也谈一个极值问题的推广

第 3 0届ＩＭＯ训练题中有一道试题 :对满足ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =1的正数ｘ、ｙ、ｚ,求ｘ1 -ｘ2 +ｙ1 -ｙ2 +ｚ1 -ｚ2 的最小值 .安振平先生将其推广为[1] :已知ａｉ ∈Ｒ+(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,∑ｎｉ=1ａｎ - 1ｉ =1 .则 ∑ｎｉ=1ａｎ - 2ｉ1 -ａｎ- 1ｉ≥ ｎｎ -1ｎ - 1ｎ .受其启发 ,笔者发现可将其进一步推广为 :已知ａｉ∈Ｒ+(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,α1、α2 、ｋ∈Ｎ ,ｃ>ａｋα2ｉ ,且∑ｎｉ=1ａα1+α2ｉ =ｎ ｃｋ +1α1+α2ｋα2 .则∑ｎｉ=1ａα1ｉｃ-ａｋα2ｉ≥ ｎｋｃｋ +1α1-ｋα2ｋα2 .证明 :令ｘｉ=ａα2ｉ(ｃ …     

运用分母代换法证明不等式举例

对于分母是多项式的分式不等式 ,采用将分母进行整体代换后 ,便于应用基本不等式或常见的“( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=11ａｉ)≥ｎ2 (ａｉ >0 )”结论来证明 .下面分类举例 .1　分子为常数型例 1　若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1) ,求证 :11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.证明　设 1-ｘ + ｙ=ａ ,1- ｙ+ｚ=ｂ ,1-ｚ+ｘ=ｃ,则ａ >0 ,ｂ>0 ,ｃ>0 ,且ａ +ｂ+ｃ =3.∵ (ａ+ｂ +ｃ) (1ａ + 1ｂ + 1ｃ) ≥ 9,∴ 1ａ + 1ｂ + 1ｃ ≥ 3.故 11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.例 2　 (第 19届莫斯科奥林匹克竞赛题 )设任意的实数ｘ、ｙ满足 ｜ｘ｜ <1,｜…     

一个不等式的应用

定理　设ａｉ,ｂｉ 为正数 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则ｎ ∏ｎｉ =1(ａｉ ｂｉ) ≥ｎ ∏ｎｉ=1ａｉ ｎ ∏ｎｉ=1ｂｉ,( )等号当且仅当ａｉ=λｂｉ (λ为常数 ,ｉ =1,2 ,… ,ｎ)时成立 .证　由算术———几何平均不等式 ,有ｎ ∏ｎｉ =1ａｉａｉ ｂｉ ｎ ∏ｎｉ =1ｂｉａｉ ｂｉ≤ 1ｎ ∑ｎｉ =1ａｉａｉ ｂｉ 1ｎ ∑ｎｉ=1ｂｉａｉ ｂｉ=1ｎ ∑ｎｉ =1ａｉａｉ ｂｉ ｂｉａｉ ｂｉ=1ｎ ·ｎ =1,　　∴　ｎ ∏ｎｉ =1(ａｉ ｂｉ)≥ｎ ∏ｎｉ=1ａｉ ｎ ∏ｎｉ=1ｂｉ,等号当且仅当ａ1 ａ1 ｂ1=ａ2ａ2 ｂ2=… =ａｎａｎ ｂｎ,ｂ1 ａ1 ｂ1=ｂ2…     

对一个不等式的探究

文 [1]将不等式 :设ａ1,ａ2 ,ａ3,ａ4 ∈Ｒ ,求证 :ａ31ａ2 ａ3 ａ4 ａ32ａ3 ａ4 ａ1 ａ33ａ4 ａ1 ａ2 ａ34ａ1 ａ2 ａ3≥ (ａ1 ａ2 ａ3 ａ4 ) 212 ,推广为　　设ａ1,ａ2 ,ａ3,… ,ａｎ ∈Ｒ ,且ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ =ｓ.则有ａ31ｓ -ａ1 ａ32ｓ -ａ2 … ａ3ｎｓ -ａｎ ≥ ｓ2ｎ(ｎ - 1) (ｎ ≥ 3)(1)　　笔者通过对不等式 (1)的探究 ,得到以下命题　设ａｉ ∈Ｒ (ｉ =1,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3) ,且∑ｎｉ=1ａｉ =ｓ.如果ｍ ,ｋ满足下列条件之一 :(1)ｋ=0 ,ｍ≥ 1;(2 )ｋ=ｍ≥ 1或ｋ=ｍ ≤ 0 ;(3)ｋ>0 ,ｍ ≤ 0 ;(4 ) 0 <ｋ≤ 1,ｍ…     

