数的整除特征

一个整数A能被自然数B整除的特征,就是A能被B整除的充要条件。能被2,5,4,25,8,125,3,9,7,11,13整除的数的特征是人们熟知的我们进一步问:能被17,19,23,29,31,37,41,43,47,…这些自然数整除的数的特征又是什么呢?如果弧立地一个一个去研究,那么得出的结论必然太多,难于记住,价值也就不大了,于是,笔者把大于5的质数分成个位为1,3,7,9四类,研究能被每类质数整除的数的统一特征,获得了四个一般性的结论,从而不只从理论上而且从实践上一举解决了怎样判断一个整数能被大于5的任何一个质数整除的问题。     

用整除性质巧解奥赛题

将两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由17,19可得到一个四位数1719;由19,17也可得到一个四位数1917。已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这样的四位数。(2004年全国小学数学奥林匹克决赛试卷第10题)这道题,许多学生采用了列举法解答。由于两位质数较多,通过一一列举、验证,所需时间较长。如果利用整除的性质进行解答,则可简化解题步骤。解:设符合条件的两个两位质数分别为A、B。依题意,A×100+B必须能被A+B2整除,而A×100+B=A×99+(A+B),在A×99+(A+B)中,(A+B)能被A+B2整除,根据整除的性…     

小学数学教学问答

1.为什么不把“1”也归入质数一类? 全体自然数可以分成三类:一类是质数;另一类是合数;“1”既不算质数,也不算合数,单独算一类。质数只能被1和它本身整除,而合数还能被其它数整除,所以把质数和合数分成两类的理由很充足。“1”也能被1和它本身整除,如果把“1”也算作质数,那么把自然数分成质数和合数两类,不是更好吗? 要回答这个问题,让我们先从一个小例子谈起。比如说,2618能够被哪些数整除,也就是说,2618的因数有哪一些。我们知道,可以把合数分解质因数,而且分解质因数的结果只有一种。2618分解质因数的结果是2618=2×7×11×17。 现在我们再来看看,如果“1”也算作质数,那么把一个合数分解成质因数的时候,它的答案就不止一个了。     

质数与合数

一个大于1的自然数，如果它只能被1和本身整除，那么就称这个自然数为质数(也称素数)；如果它不仅能被1和本身整除，而且还能被其他的自然数整除，那么称这个自然数为合数；1既不是质数，也不是合数．这样，就把全体自然数分成为：1、质数和合数三类．质数和合数是有关自然数的又一重要概念，由于质数分布的不规则性，     

质数、合数、公约数、公倍数问题选讲——初一数学竞赛系列讲座(4)

上小学的时候,我们就知道所有的非零自然数可以分为自然数单位1、质数(素数)和合数三类,注意1既不是质数,也不是合数.100以内的质数,从小到大依次是:2,3,5,7,11,13,17,19,…,83,89,97.质数的个数是不是有限多的呢?在解决这个问题之前,先来看看另一个问题:怎样判断一个已知自然数是不是质数.比如,221是不是质数?你一定会按照下面这个步骤去判断:先用最小的质数2去除221,不能整除;再用3去试试,还是不行;再依次用5,7,11试试,还是不行;13呢?行!221=13×17,所以221不是质数,而是合数.所以,判断一个数是不是质数,只需用比这个数小的所有质数,依次…     

一九八六年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、1。解设护+Px+q=O的二根为a,Za。则3a二一P且2a2=口。消去a得2至2二9叮. 2。解设AC=BC=1,则AB=了丁。圆内角为钝角, 今1一2丫S△ABC=S扇形ADF、巴AD,= 吕AD又丫AD.’. AD 2了兀.:DB二AD:(AB一AD),:DB=(、/2万+2):(兀一2)。 3解任取自然数P、魔术数N.设N为m位数,并将接写后的数记作PN,则PN=P xl。市十N。,.’卢为能被N整除乡尸x10,能被N整除..’.N为魔术数的条件是1。,能被N整除。二当m=1时,N=1、2、5; m=2时,N=10、20、25、50; m=3且N<130时,N二一00,125。.’.小于130的魔术数有九个. 4。解,.’ mn=(aZ+b’)(c’+…     

用“割尾法”判断整除性溯源

判断自然数 N 能否被自然数 b 整除,有一种方法是“割尾法”,它分“割尾相加”与’割尾相减”两种。如判断一个数能否被19整除,用“割尾相加法”,去掉此数的末位数,再从剩余部分组成的数里加上割去数的2倍。如此继续。若最后结果能被19整除,则该数就能被19     

问题1.5参考答案

问题若整数a,b,c,d,m使am3+bm2+cm+d能被5整除,且数d不能被5整除.试说明:总可以找到这样的整数n,使dn3+cn2+bn+a也能被5整除.解数m不可能被5整除.否则,设m能被5整除,则由am3+bm2+cm+d=m(am2+bm+c)+d知,数d也能被5整除,这与已知(d不能被5整除)矛盾.因此,数m可表示成5k+r的形式,其中k是某整数,r是小于5的正整数.当r等于1,2,3,4时,相应取n分别为1,3,2,4.这时,积mn被5除总是余1.设A=am3+bm2+cm+d,B=a+bn+cn2+dn3.由此二式消去d,得An3-B=a(m3n3-1)+bn(m2n2-1)+cn2(mn-1)=(mn-1)[a(m2n2+mn+1)+bn(mn+1)+cn2].因为mn-1能被5整除,即对所选的数n,差…     

