完全平方公式的恒等变形运用

初二《代数》教科书给出了完全平方公式 ,即 (ａ +ｂ) 2 =ａ2 + 2ａｂ +ｂ2 ,(ａ -ｂ) 2 =ａ2 - 2ａｂ +ｂ2 ,当然我们要很好掌握并且会运用这两个公式 ,但如果我们还能掌握到它的恒等变形 ,恒等变形如下 :(ａ+ｂ) 2 =ａ2 + 2ａｂ +ｂ2 →ａ2 +ｂ2 =(ａ+ｂ) 2 - 2ａｂａｂ =12 [(ａ+ｂ) 2 - (ａ2 +ｂ2 ) ](ａ-ｂ) 2 =ａ2 - 2ａｂ +ｂ2 → ａｂ =12 [(ａ+ｂ) 2 - (ａ2 -ｂ2 ) ]ａ2 +ｂ2 =(ａ-ｂ) 2 + 2ａｂａｂ =12 [(ａ+ｂ) 2 - (ａ2 +ｂ2 ) ]ａｂ =12 [(ａ+ｂ) 2 - (ａ2 -ｂ2 ) ]　→ａｂ 14[(ａ+ｂ) 2 - (ａ-ｂ) 2 ]则能得到一些快速的解…     

两个重组公式的妙用

完全平方公式 (ａ±ｂ) 2 =ａ2 ± 2ａｂ +ｂ2 中含有两个等式 ,若用“加减法”对它们重新组合 ,则容易得出以下两个重组公式 :ａ2 +ｂ2 =12 (ａ +ｂ) 2 +12 (ａ -ｂ) 2 ,①ａｂ =14 (ａ +ｂ) 2 - 14 (ａ -ｂ) 2 .②如能灵活运用上述重组公式 ,则可较为简捷地解决一类竞赛题 .1　解含有Ａ2 +Ｂ2 和Ａ +Ｂ的竞赛题例 1　 (天津市“中华少年杯”初中数学竞赛题 )已知 :△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足 (1)ａ >ｂ >ｃ ,(2 ) 2ｂ=ａ +ｃ ,(3)ｂ是正整数 ,(4)ａ2 +ｂ2 +ｃ2 =84 .求ｂ的值 .解　对 (4)运用重组公式① ,得12 (ａ+ｃ) 2 +12 (ａ-ｃ) 2…     

巧用韦达定理逆定理 妙解一类竞赛试题

韦达定理和其逆定理是初中数学中一个充满活力的定理 ,不但在历年的中考试题中是一个命题的热点 ,而且其逆定理在初中数学竞赛中应用也较多 ,现举例如下 .例 1　已知实数ａ、ｂ满足ａ2 +ａｂ+ｂ2= 1,且ｔ =ａｂ-ａ2 -ｂ2 ,那么ｔ的取值范围是 (2 0 0 1年ＴＩ杯全国初中数学竞赛试题 ) .解　由ａ2 +ａｂ+ｂ2 =1,ｔ=ａｂ -ａ2-ｂ2 得 ,ａ2 +ｂ2 =1-ｔ2 ,ａ2 ｂ2 =1+ｔ22 ,则以ａ2 、ｂ2 为根的一元二次方程为 :ｘ2 -1-ｔ2 ｘ+ 1+ｔ22 =0 ( ) ,因为ａ、ｂ为实数 ,所以方程 ( )有实数根 ,即Δ =1-ｔ22 -4 1+ｔ22 ≥ 0 ,得 -3 ≤ｔ≤-13 .例 2　…     

