一个不等式的加强与巧证

文〔１〕给出了不等式１＋１２２＋…＋１ｎ２＜２的证明．文〔２〕给出了１＋１２２＋…＋１ｎ２＜１３１４ｎ－１＋５３的证明．下面我们将给出不等式１＋１２２＋…＋１ｎ２＜２的一个加强式，然后利用放缩法巧妙地给出它的证明．加强式　设Ｓｎ＝１＋１２２＋１３２＋…＋１ｎ２，则Ｓｎ＜１１９７２，且ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ＞１１６７２．证　１＋１２２＋１３２＋…＋１ｎ２＝４９３６＋１４２＋１５２＋…＋１ｎ２＜４９３６＋１３×５＋１４×６＋…＋１（ｎ－１）（ｎ＋１）＝４９３６＋１２１３－１５＋１４－１６　＋…＋１ｎ－１－…     

关于泛函微分方程稳定性的结论

设Ｒｎ 为ｎ维Ｅｕｃｌｉｄ空间 ,模为 1·1,Ｃ〔 -ｒ,0〕是〔 -ｒ,0〕到Ｒｎ 的全体连续函数所构成的空间 ,定义‖ ‖ =ＳＵＰ-ｒ≤ｓ≤ 0 | (ｓ) |对于 ∈Ｃ〔 -ｒ,0〕 ,其中ｒ =ｃｏｎｓｔ≥ 0 ,如果ｘ(ｔ)是在〔 -ｒ,Ｔ〕(0≤Ｔ≤∞ )上有定义 ,且连续的函数 ,那么 ,对每个ｔ∈〔0 ,Ｔ〕 ,ｘｔ∈Ｃ〔 -ｒ,0〕是由ｘｔ(ｓ) =ｘ(ｔ+ｓ)对于ｓ∈〔 -ｒ ,0〕所定义的。考虑泛函微分方程ｘ·(ｔ) =Ｆ(ｔ,ｘｔ) (1)其中 ,Ｆ∶Ｒ+ ×Ｃ〔 -ｒ,0〕→Ｒｎ 为连续 ,为了保证有界解的可延拓性 ,我们也假定 :Ｆ映Ｒ+ ×Ｃ〔 -ｒ,0〕中的有界集到…     

计算方法例题解析

例 1　已知x =π =3 14 15 92 6… ,求近似值x1=3 14 2 ,x2 =3 14 2 8的误差限、准确数字或有效数字。解　由 Δx1=3 14 2 - 3 14 15 92 6… <0 0 0 0 4 1ε1=12 × 10 -2由定义知x1是具有 4位有效数字的近似值 ,x2 是准确到10 -2 位的近似数。若只给出近似数x ,x为四舍五入得到的有效数 ,则可直接求出误差限和有效数字。例 2　求近似数x =0 2 4 80 × 10 2 的误差限和有效数字。解　因x=0 2 4 80× 10 2 为有效数 ,其误差限 :ε1=12 × 10 -4× 10 2 =12 × 10 -2它是具有 4位有效数字的近似数。例 3　已知近似数a=1 2 86 4 ,b =0 6 35…     

二○○二年全国各省市中考数学试题精选参考答案

一、填空题1.ａ ;2 .(ｘ ｙ 2 ) (ｘ ｙ -2 ) ;3 .2 0 0 3 ;4.180元 ;5.1;6.ｘ2 -1;7.　 9.12 ;8.ｘ≤ｃ ;9.　 0 .5;10 .ｎ 1ｎ · (ｎ 1)= ｎ 1ｎ (ｎ 1) ;11. -3 ;12 .Ｓ =4ｎ -4(ｎ≥ 2 ) ;13 .ａ ｄ =ｂ ｃ或ａ ｂ =ｄ ｃ -14 ;14 .12 43 ;15.-1(或 0或 3 ) ;16.(32 ,32 ) ;17.3 92ｘ -3 92ｘ 4 0 =1;18.85.9;19.2 552 56;2 0 . 1ｎ(ｎ 1 ) (ｎ 2 ) =121ｎ(ｎ 1 ) -1(ｎ 1 ) (ｎ 2 )二、选择题1.Ａ ;2 .Ｃ ;3 .Ａ ;4.Ｃ ;5.Ｂ ;6.Ｂ ;7.Ａ ;8.Ｂ ;9.Ｂ ;10 .Ｃ ;11.Ｄ ;12 .Ａ ;13 .Ａ ;14 .Ｄ ;15.Ａ ;16.Ｄ …     

