Echols定理的推广

本文首先给出了复平面内n边形（n≥3）相似的一个充要条件,然后利用此充要条件把平面几何中著名的Echols定理推广到了相似多边形的情形。 Echols于1932年发表了涉及两个以及三个正三角形有关性质的定理,即下面的定理1和定理2这是平面几何中两个著名的定理,统称为Echols定理。     

关于给定有限项的数列的通项公式——也谈数列通项公式的探究

《数学教学》2005年第6期发表的“关于数列的通项公式的探究”一文(以下简称该文)给出了关于给定有限项的数列的通项公式的两个定理,很受启发．本文拟对这两个定理作一些补充和推广．     

函数导数阶数的推广及性质

本文把微积分学中函数的导数阶数推广到了任意的非负实数，讨论了任意阶导数的一些性质，证明了微积分学中的三个中值定理即“洛尔定理”、“拉格朗日定理”、“柯西定理”在导数的阶数推广后仍然成立。     

Gronwall-Bellman不等式

本文把Gronwall不等式与Bellman不等式统一成一个不等式,称为“Gronwall-Bellman不等式”,即定理1;进而得到“推广的Gronwall-Bellmall不等式”,即定理2。并用“推论”的形式获得了几个常用的重要不等式(包括通常的Gronwall不等式与Bellman不等式)。     

时间尺度上的高阶Hopfield神经网络的概周期解

研究了时间尺度上带有连接项和分布时滞的Hopfield神经网络的概周期解.利用时间尺度上动力系统的指数二分性和Banach不动点定理,给出了系统存在唯一的概周期解的充分条件,即系统在满足(H_1)^(H_4)的条件下,进一步假设α<1成立,则系统有唯一的概周期解.这个结果在很大程度上推广和延伸了以前的相关结果.     

Ceva定理在高维空间的推广

本刊1990年自然科学版(自总第9期)发表了徐道同志《Ceva定理的推广》的结果,王伟贤同志来稿指出;1988年12月《美国数学月刊》上刊载的《Ceva定理在高维空间的推广》,从另一角度推广了Ceva定理,得到一个有趣的结论。并寄来了该文的中译稿,现发表如下,以飨读者。     

周期函数的性质

了。有些周期函数有最小正周期,如y=sinx的最小正周期是2π,但有些周期函数却没有最小正周期,如常函数y=c(常数)任何非零常数都是它的周期,怎样的周期函数才有最小正周期呢?下述定理表明,“连续性”是周期函数具有最小正周期的充分条件。 定理2 设f(x)是周期函数,且f(x)是异于常数的连续函数,那么f(x)有最小正周期。 事实上f(x)的“整体连续性”条件还可以被条件“一点连续性”所代替。即,定理2可改成下述命题。     

初中数学第三册教学的一点体会

新编初中数学第三册在第二章第四节(P112)中讲了直角三角形的有关内容,但作为直角三角形中一个较为重要的定理,即:“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”(这个定理的重要性在第三章小结时已指出)这个定理,却是安排在第三章讲了矩形的性质定理2,即“矩形的对角线相等”后作为推论给出的。当然,根据教材上的证明方法,这个定理安排在矩形的性质定理后证明是比较简单的,并且不影响其它教材的内容。但就现在教材的安排,我有这几点体会:(1)既然教材在第二章第四节中专门安排了直角三角形,而作为直角三角形的这     

积分中值定理“中间点”渐近性的又一个注记

在文[1]中给出了积分中值定理“中间点”渐近性的一种推广。本文继续这一工作,给出了更广泛的积分中值定理“中间点”的渐近性质。     

具有超线性性质的非自治微分方程的周期解

研究了具有形式x'(t)=- n-1Σk=1 f(t,x(t-kr))的非自治时滞微分方程周期解的存在性,其中r>0是一个给定的常数,f∈C(R×R,R)对变量x是奇的,对变量t是r-周期的,而且在原点和无穷远处满足超线性性质.首先将此方程转化成一个与之等价的哈密顿系统,然后研究了哈密顿系统的周期解的存在性.哈密顿系统的周期解由一个定义在Hilbert空间上的变分泛函ψ(z)的临界点获得,即使得ψ'(z)=0的点.运用临界点理论中的一个环绕定理,得到此变分泛函的临界点的存在性.从而建立哈密顿系统以及与之等价的时滞微分方程的周期解的存在性定理.     

“沙塔洛夫教学法”没有突破传统教学法的范畴

苏联教育家B·沙塔洛夫的教学法(简称沙氏教学法)传入我国,并在某些学校的应用中取得局部成功后,教育界有人断定:这一方法突破了传统教学法的范畴。但是,从本质上讲,这一方法仍没有摆脱传统教学法的框框,只是在形式上有些新意而已。“沙氏教学法”的主要精神体现在它的关于课堂讲授和复习巩固的六个阶段上。这六个阶段是: 1、教师按教材内容详细讲解; 2、出示“纲要信号”图表进行第二次     

随机过程一阶概率分布函数的遍历性

提出了随机过程一阶概率分布函数具有遍历性的一个充分必要条件(定理1和推论1),并在较弱条件下,对一般的关于随机变量函数分布定理作了进一步的推广(定理2)。利用这些结果,讨论了随机初相位周期过程一阶分布函数的遍历性(推论2)。最后,作为应用,用具有一维均匀分布的随机过程构造了一种白噪音模型。     