一个无理不等式的再推广

对于问题“若ａ,ｂ为正数 ,并且ａ ｂ =1 ,则有不等式ａ2 1 ｂ2 1≥ 5 .”文 [1 ]给出了较为复杂的代数证法 .之后 ,文 [2 ]给出了简明的几何证法 ,并进行了如下推广 :定理 1　若ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ ∈Ｒ ,且∑ｎｉ=1ａｉ =1 ,则 ∑ｎｉ =1ａ2ｉ 1≥ｎ2 1 .文 [2 ]对定理 1仍采用了几何证法 现将定理 1再作推广 ,可得 :定理 2　若ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ 及ｂ1 ,ｂ2 ,… ,ｂｎ 是任意实数 ,则∑ｎｉ =1ａ2ｉ ｂ2ｉ ≥ (∑ｎｉ =1ａｉ) 2 (∑ｎｉ =1ｂｉ) 2 .证明　设复数ｚｋ =ａｋ ｂｋｉ,其中ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ.因为 ｜ｚ1 ｜ ｜ｚ2 ｜…     

一道国际竞赛题的新推广

题目　对所有的正实数ａ、ｂ、ｃ,证明 :ａａ2 + 8ｂｃ+ ｂｂ2 + 8ｃａ+ ｃｃ2 + 8ａｂ≥ 1 .①(第 42届ＩＭＯ 2 )对此题本文给出 3个新推广 .命题 1　 (个数推广 )对正实数ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ(ｎ≥ 3 ) ,有∑ｎｉ=1ａｎ - 12ｉａｎ- 1ｉ +(ｎ2 - 1)ａ1…ａｉ- 1ａｉ+ 1…ａｎ≥ 1.②命题 2　 (指数推广 )对正实数ａ1,ａ2 ,ａｎ(ｎ≥ 3 )及正整数ｍ(ｍ≥ 2 ) ,有∑ｎｉ=1ａｉｍａｍｉ + (ｎｍ-1 )ａｍ2ｉ+ 1ａｍ2ｉ+ 2≥ 1 ,③其中ａｎ+ 1=ａ1,ａｎ+ 2 =ａ2 .把以上两个命题结合起来 ,可得命题 3　对正实数ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ(ｎ≥ 3 )及正整…     

一个不等式的推广

从许多相关杂志上都能见到如下不等式 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,则 (ｘ2 +ｙ2 ) 12 >(ｘ3+ｙ3) 13. ( 1 )下面笔者给出式 ( 1 )的两个推广 :推广 1 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,ｍ、ｎ∈Ｎ且ｎ >ｍ ,则　 (ｘｍ+ｙｍ) 1ｍ >(ｘｎ+ｙｎ) 1ｎ . ( 2 )推广 2 :若ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ+,且ｓ>ｔ>0 ,则事实上 ,式 ( 3 )又是式 ( 2 )的推广 ,因此我们只证明式 ( 3 ) .证明 :所证不等式等价于下列不等式∑ｎｉ=1ａｔｉ1ｔ∑ｎｉ=1ａｓｉ1ｓ>1 ,即　 ａｓ1∑ａｓｉｔｓ +… +ａｓｎ∑ａｓｉｔｓ1ｔ >1 .( 4)令 ａｓ1∑ａｓｉ1ｓ =ｂ1,… ,ａｓｎ∑ａｓｉ1ｓ =ｂｎ,则ｂｉ…     

分式不等式的又一证法

关于分式不等式的证明 ,人们已总结了不少方法 .本文利用柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式的一种变式再给出一种证法 ,这种证法常被人们所忽视 ,然而它在证明一类分式不等式时却十分凑效 ,现介绍如下 ,以供参考 .柯西不等式的变式　设ａｉ∈Ｒ ,ｂｉ∈Ｒ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则　　　 ( ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=1ａｉｂ2 ｉ) ,( )等号成立当且仅当ｂ1=ｂ2 =… =ｂｎ.由柯西不等式易知不等式 ( )成立 ,证明从略 .为书写方便 ,用 表示循环和 .例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,ｋ为常数 ,ｋ∈Ｒ ,求证 ｘｋｙ ｚ ｙｋｚ ｘ ｚｋｘ …     