“借来还去”巧解题

例1摇计算3+6+12+24+48+96+……+1536+3072。〔分析与解〕借一个3和首项3相加得6；6和第二项6相加得12；12和第三项12相加得24；这样依次类推，最后是3072和最后一项3072相加得6144。还去借来的3：原式=6144-3=6141。例2摇计算12+14+18+116+132+164+1128+1256+1512+11024。〔分析与解〕借一个11024和最后一项11024相加得1512；1512和倒数第二项1512相加的1256；这样从右往左依次类推，最后为：12+12=1。还去借来的11024：原式=1-11024=10231024。例3计算11×2+12×3+13×4+……+12001×2002+12002×2003。〔分析与解〕借一个12003和最后一项…     

对一个问题的研究

问题 :对于函数 ｆ(ｘ) ,若存在ｘ0 ∈Ｒ ,使ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 成立 ,则称ｘ0 为 ｆ(ｘ)的不动点 .如果函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｂｘ-ｃ(ｂ,ｃ∈Ｎ)有且只有两个不动点 0 ,2 ,且ｆ( -2 ) <-12 .( 1 )求函数 ｆ(ｘ)的解析式 ;( 2 )已知各项不为零的数列 {ａｎ}满足4Ｓｎ·ｆ 1ａｎ =1 ,其中Ｓｎ 是数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,求数列通项ａｎ.( 3 )如果数列 {ａｎ}满足ａ1 =4,ａｎ+1 =ｆ(ａｎ) ,求证 :当ｎ≥ 2时 ,恒有ａｎ <3成立 .一、分析与评述( 1 )分析 :由ｆ( 0 ) =0 ,可得ａ=0 ,①又由 ｆ( 2 ) =2可得 ,2ｂ =ｃ+2 ,②再由 ｆ( -2 ) <-12 可得 ,2…     

挖掘课本潜能 培养学生猜想力

一、利用归纳法 ,培养学生的猜想能力　　〔例 1〕初二《代数》课本第 182页 :判断下列各式是否成立 :　　 ( 1) 2 23=2 23;　 ( 2 ) 338=338;　　 ( 3) 4 415=4 415。　　学生根据二次根式的性质 ,可验证为 :　　 ( 1) 2 23=83=2 2 × 23=2 23;　　 ( 2 ) 338=2 78=32 × 38=338;　　 ( 3) 4 415=6 415=4 2 × 415=4 415.　　在此基础上 ,提出猜想问题 :　　①推想 552 4 的变形结果 ,并进行验证 ;　　②针对上述各式反映的规律 ,写出ｎ(ｎ为自然数且ｎ≥ 2 )表示的等式 ,并给出证明。　　这道题在解答时 ,要求学生先用几个实例试试 ,然后…     

绍兴县2003年初三年级数学中考适应性测试题

一、选择题 ( 12× 4分 )1 三个实数 - 3、- 2、0依次从小到大排列的顺序是 (　　 ) .Ａ - 3<- 2 <0　　Ｂ - 2 <- 3<0Ｃ 0 <- 3<- 2　　Ｄ 0 <- 2 <- 32 2 0 0 2年 5月 15日 ,我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星 ,进入预定轨道后 ,若绕地球运行的速度为 7.9× 10 3 米 秒 ,则运行 2× 10 2 秒走过的路程是 (用科学记数法表示 ) .Ａ 15.8× 10 5 米　　Ｂ 1.58× 10 5 米Ｃ 0 .158× 10 7米　　Ｄ 1.58× 10 6 米3 下列运算中 ,正确的是 (　　 ) .Ａ ａ2 ·ａ4 =ａ8　　Ｂ 1-ａ -ｂ =- 1ａ-ｂＣ ａ - 1ａ =- -ａＤ (ｔａｎ30°- 13) 0 =14 下列…     

