０．∴函数的值域为（０，２√犦．二、配方法例２求函数y＝－x２－６x－５√的值域．解析∵－x２－６x－５≥０，∴－５≤x≤－１．∴当－５≤x≤－１时，－x２－６x－５＝－（x＋３）２＋４≤４，其中当x＝－３时取…     

函数值域的求法

一、观察分析法通过对函数的解析式或对应法则的观察分析求值域．例１求函数ｙ＝３ｘ＋１（ｘ∈Ｒ）的值域解：∵ｘ∈Ｒ,由幂函数的性质知３ｘ∈Ｒ,∴函数ｙ＝３ｘ＋１的值域为Ｒ．二、求反函数的定义域如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在其定义域上存在反函数ｘ＝ｆ－１（ｙ）...     

函数最值求法举隅

本文以“求函数ｙ＝４－ｃｏｓｘ２ｃｏｓｘ＋３的最值”为例,谈谈这种类型函数最值的几种求法：１利用弦的有界性此法是将原函数式变形,用ｙ表示某个角的弦,再利用弦的有界性,求出原函数的最值。解：由ｙ＝４－ｃｏｓｘ２ｃｏｓｘ＋３得ｃｏｓｘ＝４－３ｙ２ｙ＋１,∵｜ｃｏｓｘ｜≤１,∴４－３ｙ２ｙ＋１≤１。解得３５≤ｙ≤５,故ｙｍｉｎ＝３５,ｙｍａｘ＝５２万能置换法利用万能公式,将原函数式的分子、分母化为正切的二次式,再借助判别式,即可求得原函数的最值。解：令ｔｇｘ２＝ｔ,则ｙ＝５ｔ２＋３ｔ２＋５,即（ｙ…     

对比值sinnx/sinx估计的改进与推广

据文［１］的证明及熟知结果,有ｎ＜ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ＜ｎ（ｎ∈Ｎ,ｎ＞１,０＜ｎｘ＜π２）．我们作了改进与推广,得到定理１　若０＜α＜β＜π２,则２π·βα＜ｓｉｎβｓｉｎα＜βα．定理２　若ｎ∈Ｎ,ｎ＞１,０＜ｎｘ＜π２,则２ｎπ＜ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ＜ｎ．定理１的证明：应用微分法易证ｓｉｎαα＞ｓｉｎββ,故右边的不等式成立．令ｆ（ｘ）＝２πｘ,ｇ（ｘ）＝ｓｉｎｘ,则当０＜ｘ＜π２时,易知ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）,于是２π·β＜ｓｉｎβ,从而ｓｉｎβｓｉｎβ＞２π·βα·αｓｉｎα＞２π·βα．　　…     

求值域问题的“五注意”

求值域问题是高中数学的重点和难点．同学们解答这类问题时常因考虑不周、方法不当而导致错误．为使同学们走出“求值域”的误区，特归纳五条注意事项如下： 一、注意等号取得的条件是否满足 按照某种方法求得“值域”后，应养成检验端点值（即判定等号取舍）的良好习惯．因为它可能是解法正误的“晴雨表”． 例１求函数ｙ＝ｘ－２＋２ｘ＋１的值域 错解：ｘ－２０，ｘ＋１０， ｘ－２＋２ｘ＋ １ ０即原函数值域为 ｙ ［０， ∞） 辨析：由上述解法可知ｙ＝０时，须满足显然没有与之对应的ｘ． 故扩大了ｙ的范围致误． 正解：原函数可化为…     

1999年全国普通高等学校招生统一考试

上海数学试题一、填空题（本大题满分４８分）本大题共有１２题,只要求直接填写结果,每个空格填对得４分,否则一律得零分．１．ｔｇ［ａｒｃｏｓ２２－π６］＝．２．函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ｘ＋１（ｘ≥４）的反函数ｆ－１（ｘ）的定义域是．３．在（ｘ３＋２ｘ２）...