活用一结论速解一类竞赛题

结论　若ａ+ｂ +ｃ=0 ,则ｂ2 ≥ 4ａｃ.证明　∵ａ +ｂ+ｃ =0 ,即ｂ=- (ａ+ｃ) ,∴ｂ2- 4ａｃ=[- (ａ+ｃ) ]2 - 4ａｃ=(ａ -ｃ) 2 ≥ 0 ,故ｂ2 ≥4ａｃ.活用这一结论可以方便、准确地求解已知等式求取值范围或不等关系类型的问题 .下面举例说明 .例 1　 (1991年“曙光杯”初中数学竞赛题 )已知三个实数ａ ,ｂ,ｃ满足 ａ +ｂ+ｃ =0 ,ａｂｃ =1,求证 :ａ、ｂ、ｃ中至少有一个大于 32 .证明　由题设条件可知ａ ,ｂ,ｃ中有一个正数 ,两个负数 ,不妨设ｃ>0 .∵ａ+ｂ +ｃ=0 ,∴ｃ2 ≥ 4ａｂ.而ａｂｃ=1,则有ｃ3 ≥ 4ａｂｃ =4 ,∴ｃ≥ 34>32 78=32…     

解题杂谈

一、分与合例 1　设ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 1ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 -ｂ2 ｃ21ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 ｃ2 ｄ2 1ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 -ｄ2 ａ2 1ａ2 ｂ2 1ｂ2 ｃ2 1ｃ2 ｄ2 =0 .①求证 :ａｂ ｂｃ ｃｄ ｄａ与ａｂ ｃｄ -ｄａ -ｂｃ中至少有一个为零 .讲解　这是文 [1 ]谈数学和谐美的第一个例子 .整个分析处理过程如下 :已知条件是分式 ,而结论是整式 ,不和谐 ,且条件复杂 ,结论简单 .所以 ,可以运用顺推策略探索解题途径 ,并将分式化为整式 ,使条件与结论和谐化 ,另外 ,还需将结论等价地变为(ａｂ ｂｃ ｃｄ ｄａ) (ａｂ ｃｄ…     

重组公式的妙用

完全平方公式 (ａ±ｂ) 2 =ａ2 ± 2ａｂ ｂ2 中含有两个等式 ,若用“加减法”对它们重新组合 ,则容易得出以下两个重组公式 :ａ2 ｂ2 =12 (ａ ｂ) 2 12 (ａ -ｂ) 2 ①ａｂ=14(ａ ｂ) 2 -14(ａ -ｂ) 2 ②如能灵活运用上述重组公式 ,则可较为简捷地解决一类竞赛题。1　含有     

数学解题的方法与策略

在数学教学中 ,通过富有启发性的问题进行教学 ,或是通过解决各种类型的问题进行教学 ,对培养和提高学生的能力与素质是大有裨益的 .而及时总结解题经验 ,掌握一些常用的解题方法 ,对学生可起到启迪与引导的作用 .下面举例说明数学解题的常用方法与策略 ,与同行交流 .1　基本量方法例 1　若正数ａ、ｂ满足ａｂ =ａ ｂ 3,求ａｂ的取值范围 .( 1999年高考题 )分析　视ａｂ为基本量 ,寻求ａｂ所满足的数量关系 .由ａ ｂ≥ 2ａｂ ,得　ａｂ≥ 3 2ａｂ ,即(ａｂ) 2 - 2ａｂ - 2≥ 0 ,解得ａｂ≥ 3,故ａｂ≥ 9.2　类比法例 2　已知关于ｘ的实…     

分式求值的代入技巧

代入法是数学中一种非常重要的解题方法 ,解题时 ,若能根据题设条件和求值式的特点 ,灵活运用代入法 ,则可巧妙地求出问题的解 .一、整体代入例 1　若ｘ - 1ｘ=1,则ｘ3 - 1ｘ3 的值为 (　　 ) .(Ａ) 3　 (Ｂ) 4　 (Ｃ) 5　 (Ｄ) 6(2 0 0 0年湖北省初中数学竞赛试题 )　解　∵　ｘ- 1ｘ =1,∴　ｘ3 - 1ｘ3 =ｘ - 1ｘ ｘ2 +ｘ·1ｘ+1ｘ2=ｘ - 1ｘ ｘ - 1ｘ2 +3=1× (12 +3) =4.故选 (Ｂ) .例 2　已知 1ａ - 1ｂ =2 ,则2ａ -ａｂ - 2ｂａ - 3ａｂ -ｂ 的值为. (江苏省第十五届数学竞赛初二试题 )　解　由 1ａ - 1ｂ =2 ,得 1ｂ - 1ａ =- 2 .视…     

