不等式(a b)(1/a 1/b)≥4的应用

在解析几何的一些极值问题或者不等式问题中,恰当地运用不等式(a b)(1/a 1/b)≥4(ab>0,可以使解题更简洁. [例1] 求圆x~2 y~2=r~2(r>0)的切线方程,使此切线夹在两坐标轴正半轴间的线段长最短,并求出这个线段长.     

不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广

目前已有人把(a+1/a)(b+1/b)≥25/4(a>0,b>0,a+b=1)推广为:设x_i>0(i=1,2,…,n)且x_1+x_2+…+x_n=k,则(x_1+1/x_1)(x_2+1/x_2)…(x_n+1/x_n)≥(n/k+k/n)~n当且仅当x_1=x_2=…=x_n=k/n时取等号。本文对该不等式进一步作了推广,得出两个新的结果。欲知情况如何,请看该文。     

关于《不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广》一文的补正及说明

本刊1987年第5期刊出该文后,相继收到作者许泽民,读者刘家琦、李世杰、宁默、杨学枝等的来信,指出文中定理1和定理2都应加上条件“k≤n”,且定理2中还应加“β_i≠0”。作者许泽民还对文章作了补正,其他同志有的对上述不等式作了进一步推广,得出了新的结果,本刊下期将予以摘登。     

不等式log_a(a 1)>log_b(b 1)(b>a>1)的证明推广及应用

在有关书刊中.对109。(,, 1)>109(, ,》(;: 2)(neN)的证明作了深入的研究,实际上它是!。g。(a 1)>109办幼 1)(l,>a>l)的特殊情况,更一般地是函数‘f(二)一109,(二 1)在(1, 二)上的单调性问题.下而就此题的证明、推广及应用谈谈笔者的看法.供读者参考. 原题:已知b>a>1,求证: 109口(a 1)>109、(b 1) 证:因为。>。>1,所以土>牛>。,所以土 1 ~‘曰/J一‘一“了丫‘~a‘b‘一’尸’,,a>会十1,.19(x: 1)(lgx:一lgx,) lgx,lgxZ 因为lgx:(o,lgx:(o,19(x: l))o,lgx:一lgxl>0, 所以109!,(xZ 1)一109!2(‘2 l)>0· 所以10gJ、(‘: l)>109!2(x: 1), 所…     

关于《不等式(a+1/a)(b+1/b)≥(25)/4的再推广》一文来信综述

本刊1987年第5期发表了许泽民同志的文章《不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广》,此后接到一些读者来信,指出了许文中两个定理中的错误,并对许文的定理进行了进一步推广,许泽民同志本人也来信作了更正.本刊对读者的关心表示感谢.此     

不等式1／a＋1／b＋1／c≥9的妙用

这是一道常见的题目:已知a、b、c∈R~ ,且a b c=1,求证:1/a 1/b 1/b≥9(*).灵活利用不等式(*)及其证法,我们可以巧妙地解答与之相关的数学命题.证明1:因为a、b、c∈R~ ,a b c=1.所以1/a 1/b 1/c=(a b c)/a (a b c)/b (a b c)/c=3 (b/a a/b)     

(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)给出的信息

命题1设。、b、c都为非零数,则1 11几一十一=二,下飞一宁-DC“十U十C互为相反数,不妨设a二一方,则l︷少 十l护 +1一尸 一 一一l尸 +l+11a百+b3 1一少·︸3一一,分 r丫的充要条件是a、b、。中至少有两个互为相反数. 证三‘’充分性显然,卞亩证必要性,,若口3十十乃落二j)几于下奋’ 1=云丁, 1一万,1,1,1._—宁一犷~甲一=口口C.浮.a+b+c皓十去、劲“二(一价朵于是,所证等式成立.更一般有: 1一a+b+e1一c 十]一b由题设知“,乙,。子。,得 (a+b.+e)(bc+ac+ab)=abc,去括号整理得a Zb+ab’+aZe+acZ+bZc+beZ+Zabe=0,因式分解得 (a+b)(b+e)(e+a)=0…     

剖析不等式f(x)(g(x))(1/2)≥0的解法

在多年的教学中,我发现学生在求解形如f(x)g(x)≥0的不等式中往往会因为一些原因不清楚而得到错误的结论,究其原因不外乎对式子中的等号理解不透,如何处理这类题呢?下面就以一个例子作为说明.题目:解不等式(x-2)x2-4x 3≥0.误解一:原不等式等价于x-2≥0x2-4x 3≥0,化简得:x≥3,     

应用“(a±b)/c=a/c±b/c”解题

众所周知,同分母的分式加减法法则用式子可表示为(a/c)±(b/c)=(a±b)/c.当我们变换角度审视这个式子时,不难发现(a±b)/c=(a/c)±(b/c).它看似简单,却能在有关的解题中起到事半功倍之效.     