一类分式不等式的一种证法

在分母为多项式的分式不等式中 ,有些不等式 ,通过变量代换 ,把分母化为单项式 ,灵活运用均值不等式或适当的放缩 ,便能得到简洁明快的证法 .举例如下例 1　已知△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ ,ｃ ,求证 :ａｂ ｃ -ａ ｂｃ ａ -ｂ ｃａ ｂ -ｃ≥ 3.证　设ｂ ｃ-ａ =2ｘ ,ｃ ａ -ｂ=2ｙ ,ａ ｂ-ｃ=2ｚ,ｘ ,ｙ ,ｚ >0 .令不等式的左端为Ｍ ,则Ｍ =ｙ ｚ2ｘ ｘ ｚ2ｙ ｘ ｙ2ｚ= (ｙ2ｘ ｘ2ｙ) (ｚ2ｙ ｙ2ｚ) (ｘ2ｚ ｚ2ｘ)≥ 2 ｙ2ｘ· ｘ2ｙ 2 ｚ2ｙ· ｙ2ｚ 2 ｘ2ｚ· ｚ2ｘ= 1 1 1=3.例 2　设ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,求证 :ｘ2ｘ ｙ ｚ ｙｘ 2ｙ…     

关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ,ｃ,其内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),则有下面的不等式(证略):ＡＩ2+ＢＩ2+ＣＩ2≥14(ａ2+ｂ2+ｃ2)+3ｒ2(1)文献[1]中还有以下不等式:ＡＩ+ＢＩ+ＣＩ≥6ｒ(2)(1),(2)中等号成立当且仅当ａ=ｂ=ｃ.定理1　设平面闭折线Ａ1Ａ2Ａ3…ＡｎＡ1有内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),其边长为|ＡｉＡｉ+1|=ａｉ(ｉ=1,2,…,ｎ,且Ａｎ+1为Ａ1),则有:∑ｎｉ=1ＡｉＩ2≥14∑ｎｉ=1ａ2ｉ+ｎｒ2(3)当且仅当ａ1=ａ2=…=ａｎ时取等号.　　证明　设已知闭折线的边ＡｉＡｉ-1,ＡｉＡｉ+1分别与内切圆切于点Ｂｉ-1,Ｂｉ(如图1),设|ＡｉＢｉ-1|=|ＡｉＢｉ|=ｘｉ(ｉ…     

一个不等式的推广和应用

中学数学里熟知的不等式 (ｘ ｙ) 2 ≤ 2 (ｘ2 ｙ2 ) ,可通过增加元数和增加次数进行推广 ,易得到幂平均不等式 :(ｘ1 ｘ2 … ｘｎ) ｍ ≤ｎｍ -1 (ｘｍ1 ｘｍ2 … ｘｍｎ) ,其中ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 为正数 .在幂平均不等式中 ,令ｘ1 =ｍ ａ1 ,ｘ2 =ｍａ2 ,… ,ｘｎ=ｍａｎ,则又得到无理不等式 :( ｍａ1 ｍ ａ2 … ｍ ａｎ) ｍ≤ｎｍ -1 (ａ1 ａ2 … ａｎ) ,即有ｍａ1 ｍ ａ2 … ｍａｎ≤ ｍ ｎｍ -1 (ａ1 ａ2 … ａｎ) ,(ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ 为正数 ,当ａ1 =ａ2 =… =ａｎ 时 ,等号成立 ) .此不等式在证明有关无…     

一个优美不等式的证明及应用

《数学通报》99年第 9期“从一道习题到两个优美的不等式”一文的结尾给出了如下的一个猜想 :设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ (ｉ =1、2 ,… ,ｎ) ,ｎ≥ 2 ;α >0 ,则Σｎｉ=1ａα 1 ｉｂαｉ≥Σｎｉ =1ａｉ) α 1(Σｎｉ=1ｂｉ) α当且仅当 ａｉΣｎｉ =1ａｉ=ｂｉΣｎｉ =1ｂｉ时等号成立。本文将给出严格的证明 ,并用它将《数学通报》问题 893作广泛的推广 ,从中可初步看出它的应用前景。一、不等式的证明证明 :原不等式等价于(Σｎｉ=1ａｉα 1ｂαｉ) (Σｎｉ =1ｂｉ) α≥ (Σｎｉ=1ａｉ) α 1 ( 1)若记λ =Σｎｉ =1ｂｉ,则(Σｎｉ=1·ａｉ…     