判别式与韦达定理

一元二次方程是初中代数的一个极为重要的内容 ,尤其是判别式和韦达定理的应用更是广泛 ,成为初中数学竞赛的热点 .一、基础知识1 .判别式 .设一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0 ( )的判别式为Δ =ｂ2 -4ａｃ ,ｘ1、ｘ2 是方程的两个根 ,则Δ >0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ±Δ2ａ ;Δ =0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ2ａ;Δ <0 方程 ( )无实根 .2 .违达定理 .设ｘ1、ｘ2 是方程 ( )的两个根 ,则ｘ1 ｘ2 =-ｂａ ,ｘ1ｘ2 =ｃａ .特别地 ,当Δ≥ 0时 ,有ａｃ>0 两根同号 ,且 ａｂ>0 ,两根为负 ;ａｂ<0 ,两根为负 .ａｃ<0 …     

例谈公式（数）运算的技巧

在近几年的各类数学竞赛中 ,常出现有关分式(数 )运算的问题 .本文结合近几年来各省、市的竞赛题 ,谈谈此类问题的解法技巧 ,供参考 .1　巧用分式的基本性质例 1　 (1998年希望杯初二数学竞赛试题 )已知ａ≠ 0 ,ｂ≠ 0 ,且 1ａ + 1ｂ =4 ,则求 4ａ + 3ａｂ+ 4ｂ- 3ａ + 2ａｂ- 3ｂ的值 .分析　注意到式中分子或分母的ａ、ｂ项系数相同 ,故分子、分母同除以ａｂ ,即可利用条件式直接求解 .解　注意到ａｂ≠ 0 ,ａ +ｂａｂ =4 ,则原式 =4·ａ+ｂａｂ + 3- 3ａ+ｂａｂ + 2=- 1910 .2　巧用字母代替数例 2　 (1999年北京市初中数学竞赛题 )计算…     

例谈初中数学竞赛题的常用解题策略

数学竞赛题难度大 ,要解答竞赛题 ,学生不但要掌握数学基础知识、基本技能和基本思想方法 ,而且还需掌握一些常用的解题策略 ,这对提高学生解数学题的能力、培养学生良好的数学素养是大有裨益的 .1　特殊值法———用满足题设条件的特殊值代入来求得正确的答案例 1　若ａ ｂ ｃ=0 ,则ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3的值是 (　　 )(Ａ) - 1　　 (Ｂ) 0　　 (Ｃ) 1　　 (Ｄ) 2(第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二二试试题 )分析　设ａ =0 ,ｂ=0 ,ｃ =0代入ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3=0 ,故选 (Ｂ) .例 2　若 14 (ｂ-ｃ) 2 =(ａ-ｂ) (ｃ-…     

素质教育与中学数学教学的联系：我对中学数学教学的一些感受

我自 1 95 6年毕业后 ,基本上一直在大学教书 ,也教过中学 ,为工农兵大学生补习过中学数学 .从大学生身上反映出来的问题 ,我深深感到中学数学教学中存在着一些具有一定普遍性的问题 ,而这些问题的确是与素质教育的精神相违背的 .我感触较深的有以下两点 :1 .同一个内容 ,应鼓励学生有多种表达的方式 ;反过来说 ,一些不同的公式 ,实质上是同一个内容 .这两个方面的反复比较 ,就能训练学生分析、抽象的能力 ,而不是死记硬背 .这一类典型的例子如(ａ ｂ) 2 =ａ2 2ａｂ ｂ2 ,(ａ -ｂ) 2 =ａ2 -2ａｂ ｂ2 .这两个公式实际上是一个内容 ,为什…     