一个不等式的推广与引申

文[1]中给出了下面的不等式:设a≥b≥c>0,则ba cb ac≥13(a b c)(a1 1b 1c).(1)本文先将不等式推广为:命题1设a≥b≥c>0,x≥y>0,则ba cb ac≥yx y(a b c)(1a 1b 1c) 3(xx- y2y).(2)证明a2b b2c c2a-(ab2 bc2 ca2)=(b-c)a2 (c2-b2)a (b2c-bc2)=(b-c)[a2-(b c)a bc]=(b-c)(a-b)(a     

不等式a+b/2≥(ab)~(1/2)(a,b∈R~+)的几何意义

中学数学教学大纲指出:“数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。”数与形是数学研究的两个重要侧面,它们之间相互渗透、相互转化。六年制重点中学高中数学课本代数第二册P87推论“如果a,b∈R~+,那么(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号)。”此不等式有很多几何意义,本文提供的各种几何意义若能使学生理解,那么无疑会有助于我们综合运用中学数学知识能力的提高。 (1)取直线AMB,设AM=a,MB=b,以AB为直径作⊙O,其圆心为O,连结ACBC,由射影定理知CM~2=AM·MB,即CM~2=abCM=(ab)~(1/2),由于在圆内直径是最大     

不等式(a b)/2≥ab~(1/2)(a,b∈R~ )的几种巧妙证法

不等式a b/2≥ab~(1/2)(a,b∈R )是中学数学重要不等式之一.其应用广泛,技巧性强,加强这一不等式的教学,对提高学生的分析问题、综合应用知识的证题能力和创造思维能力,以及诱发学生对数学的美感,增长他们创造数学美的能力是大有好处的.本文从不同的角度给出这一不等式的几种证法,以供参考. 定理如果a,b∈R ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号). 证法一:(用二次根式的性质证) 当a≠b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2>0; 当a=b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2=0. 故(a~(1/2)-b~(1/2))~2≥0. 即a b-2ab(1/2)≥0. 故a b/2≥ab~(1/2). 证法二:(用面积证)如图1所示, 当 a≠b 时,S_(正方形ABCD)>4S_(矩形AB_1C_1D_1); 当a=b时,S_(正方形ABCD)=4S_(矩形AB_1C_1D_1), 故 S_(正方形ABCD)≥4S_(矩形AB_1C_1D_1) (a b)~2≥4aba b/2≥ab~(1/2).     

“a/b=c/d”与“a/c=b/d”

在教育教学实践中，经常引导学生得到一些明快的、体现数学美的结论，会大大激发学生自觉探究的兴趣，大大提高学生主动学习的意识．     

不等式((a b)/2)≥(ab)~(1/2)的推广

不等式的证明中学生一般感到较为困难,其原因是题目变化较多,技巧多样,方法灵活,难度较高。但是仔细研究可以发现众多的题目可以由少数的基本不等式引伸而出,不少题目是同出一源。如果能适当归类,就能举一反三。现仅就一类有关“平均值”的不等式的证明作一简单的讨论和推广。 在现行统编高中数学教材第三册第二章证明了定理:如果a,b是实数,那么a~2 b~2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)和它的推论:如果a,b都是正数,那么     

再论不等式(α+(1/α))(b+(1/b))≥25/4的推广

(一)引言偶翻期刊,看到两篇文章,涉及不等式的推广(文[1],[2]). 推广1 设x_1>0,i=1,2,…,n,且k≤n.则     

不等式a m/b m>a/b的证明·建模·推广·应用

美籍著名数学家波利亚认为“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目,还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面,在指导学生解题过程中,提高他们的才智与推     

(a·b)c=a(b·c)成立的充要条件

<正>我们知道,在向量数量积的运算中,不考虑(a·b)·c,这是因为数量积运算符号"·"只适用于两个向量之间,而不适用于数与向量之间,a·b是一个数,故(a·b)·c没有意义.但(a·b)c与a(b·c)都有意义,通常情况下,(a·b)c≠a(b·c),那么(a·b)c=a(b·c)在什么情况下成立呢?成立的充要条件又是什么呢?经探究,得知     

一个不等式赛题的引申与推广

题　设ａ、ｂ、ｃ为正数 ,且ａ ｂ ｃ=1。证明 :(1 ａ) (1 ｂ) (1 ｃ)≥ 8(1 -ａ) (1 -ｂ) (1 -ｃ)①(第 1 7届 (1 991年 )全俄数学奥林匹克十一年级题 3 )本文给出上述不等式的一个推论及一个一般性的推广。推论 1　设ａ、ｂ、ｃ为正数 ,且ａ ｂ ｃ=1 ,则(ａ ｂ) (ｂ ｃ) (ｃ ａ)≤ 82 7 ②证明 :　由不等式①得(ａ ｂ) (ｂ ｃ) (ｃ ａ)≤ 18(1 ａ) (1 ｂ) (1 ｃ)≤ 18[(1 ａ) (1 ｂ) (1 ｃ)3 ]3 =82 7。将不等式①的条件中“三个正数的和为 1”改为“ｎ个正数的和为 1”得到不等式①的如下推广。推广　设ａ1,ａ2 ,… ,ａ…