A CLASS OF MARCINKIEWICZ INTEGRAL OPERATORS ON PRODUCT DOMAINS

ＩＮＴＲＯＤＵＣＴＩＯＮＦｏｒｎ≥ 2 ,ｍ≥ 2 ,ｌｅｔＳｎ - 1 ａｎｄＳｍ - 1 ｂｅｔｈｅｕｎｉｔｓｐｈｅｒｅｉｎＲｎａｎｄＲｍｒｅｐｅｃｔｉｖｅｌｙ ,ｅｑｕｉｐｐｅｄｗｉｔｈｔｈｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄｌｅｂｅｓｇｕｅｍｅａｓｕｒｅ .ＬｅｔΩｂｅａｆｕｎｃｔｉｏｎｄｅｆｉｎｅｄｏｎＳｎ - 1 ×Ｓｍ - 1 ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇΩ∈Ｌ1 (Ｓｎ - 1 ×Ｓｍ - 1 )ａｎｄ∫ｓｎ-1 Ω(ｕ ,ｖ)ｄｕ =0 ,( ｖ ∈Ｓｍ- 1 )∫ｓｍ-1 Ω(ｕ ,ｖ)ｄｕ=0 ,( ｖ ∈Ｓｎ- 1 ) ( 1 )ＴｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇＭａｒｃｉｎｋｉｅ…     

有理数运算的技巧

一、巧用运算律例1计算-117×(132-0.125)÷(-1.2)×(-1313).解原式=-117×(132-18)×(-56)×(-1613)=-117×1613×(132-18)×56=-9×(12-2)×56=9×32×56=1114.二、合理分组例2计算1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=(1999年“希望杯”初一数学竞赛试题)解原式=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+…+(4999-5000)=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)(共有2500个)=-2500.三、反序相加例3计算12+(14+34)+(16+36+56)+…+(198+398+…+9798)=(1998年“五羊杯”初一数学竞赛试题)解设原式=S,将每个括号内的分数反序排列,可得S=12+(34+14)+(56+36+16)+…+(9798+…+39…     

函数方程解法种种——从2001年全国高考数学压轴题谈起

今年全国高考数学最后一题〔理 (2 2 )题〕是 :设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ=1对称 ,对任意ｘ1 ,ｘ2 ∈ 0 ,12 ,都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 )·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ>0 .(Ⅰ )求ｆ 12 及ｆ 14;(Ⅱ )证明ｆ(ｘ)是周期函数 ;(Ⅲ )记ａｎ =ｆ 2ｎ 12ｎ ,求ｌｉｍｎ→∞(ｌｎａｎ) .这是一道涉及“函数方程”———含有未知函数的等式的试题〔见题中条件ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 ) ×ｆ(ｘ2 )〕 .此类题目在近些年全国高考中尚不多见 ,但在各类竞赛中却屡见不鲜 .寻求函数方程的解或证明函数方程无解叫做解函数方程 .下面…     

高考数列题速解技巧

数列是历届高考的重点 ,在试题中的比重约占总分的 1 0 % .现就近几年高考数列题的速解技巧归结如下 ,供同学们复习参考 .一、巧取特例1 取自然数列ａｎ =ｎ例 1　 (1 993年全国高考题 )已知等差数列{ａｎ},公差ｄ >0 ,ａ1 >0 ,Ｓｎ = ｎｉ=11ａｉａｉ 1 ,则ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ = .解　特殊数列ａｎ =ｎ满足已知条件 ,这时Ｓｎ =11 · 2 12 · 3 … 1ｎ(ｎ 1 )=(1 -12 ) (12 -13) … (1ｎ-1ｎ 1 )=1 -1ｎ 1 ,故ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ =1 .例 2　 (1 990年全国高考题 )已知 {ａｎ}是公差不为 0的等差数列 ,如果Ｓｎ 是 {ａｎ}的前ｎ项和…     