巧用P＋3Q≥R证明三角形不等式

数学素质教育的核心问题是培养学生的数学创新能力 .笔者注意在不等式证明的教学和兴趣小组辅导中引进创新方法 :Ｐ -Ｑ -Ｒ法 ,巧用定理 :Ｐ 3Ｑ≥Ｒ证明一类三角形不等式 ,收到了较好的效果 ,现介绍给读者 .定理　△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ ,并记Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3 ,　　　Ｑ =ａｂｃ,Ｒ =ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 ,则　　　　　Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ .　　证明　考虑到三角形两边之和大于第三边 ,有(ａ -ｂ) 2 (ａ ｂ -ｃ)=ａ3 ｂ3 -ａ2 ｂ -ａｂ2 -ｂ2 ｃ-ｃａ2 2ａｂｃ≥ 0 ,(ｂ-ｃ) 2 (ｂ ｃ -ａ)=ｂ3 ｃ3 -ｂ2…     

因式分解

因式分解是实施代数恒等变形的基础 ,也是进一步解答方程、不等式和数的整除等问题的主要工具 ,无论是在中考 ,还是在竞争中都有着广泛的应用 .因式分解方法灵活多变 ,技巧性强 ,其中 ,分组分解法中拆项或添项较为困难 .一、基础知识1 因式分解的常规方法是 :提取公因式法、采用公式分解法、分组分解法、十字相乘法、求根分解法 .2 因式分解时常用的公式有 :ａ2 -ｂ2 =(ａ ｂ)·(ａ -ｂ)、ａ2 ± 2ａｂ ｂ2 =(ａ±ｂ) 2 、ａ3 ±ｂ3 =(ａ±ｂ)·(ａ2 ａｂ ｂ2 )、ａ2 ｂ2 ｃ2 2ａｂ 2ｂｃ 2ｃａ =(ａ ｂ ｃ) 2 、ａ3 ｂ3 …     

巧教立方和与立方差公式

（ａ ｂ）（ａ２-ａｂ ｂ２）＝ａ３ ｂ３,（ａ -ｂ）（ａ２ ａｂ ｂ２）＝ａ３-ｂ３,学生对这两个公式 ,感到困难的地方有两处 :一是符号 ,即学生常把立方和公式写成（ａ ｂ）（ａ２ ａｂ ｂ２）＝ａ３ ｂ３,把立方差公式写成（ａ -ｂ）（ａ２-ａｂ ｂ２）＝ａ３ -ｂ３;二是公式中的±ａｂ容易与完全平方公式中的±２ａｂ相混淆。为了使学生突破这两个难点 ,教师可采取下面的办法教学 ,定能收到较好的效果。第一 ,加强公式的推导过程教学。教这两个公式时 ,可以先要求学生计算（ａ ｂ）（ａ２ -ａｂ ｂ２）及（ａ-ｂ）（ａ２ …     

巧用递推法求值

所谓“递推法” ,就是根据题目特点 ,构造递推关系式解题的一种方法 ,运用这种方法解题 ,往往能化繁为简 ,变难为易 ,得到简捷合理的解题途经 .1　利用已知的递推关系式求值例 1　设ａ、ｂ、ｃ为非零常数 ,ｘ2 =ａｘ1 ｂ ,ｘ3=ａｘ2 ｂ ,… ,ｘ1 0 =ａｘ9 ｂ ,若ｘ1 0 =0 ,则ｘ1 =.(第三届“缙云杯”竞赛题 )解　∵　ｘ3 =ａ(ａｘ1 ｂ) ｂ =ａ2 ｘ1 ａｂ ｂ ,ｘ4=ａ(ａ2 ｘ1 ａｂ ｂ) ｂ =ａ3 ｘ1 ａ2 ｂ ａｂ ｂ ,… ,ｘ1 0 =ａ9ｘ1 ａ8ｂ ａ7ｂ … ａｂ ｂ =0 ,∴　ｘ1 =- ｂａ9( 1 ａ ａ2 … ａ8) .2　利用幂指数构造…     