方差的解题功能

对于ｎ个实数ｘ1、ｘ2 、…、ｘｎ,记 ｘ =1ｎ ｎｉ=1ｘｉ,Ｓ2 =1ｎ ｎｉ =1(ｘｉ- ｘ) 2 =1ｎ ｎｉ=1ｘ2 ｉ- ｘ2 ,显然有Ｓ2 ≥ 0 , (1)Ｓ2 =0 ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ. (2 )　　本文通过构造一组数据的方差 ,巧妙地利用 (1)、(2 )两式解决几类问题 ,从而拓展方差公式在中学数学解题中的应用范围 .1　求代数式的值例 1　 (1991年南昌市初中数学竞赛试题 )设ｘ、ｙ、ｚ是三个实数 ,且有1ｘ 1ｙ 1ｚ =2 ,1ｘ2 1ｙ2 1ｚ2 =1,则1ｘｙ 1ｙｚ 1ｚｘ 的值是 (　　 )(Ａ) 1　　 (Ｂ) 2　　 (Ｃ) 32 　　 (Ｄ) 3.解　关于三个实数 1ｘ、1…     

柯西不等式的推广及其矩阵表示法的应用

柯西不等式的推广定理 1 :设ａｉｊ>0 (其中ｊ=1 ,2 ,… ,ｍ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,则( ｎｉ=1∏ｍｊ=1ａｉｊ) ｍ ≤ ∏ｍｊ=1 ｎｉ=1ａｍｉｊ) (1 )当ｍ =2时 ,即为柯西不等式 :( ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ( ｎｉ=1ａ2 ｉ) ( ｎｉ=1ｂ2 ｉ) (2 )　　一、引理 (权方和不等式 )　　设ｘｉ、ｙｉ∈Ｒ+,(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,ｍ >0 ,则( ｎｉ=1ｘｉ)ｍ +1≤ ( ｎｉ=1ｙｉ)ｍ · ｎｉ=1ｘｍ+1 ｉｙｍｉ(3 )式中等号当且仅当 ｘ1 ｙ1 =ｘ2ｙ2 =… =ｘｎｙｎ时成立。证明可参见[1 ] 。二、定理的证明对ｍ用数学归纳法。当ｍ =2时 ,即为柯西不等式 ,结论…     

一个推广不等式的两种证法

文 [1]作者用均值换元法证明了两个简单的条件不等式问题 ,并给出了四个推广 .其实 ,我们可以给出它的一个统一推广 ,并用中学生熟悉的柯西不等式 (∑ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ∑ｎｉ=1ａ2 ｉ·∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ、向量的数性积不等式 ａ· ｂ≤｜ ａ｜｜ ｂ｜及函数的单调性等知识就可简洁证明 .推广　已知 ∑ｎｉ=1ａｉ =ｋ ,且ａｉ ≥ 0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,ｋ >0 ,ｌ>0 ,ｍ >0 ,则ｌｋ ｍ (ｎ- 1) ｍ ≤ ∑ｎｉ =1ｌａｉ ｍ≤ ｎ(ｌｋ ｎｍ) .证法 1　先证右边不等式 ,用柯西不等式 ,∵ ∑ｎｉ=1ｌａｉ ｍ =∑ｎｉ=1ｌａｉ ｍ· 1≤ ∑ｎｉ=…     

一类不等式的化1证法

有一类不等式 ,能用均值不等式证明 ,根据题目的结构特征 ,运用化 1法 ,把 2 (或 3)元均值不等式的2 (或 3) ,化成 1 1(或 1 1 1) ,便可得自然流畅的证法 .下面以前全苏、全俄及前独联体的中学生数学竞赛题为例说明之 .例 1　 (第 2 4届前全苏中学生数学奥林匹克试题 )设ａｉ >0　 (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,且ａ1 ａ2 … ａｎ =1.求证 :ａ21ａ1 ａ2 ａ22ａ2 ａ3 … ａ2 ｎａｎ ａ1≥ 12 .证　设不等式的左端为Ｍ∵ (ａ1 ａ2 ) (ａ2 ａ3 ) … (ａｎ ａ1)　 =2 (ａ1 ａ2 … ａｎ) =2 ,∴ 2 =1 1=1Ｍ(ａ21ａ1 ａ2 ａ22ａ2 …     