中国剩余定理与同余式组

“中国剩余定理”是初等数论中一个很重要的定理,同时在抽象代数中占有很重要的地位。最近,匡正从组合学的角度给出了两个模的情形下的“中国剩余定理”一个证明。作者利用这个方法证明了一般情形下（即k（k≥3）个模的情形）的“中国剩余定理”,同时给出了一次同余式组的一种较为简捷易懂的解法。     

二阶非线性Duffing方程的周期解的存在性

利用指数型二分性和不动点原理研究广义Duffing方程x” g(x)=h(t,x)周期解,只需要求g(x)在局部区域内为负,且h(t, x)有界这样较弱限制下,得到方程的周期解存在性的判别法．定理推广了已知结果,同时可利用该方法研究其它系统周期解的存在性．     

完全平方数对半和性质的推广

文 [1 ]中的定理 1推广了印度数学家Ｊ·Ｖ·ｃｈａｕｄ ｈａｒｉ和Ｍ·Ｎ·Ｄｅｓｈｐａｎｄｅ在 1 996年 2月发现的“漏网之鱼”这一规律 ,回答了戴宏图先生提出的问题[2 ] ,也推广了美国俄亥俄州数学家ＯｗｅｎＴｈｏｍａｓ在 1 996年 9月所获得的结论[3] ,定理 2和定理 3各自又得到了一类有趣的连续数组 .本文通过两个定理将文 [1 ]中ｋ2 的有关性质推广到ｋｎ.设ｋ是一个ｔ位自然数 ,即 1 0 ｔ- 1≤ｋ <1 0 ｔ,若ｎ∈Ｎ ,那么 1 0 ｎ(ｔ- 1) ≤ｋｎ<1 0 ｎｔ,ｋｎ=ｍ1·1 0 (ｎ- 1)ｔ ｍ2·1 0 (ｎ - 2 )ｔ ｍ3·1 0 (ｎ- 3)ｔ … ｍ…     

“弦高定理”的推广与应用

本文打算把平面几何中的所谓“弦高定理”(引理1)推广,得出解析几何中求点到平面的距离公式的一种新方法,进而把这一方法推广到n(>3)维空间中去。     

脍炙人口的“斯坦纳—雷米欧司”定理

“两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形”,这就是由雷米欧司提出而由斯坦纳首先证明的闻名全球的“斯坦纳—雷米欧司”定理.1840年,德国数学家雷米欧司在给当时的瑞士大数学家斯坦纳的一封信中说到:“几何题在没有证明之前,很难说它是难还是容易.等腰三角形的两底角平分线相等,初中生都会证.但反过来,三角形的两内角平分线相等,这个三角形一定是等腰三角形吗?我至今还没想出来.”斯坦纳答应研究这个问题,但是,直到1844年,斯坦纳才发表这个定理的证明方法.于是,这个问题便以“斯坦纳—雷米欧司”定理而闻名于世.斯坦纳的证明发表后,引起数学界的极大反响.论证这个定理的文章发表在1844年至1864年几乎每一年的各种杂志上.后来,一家数学刊物公开征解,竟然收集并整理出了60多种证法,编成了一本书.直到1980年,美国《数学教师》月刊还给出了这个定理的研究现状,而且他们又收到2000多封来信,增补了20多种证法,其中包括一个最简单的直接证法.经过几代人一百多年的研究“,斯坦纳—雷米欧司”定理成为数学百花园中最惹人喜爱的名花之一.“斯坦纳—雷米欧司”定理为何魅力无穷?一方面,它是初中教材上的最基本、最常用、最简单的定理之一——“等...     

杜洛斯——凡利圆的推广

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了如下两个奇妙的共圆点定理:定理1在三角形中,以高的垂足为圆心,作通过外心的圆,与垂足所在的边相交,则这样得到的6个交点在同一个圆上,圆心是这三角形的垂心.定理2在三角形中,以各边的中点为圆心,作通过垂心的圆,与这条边相交,则这样得到的6个交点在同一个圆上,圆心是这三角形的外心.这两个定理中的“6点圆”,都称为杜洛斯——凡利(Droz—Farny)圆.有趣的是,对于同一个三角形来说,这两个“6点圆”还是等圆!本文拟将定理1和定理2推广到一般圆内接闭折线中.为了叙述简便起见,本文约定:(i)符号A(n)…     

孙子定理

初等数论中的“孙子定理” (西方称为“中国剩余定理”),是中国古代《孙子算经》中的一个涉及一次同余式组及其解法的题目,即所谓“物不知数”问题。本文由“物不知数”谈到南宋秦九韶的“大衍总数术”和清代的“求一术通解”,其间约1500年。对于关心这个问题的读者从数学史的角度了解这一优秀成果的沿革,本文将很有助益。     

Stolz定理的应用和推广

给出了Stolz定理的应用以及推广形式,“推广定理”的合理性证明以及对Stolz定理和L’Hospital法则的推导证明。推导过程系统、严谨,从而有效地驾起了Stolz定理和L’Hospital法则联系的桥梁。