一个恒等式的开发与应用

恒等式ａ3 ｂ3 ｃ3- 3ａｂｃ=12 (ａ ｂ ｃ) [(ａ-ｂ) 2 (ｂ-ｃ) 2 (ｃ-ａ) 2 ]( )已为人们所熟识 ,高中《代数》下册 (心修 )第 9页上给出了这一恒等式 ,并以此导出了一个重要不等式　ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ　 (ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ) .本文对恒等式 ( )作深入研究 ,并给出以下结论及应用 .1　三个命题命题 1　若ａ、ｂ、ｃ是不全相等的实数 ,则ａ ｂ ｃ =0 ａ3 ｂ3 ｃ3=3ａｂｃ.　　命题 2　若ａ、ｂ、ｃ是不全相等的实数 ,则ａ ｂ ｃ >0 ａ3 ｂ3 ｃ3>3ａｂｃ,或ａ ｂ ｃ<0 ａ3 ｂ3 ｃ3<3ａｂｃ .　　命题 3　若ａ ｂ ｃ=0且ａ3 ｂ3…     

初中数学中求变式取值范围的几种常用方法

求变式的取值范围 (或最值 )是初中数学竞赛的热点问题 .由于其涉及的知识面广 ,技巧性强 ,思路灵活多变 ,学生普遍感到难以掌握 .本文试图通过实例 ,归纳总结出这类问题的一些常见规律 ,以期对学生能有所帮助 .1　局部配方法通过对变式的局部进行配方 ,再利用 (ｘ±ｙ) 2 ≥0来求变式的取值范围 (或最值 ) .例 1　 (1998年全国初中联赛试题 )设ａ、ｂ为实数 ,那么ａ2 +ａｂ +ｂ2 -ａ - 2ｂ的最小值是解　ａ2 +ａｂ+ｂ2 -ａ- 2ｂ=ａ2 +(ｂ- 1)ａ -ｂ2 - 2ｂ=(ａ- ｂ - 12 ) 2 +34(ｂ - 1) 2 - 1.∵ (ａ - ｂ - 12 ) 2 ≥ 0 ,(ｂ- 1) 2 ≥ 0 …     

一类条件不等式的证明体系

成功的解题 ,常常体现在 :善于发现规律 ,巧于利用规律 .这是一类常见的条件不等式证明问题 :题设条件是ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ=1.本文试图揭示其证题规律 ,并巧用其规律 .定理　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,则ａ2 ｂ2 ｃ2 ≥ 13≥ａｂ ｂｃ ｃａ ;①1ａ 1ｂ 1ｃ ≥ 9;②1ａ2 1ｂ2 1ｃ2 ≥ 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ ≥ 2 7;③ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 1;④ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 9;⑤ａｂｃ≤ 12 7,或 1ａｂｃ≥ 2 7;⑥ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7;⑦ａ ｂ ｃ≤ 3;⑧ａｂ ｂｃ ｃａ≤ 1. ⑨　　 (当且仅当ａ=…     

构造一元二次方程解题

构造一元二次方程解题是一种重要的解题方法 .根据题设的特点 ,通过联想作出一个一元二次方程 ,使问题化难为易 ,顺利解决 .由于题设的不同 ,构造方程的方法也不同 .下面举例说明 .1　利用根的定义构造方程当已知两个等式 (或经变形后 )具有如下特点 :ｍ2 +ａｍ+ｂ=0 ,ｎ2 +ａｎ+ｂ=0且ｍ≠ｎ ,由根的定义 ,ｍ ,ｎ是方程ｘ2 +ａｘ+ｂ=0的两个根 .例 1　已知ａ ,ｂ是不相等的实数 ,且ａ2= 6ａ -3 ,ｂ2 =6ｂ -3 ,求ａ+ａｂ+ｂ的值 .解　由ａ2 =6ａ -3 ,ｂ2 =6ｂ -3得ａ2-6ａ + 3 =0 ,ｂ2 -6ｂ + 3 =0 .因为ａ ,ｂ是不相等的实数 ,所以ａ ,ｂ是…