一类方差问题的探索和推广

例 1　已知一组数据ｘ1、ｘ2 、ｘ3 的方差为Ｓ21=3,求另一组数据 2ｘ1、2ｘ2 、2ｘ3 的方差Ｓ22 。解　∵　ｘ =13(ｘ1 ｘ2 ｘ3) ,Ｓ21=13 ∑3ｉ=1(ｘｉ-ｘ) 2 =3,∴　Ｘ′ =13( 2ｘ1 2ｘ2 2ｘ3)=2× 13(ｘ1 ｘ2 ｘ3) =2ｘ ,∴　Ｓ22 =13∑3ｉ=1( 2ｘｉ-2ｘ) 2 =13 ∑3ｉ=14(ｘｉ-ｘ) 2=4× [13∑3ｉ=1(ｘｉ-ｘ) 2 ]=4Ｓ21=4× 3=1 2。由此进行推广 ,易得下面的定理 :定理 1　如果一组数据ｘ1,ｘ2 ,…ｘｎ 的方差Ｓ21=ａ ,那么另组数据ｍｘ1,ｍｘ2 ,…ｍｘｎ 的方差Ｓ22 =ｍ2 ａ。证明　∵ｘ =1ｎ ∑ｎｉ=1ｘｉ,Ｓ21=1ｎ ∑ｎｉ=1(ｘｉ-…     

2003全国新课程卷理科22题别解

题目　设ａ0 为常数 ,且ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 (ｎ ∈Ｎ+ )(Ⅰ )证明对任意ｎ ≥ 1,ａｎ =15[3ｎ+ ( - 1) ｎ-1 · 2 ｎ] + ( - 1) ｎ· 2 ｎ·ａ0 ;(Ⅱ )假设对于任意ｎ ≥ 1有ａｎ >ａｎ-1 ,求ａ0 的取值范围试题是根据新教材数列一章中的一道习题设计的 ,情境新颖 ,背景公平 ,是一道具有一定创新能力的试题 .下面利用递推关系 ,给出如下解法 :Ⅰ )由ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 ,所以ａｎ+λ· 3ｎ =3ｎ-1 +λ· 3ｎ - 2ａｎ-1 =-2 (ａｎ-1 - 3λ + 12 · 3ｎ-1 )要使 {ａｎ +λ· 3ｎ}成等比数列 ,必须且只须λ=- 3λ+ 12 所以λ =- 15.即 {…     

《“考坛新秀”——类卤化合物》练习题参考答案

1 (1 ) (ＣＮ) 2 2ＫＯＨ =ＫＣＮ ＫＣＮＯ Ｈ2 Ｏ　 (2 ) (ＣＮ) 2 2ＳＣＮ- =(ＳＣＮ) 2 2ＣＮ-2 .Ｂ、Ｄ3 ① 5〔Ｆｅ(ＳＣＮ) 2 〕 2ＭｎＯ-4 1 6Ｈ =5Ｆｅ3 5 (ＳＣＮ) 2 2Ｍｎ2 8Ｈ2 Ｏ②2〔Ｆｅ(ＳＣＮ) 2 〕 ＳＯ2 2Ｈ2 Ｏ =2Ｆｅ2 ＳＯ2 -4     

从一道计算题得到的启示

学习数学 ,做题是必不可少的 ,但也不必整天泡在题海中 .只要做题时注意总结 ,掌握解题的规律 ,便可得到事半功倍的效果 .先看例题计算 :12 +16+11 2 +12 0 +… +12 0 0 2 × 2 0 0 3 .　　　　　分析　根据 1 -12 =12 ,12 -13 =3 -22× 3 =16,13 -14=4-33 × 4=11 2 …故原式 =11 × 2 +12 × 3 +13 × 4+14× 5 +… +12 0 0 2 × 2 0 0 3=1 -12 +12 -13 +13 -14… +12 0 0 2 -12 0 0 3=1 -12 0 0 3=2 0 0 22 0 0 3 .利用这个规律 ,把一个分数拆成两个分数的差 ,而且相邻两个分数正好互相抵消 .用这种解题方法便可解答下面一类题目了 .例 1…     

1999年全国各地中考数学试题选编

代数部分　　 [试题选析 ]例 1　问题 :你能很快算出 19952 吗 ?为了解决这个问题 ,我们考察个位上的数字为 5的自然数的平方 .任意一个个位数为 5的自然数可写成 10ｎ 5,即求 ( 10ｎ 5) 2 的值 (ｎ为自然数 ) .你分析ｎ =1,ｎ =2 ,ｎ =3…这些简单情况 ,从中探索其规律 ,并归纳、猜想出结论 (在下面空格内填上你的探索结果 ) .( 1)通过计算 ,探索规律 :152 =2 2 5可写成 10 0× 1( 1 1) 2 5,2 52 =6 2 5可写成 10 0× 2 ( 2 1) 2 5,352 =12 2 5可写成 10 0× 3( 3 1) 2 5,4 52 =2 0 2 5可写成 10 0× 4 ( 4 1) 2 5,……75…     

