第26届国际数学奥林匹克试题及解答

第26届国际数学奥林匹克比赛于1985年7月3日至5日,在芬兰首都赫尔辛基市举行.我国中学生代表吴思皓(上海向明中学高二学生)和王锋(北京大学附中高三学生)由中国科协王寿仁、中国数学会裘宗沪两同志率领下,首次远征参加国际中学生数学竞赛.这次竞赛的笔试分二场完成,满分为42分.我国选手吴思皓以17分成绩获得三等奖.《科学画报》1985年第12期和1986年第1期分别刊登了这两场笔试的试题,并请吴思皓同学作了解答,现转载如下.     

第24届国际数学奥林匹克竞赛试题及解答

第一试 (1983年7月6日)4.5小时 1.试找出所有满足下列条件的定义在正实数集上并取正实值的函数f: (ⅰ)对于任意正实数x、y恒有f(xf(y))=yf(x); (ⅱ)当x→+∞时f(x)→0。解.设f是满足题设条件的函数。则有 (1) f(1)=1,即1是函数f的一个不动点:这是因为由条件(ⅰ)可得     

第31届国际数学奥林匹克试题与解答

我国选手在第31届国际数学奥林匹克上获得辉煌胜利,汪建华(陕西)、周彤(湖北)、王松(湖北)、余嘉联(安徽铜陵一中)、张朝晖(北京)、库超(湖北)等六名选手,为祖国捧回了五枚金牌一枚银牌,取得团体总分第一名。本刊特登载本届竞赛题和解答,志以祝贺。     

第42届国际数学奥林匹克试题解答集锦

编者按在王建立老师的指导下,湖北省仙桃中学9901班魏维等同学,对我刊发表的第42届国际数学奥林匹克试题给出了多种解法.这里摘登部分同学给出的第一、二、五题的解答.     

第二十九届国际数学奥林匹克试题及解答

第29届国际数学奥林匹克(IMO)于1988年7月9日—21日在澳大利亚首都堪培拉举行。在本届 IMO 中,苏联队总分217分名列第一,我国6名队员以201分与罗马尼亚并列第二。这是我国参加 IMO 以来获得的最好名次。据专家们一致认为,今年的题目是较难的。1987年在古巴举行的第28届 IMO 上,只有取得满分(42分)的个人才可获得金牌,而今年奖牌的分布是     

第18届美国数学奥林匹克试题及解答

1.对每个正整数n,令试求整数0相似文献   

第20届美国数学奥林匹克试题及解答

1.对于满足匕A=2艺B,匕C是钝角,三边长a,b,。是整数的△月BC,求周长的最小值并给出证明. 2.对任何非空数集S,令a(S)和二(S)分别表示S中所有元素的和与乘积.求证: ~口(S)_/_,,,_、2.,1,1 、,二粤笔李=l称2+2件l一tl+今+李 ‘曰兀(S)、一/、一23a_b+e乙a+…十令)(·+,),其中“兄”表示对{1,2,…,,}的所有非空子集求和. 5.对于任意固定的整数n)1,求证数列 2 2,22,22,…(modn)自某项后是常数.4.设a==mm+1+”n+1爪m+n其中二,”是正整数.求证: am+a”)mm+n”. 5.设D是已给△ABC的边AB上的动点,E点在该三角形的内部且是△ACD和△BCD内切…     

第24届全苏数学奥林匹克试题及解答

九年级 1.设t为任意实数,求证不等式t~4-t 1/2>0. 2.已知在凸四边形中,过一组对边的两个中点的直线与四边形的两条对角线成等角,求证两条对角线相等.     

第25届全苏数学奥林匹克试题及解答

九年级1.求方程组{x之一Zyt=3,xt+y之=1的整数解. 2.黑板上写有:个实数.允许从中擦去任何两个数,例如a和b,而代以另写的一个数宁(。十“).这科r手续共进行”一‘次,最后黑板上只剩下一个数.证明:如果一开始黑板上写有:个1,那么,在所有手续进行完毕后,黑板上所乘。的那个数不“、于专. 3.在平面上有4条直线,其中任何两条均相交,但任何3条均不共点.于是在每条直线上都交得3个交点,它们从直线上截出两条线段,这样共得到8条线段.试问,这8条线段的长度能否分别等于: (a)1,2,3,4,5,石,7,8? (b)互不相同均自然数? 4.彩票上有依次排列着的50个空格,…     