妙题巧解(四)

1 已知ｘ2 ｙ2 +ｘ2 +ｙ2 -4ｘｙ -8ｘ -8ｙ + 2 5=0 ,求ｘ、ｙ的值 .2 已知ａ、ｂ、ｃ都是正实数 ,且ａ >ｂ.求证 :ａ2 +ｃ2 -ｂ2 +ｃ2 <ａ-ｂ.3 已知 2 5ａ -5ｂ +ｃ =0 (ａ≠ 0 ) .求证 :ｂ2 ≥ 4ａｃ.4 已知△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足不等式ａ+ｂ +ｃ + 1 7≤ 4ａ -8+ 6ｂ-3+ 8ｃ-1 ,试判定△ＡＢＣ的形状 .5 若ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 + 5ｘ -7=0的两个根 ,则 (2ｘ21+ 1 3ｘ1-1 9) (2ｘ22 + 1 3ｘ2 -1 9)的值是.参考答案1 已知等式可变形为 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ) 2-8(ｘ +ｙ) + 1 6 =0 ,即 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ -4 ) 2=0 .∴　ｘ…     

一个重要不等式及其应用

设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ 　 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则不等式ｂ21ａ1 ｂ22ａ2 … ｂ2ｎａｎ≥(ｂ1 ｂ2 … ｂｎ) 2ａ1 ａ2 … ａｎ,当且仅当 ｂ1ａ1=ｂ2ａ2=… =ｂｎａｎ时等号成立 .证明　设 ｂｉｂ1 ｂ2 … ｂｎ=ｕｉ,ａｉａ1 ａ2 … ａｎ=ｖｉ　 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) .∵　 ｕ21ｖ1 ｖ1≥ 2ｕ1,ｕ22ｖ2 ｖ2 ≥ 2ｕ2 ,… ,ｕ2ｎｖｎ ｖｎ≥ 2ｕｎ ,将这ｎ个不等式相加得ｕ21ｖ1 ｕ22ｖ2 … ｕ2ｎｖｎ≥ 1,即　 ｂ21ａ1 ｂ22ａ2 … ｂ2ｎａｎ≥(ｂ1 ｂ2 … ｂｎ) 2ａ1 ａ2 … ａｎ.当且仅当ｕ1=ｖ1,ｕ2 =ｖ2 ,…… ,ｕｎ=ｖｎ ,即ｂ1ａ1=…     

x~(1/2) y~(1/2)≤{2(x y)}~(1/2)的解题功效不容忽视

研究庞大的生物体从研究细微的细胞开始 ,同样的道理 ,对错综复杂的不等式研究 ,可以从对一些最为简单的不等式的探索开始。本文旨在探讨一个不惹人注意的简单不等式 :ｘ ｙ≤ 2 (ｘ ｙ) (其中ｘ、ｙ∈Ｒ ) ( )(当且仅当ｘ =ｙ时 ,等式成立 )证明不难 :　依基本不等式ｘ ｙ≥ 2ｘｙ,知(ｘ ｙ) 2 =(ｘ ｙ) 2 ｘｙ≤ (ｘ ｙ) (ｘ ｙ) =2 (ｘ ｙ) ,两边开平方 ,即得ｘ ｙ≤ 2 (ｘ ｙ) 。不等式 ( )的结构简单 ,而应用却十分广泛。1　求不等式恒成立时的参数最值例 1　若正数ａ使不等式 ｘ ｙ≤ａ ｘ ｙ对一切正数…     

一类竞赛不等式的推广及统一证法

文 [1 ]用“均分组合法”巧妙解决了一类竞赛题。文 [2 ]指出文 [1 ]中例 1 ,3 ,5 ,8论证过程有不当之处 ,并用排序原理逐一重新予以证明 ,读后深受启发。但笔者发现 ,这类不等式还可应用柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式获证 ,且证明更简洁 ,还能加以推广得到一般性的结论。柯西不等式为　 (∑ｎｉ=1ａ2 ｉ) (∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ)≥ (∑ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2(ａｉ、ｂｉ∈Ｒ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,当且仅当ａｉ=λｂｉ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ时等号成立。 (证略 )例 1　 (文 [1 ]例 1 ,1 963年莫斯科数学竞赛题 )设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,求证 ａｂ ｃ ｂａ ｃ ｃａ …