一类与自然数有关的命题的简易证明

贵刊 2 0 0 0年第 5期的文 [1],给出了二个定理 ,运用于证明一类与自然数有关的命题 ,是一种较好的方法 ,读后颇受启发 .本文给出一种不借助于辅助定理 ,直接证明这类命题的方法 ,操作起来更容易 .例 1　求证 :1 11 2 … 11 2 … ｎ =2 - 2ｎ 1.证明　令ｆ(ｎ) =1 11 2 … 11 2 … ｎ,则　　ｆ(ｎ) - ｆ(ｎ - 1) =11 2 … ｎ　　 =2ｎ(ｎ 1) =2 (1ｎ - 1ｎ 1)　 (ｎ≥ 2 ) .于是　　 ｆ(2 ) -ｆ(1) =2 (12 - 13) ,ｆ(3) - ｆ(2 ) =2 (13- 14) ,……ｆ(ｎ) - ｆ(ｎ - 1) =2 (1ｎ - 1ｎ 1) ,累加 ,得　ｆ(ｎ) - ｆ(…     

A LIMIT RESULT FOR SELF-NORMALIZED RANDOM SUMS

ＩＮＴＲＯＤＵＣＴＩＯＮＳｕｐｐｏｓｅ {Ｘ ,Ｘｎ;ｎ≥ 1 }ｉｓａｓｅｑｕｅｎｃｅｉ.ｉ.ｄ .ｒ.ｖ .ＬｅｔＳｎ=∑ｎｉ=1ＸｉａｎｄＶ2 ｎ=∑ｎｉ=1Ｘ2 ｉ.Ｒ啨ｖ啨ｓｚ( 1 990 )ｓｔｕｄｉｅｄｔｈｅｌｉｍｉｔｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｔｈｅｓｅ ｑｕｅｎｃｅＬｎ =ｍａｘ0≤ｊ<ｎ ｍａｘ1≤ｋ<ｎ-ｊｋ- 1 2 (Ｓｊ ｋ -Ｓｊ) ( 1 )ａｎｄｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｉｆＰ(Ｘ =± 1 ) =12 ｔｈｅｎ1 ≤ｌｉｍｉｎｆｎ→∞Ｌｎ( 2ｌｏｇｎ) 1 2 ≤ｌｉｍｓｕｐｎ→∞Ｌｎ( 2ｌｏｇｎ) 1 2 =Ｋ <∞　ａ.ｓ.,( 2 )ｗｈｅｒｅｔｈｅｅｘａｃｔｖ…     

《计算机数学基础(A)》综合练习

(一)填空题12-101-4000-1=。2若Ａ为3×4矩阵,Ｂ为2×5矩阵,且乘积ＡＣ′Ｂ′有意义,则Ｃ为矩阵。3设二阶矩阵Ａ=11015=。4设Ａ=1240-34,Ｂ=-1203-14,则(Ａ Ｂ′)′=。5设Ａ,Ｂ均为3阶矩阵,且Ａ=Ｂ=-3,则-2ＡＢ=。6矩阵2-124020-33的秩为。7ｎ 1个ｎ维向量组成的向量组一定线性。8若线性方程组ＡｍｎＸｎ1=Ｂｍ1有解的充分必要条件是。9齐次线性方程组ＡｍｎＸ=0的系数矩阵ｒ(Ａ)<ｎ,则方程组的基础解系中解向量个数为。10若Ａ,Ｂ为两事件,且Ｐ(Ａ)>0,Ｐ(Ｂ|Ａ)=Ｐ(Ｂ),则Ａ与Ｂ。11若Ｘ～Ｂ(ｎ,ｐ)且Ｅ(Ｘ)=6,Ｄ(Ｘ)=36,则ｎ=。12设Ａ,Ｂ为…