第19届美国数学奥林匹克试题解答

1.至多可以发行10~5个.我们可以造出10~5个互不相同的五位数证号 a_1a_2a_3a_4a_5.第6位数字 a_6规定为和a_1 a_2十a_3 a_4 a_5的个位数字.这时,如果两个号码的前5位数字 a_1a_2a_3a_4a_5与a_1~′a_2~′a_3~′a_4~′a_5~′中仅有一处不同,那么第6位     

第54届莫斯科数学奥林匹克试题解答

八年级 1.略。 2.都可以。注:本题应将分规理解为两脚间距离l固定的圆规,因而可用其作弧。按题意要求,需求作点A关于点B的对称点A'(亦即点C)。为方便计,将点X关干点B的对称点记作X'。首先,若XB=l,则先以点B为同心,以l为半径作圆,再在圆周上自点X开始相继截3段长为l的弦,即得点X'。以下所作     

第30届国际中学生奥林匹克数学竞赛试题及其解答

、求证、集合{l,2,….198盯可以分为1”个互不相吹的子集A.(i=1,21 17),使得(1)每个班‘含有17个元素;(2)每个月‘中各元素之和相同。 证明、妙二{撇,353,……,,989}由于352-3xzl丫+t,,卿二了6xz17+z,7,从而召中每个元素均可唯一地写辰,。、。+,的形式(其中,簇r(,,7,3《喊叉.)卞面对每个汉,(k二1,?,…,,17),当。为奇时,选取触封吞q;+吞作为刀。的元素;当q为偶时,选取1灯1叮十(l拐,-幻作为A。的元素.此时每个月。中便有了,4个元鬓,且这些元素之和为习r‘,‘·(“‘+,)+‘]+乞[,,7·2‘++(1沈a一k)]=7x 1 18+习‘,7·‘滋‘“,价 再记C={1,2…     

第24届中国数学奥林匹克冬令营试题及解答

一、给定锐角三角形PBC,PB≠PC．设A,D分别是边PB,PC上的点,连接AC,BD,相交于点O．过点O分别作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F,线段BC,AD的中点分别为M,N．     

第6届数学奥林匹克国家集训队选拔试题及解答

第一天(1991年4月17日8:00一12:30)一、设实系数多项式 了(x)二x” 。,x”一‘ … a。的根为实数吞,,bZ,…,乡。,其“},。)2· 试证:对干x>m ax(bl,…,石。),f(x十l)异 Zn之1二1二.,.二、1刀二0,1,2,…。 试证:对任意m任N,都存在厅〔N,使得 二If(f(、))合今d 1 0. 六、将凸多面体的每一条棱都染成红、黄两色之一两边异色的面角称为奇异而角.某顶点A处的奇异面角数称为该顶点的奇异度,记为S*.求证:总存在两个顶点B矛一IC,使得SB S。簇礴.男一乙1牙一瓦x一乡n 二、对i二i,2,…,1991,在圆周上任取”、个点,标上数f,每点只标一个数.要求作…     

第36届国际数学奥林匹克试题

1.(保加利亚)设A,B,C,D是一条直线上依次排列的四个不同的点,分别以AC,BD为直径的两圆相交于X和Y,直线XY交BC于Z,若P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC     

第37届国际数学奥林匹克试题

1.设ABCD是块矩形的板,|AB|=20,|BC|=12。这块板分成20×12个单位正方形。 设r是给定的正整数,当且仅当两个小方块的中心之间的距离等于r~(1/2)时,可以把放在其中一个小方块里的硬币移到另一个小方块中。 在以A为顶点的小方块中放有一     

第42届国际数学奥林匹克试题

1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明:∠CAB ∠COP<90°。 2.对所有正实数a、b、c。证明:     

第40届国际数学奥林匹克试题

第一天 (布加勒斯特,1999—07—16) 1.(爱沙尼亚)确定平面上所有至少包含三个点的有限点集S,它们满足下述条件: 对于S中任意两个互不相同的点A和B,线段AB的垂直平分线是S的一个对称轴.     

第41届国际数学奥林匹克试题

1.圆Γ_1和圆Γ_2相交于点M和N,设ι是圆Γ_1和圆Γ_2的两条公切线中距离M较近的那条公切线。ι与圆Γ_1相切于点A,与圆Γ_2相切于点B,设经过点M且与ι平行的直线与圆Γ_1还相交于点C,与圆     

第38届国际数学奥林匹克试题

第一天 1.(白俄罗斯)在坐标平面上,具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点,这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色(像国际象棋棋盘那样)。 对于任意一对正整数m和n,考虑一个直角三角形,它的顶点具有整数坐标,两条直角边的长度分别为m和n,且两条直角边都在这些正方格的边上。 令S_1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积,S_2则为所有白色部分的总面积。