关于数的整除性的判别法

关于自然数N和D,如果存在着一个自然数q,能使等式N=Dq成立,那么我們称N能被D整除,为了要知道N能否給D整除,当然只要除一除就解决了。但如果我们希望不通过除的实踐,也要确定一个数能否給另一个数整除,我們就要研究整除性的判別法。以下为敘述方便起見,我們采用符号a:b表示a能被b整除,a不:b表示a不能被b整除。     

一类高次方程根的性质的证明

1.在方程x~3+lx~2+mx+n=0中,系数l、m、n都是自然数旦分别能被自然数p、p~2p~3整除,方程的根为α、β、γ,则对于任何自然数k,α~k+β~k+γ~k为整数,且能被p~k整除。 2.在方程x~4+lx~3+mx~2+rx+q=0中,系数l、m、r、q都是自然数且分别能被自然数p、p~2、p~3、p~4整除,方程的根为α、β、γ、δ,则对于任何自然数k,α~k+β~k+γ~k+δ~k为整数且能被p~k整除。一般的有: 3.在方程x~n+α_1x~(n-1)+α_2x~(n-2)+…+a_(n-2)x~2+a_(n-1)x+α_n0中,系数α_1、α_2、…、α_都是自数然且分别能被自然数p、p~2、…、p~n整除。方程的根为x_1、x_2、…、x_n,则对于任何自然数k,x_1~k+x_2~k+…+x_a~k为整数且能被p~k整除。     

能被末位是3的自然数整除的整数特征

贵刊1993年第5期刊载过《能被末位是9的自然数整除的整数的特征》一文,本文特给出能被末位是3的自然数整除的整数的特征,以供读者在教学和研究中参考.定理能被自然数10n 3(n 为非负整数)整除的整数的特征是:这个数的末位数的(3n 1)倍与它的末位以前的数字所表示的数     

数学名词解释

1.素数 在自然数中只能被1和它本身整除的数(1除外)称为素数(又叫质数).如:2、3、5、7、11、13、17……等.2.合数 在自然数中,一个数除了能被1和它本身整除外,还能被其它数整除,这个数称为合数,如:4、6、9、12等.3.黑洞数 一种“排序求差”运算,屡次进行后最终所得的结果.所谓“排序求差”即将一个数的各位从大到小排列,所得数减去从小到大排列的数.例如:1341,排序求差,即4311-1134=3177;再排序求差:7731-1137=6354;6543-3456=3087;     

整数整除整数的特征

<正> 一个整数A整除另一个整数B,就是用A去除以B所得的余数为零,即:B=K·A(其中K为整数)。而当B=K·A时(A、B、K均为整数),对于不同的A,B中的各位数字及其它性质与A又有着特殊的关系;反过来,可以从这种特殊的关系中,较容易地判断出B是否能被A整除,从而避免冗繁的除法运算。这里给出整数整除整数的判别方法。 任何一个整数,要么可以表示为2n+1,即为奇数,要么可以表示为2~n,要么可以表示为2~K(2m+1),(其中n、K、m均为整数),后两者即为偶数。而研究整数,只须从这三方面入手即可。 定理1 能被奇数2n+1整除的整数10a+b(其中n、a为整数,b为一位整数)的特征是:这个数10a+b的末位数b以前的数字所表示的数a的5倍与b的n倍之差能被2n+1整除。反之亦然。即:若10a+b能被2n+1整除,则有5a-nb能被2n+1整除;若5a-nb能被2n+1整除,则有10a+b能被2n+1整除。     

单元测试卷(函数概念与基本初等函数Ⅰ、导数及其应用)

一、选择题:1.下列函数中值域是(0, ∞)的函数是()A.y=521-x B.y=21x-1C.y=1-2xD.y=121-x2.有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的26个字母(不论大小写)a,b,c,…,z依次对应1,2,3,…,26这26个自然数(见下表):a b c d e f g h i j k l m12345678910111213n o p q r s t u v w x y z14151617181920212223242526现给出一个将明文转换成密文的变换公式:x′=x 12(x∈N*,x≤26,x不能被2整除),x2 13(x∈N*,x≤26,x能被2整除),如:8→28 13=17,即h变成了q;5→52 1=3,即e变成c.按此规定,若将明文译成密文后是shxc,那么原来的明文是()…     

由1001的特征谈起

你注意过1 001这个数的特征吗? 1 001能同时被7、11、13这3个质数整除,这是因为1 001一7又11又13的缘故. 由于1991又1001一1992991,所以1992991)也能同时被7、n、13这3个质数整除. 能同时被7、11、13整除的数,如上面的两数,有什么特征呢? 我们可以分别将每个数以千进位自右向左分节,然后分别求出奇位千进位之和与偶位千进位之和,从比较这两个和的关系出发,去寻找整除的特征. 表1┌───────┬──────┬──────┐│ │1 992 991 │1 993 992 │├───────┼──────┼──────┤│分节 │1,992,991 │1,993,992…     

组合式sum from k=1 to n((-1)~kK~mC_n~k(m∈N))的计算

引理1 当m相似文献   

小于2012的自然数中,“魔术数”有多少个?

将自然数N接写在每一个自然数的右面,如果得到的新数都能被N整除,那么称N为"魔术数"。在小于2012的自然数中",魔术数"有几个?解:由题知:N接写在任意一个自然数X右面得新数XN。(1)若N是一位数,则     

一个涵盖广泛的整除性定理

在数的整除性问题研究中,有一个重要的定理,本文以它作为引理:如果两个数中的一个数能被一自然数整除,那么这两个数的和(或差)能被这个自然数整除的充要条件是另一个数也能被这个自然数整除。由这个引理可推出能被2(或5)、4(或25)、8(或125)、3(或9)、11以及7、11、13整除的数的特征。引理本身以及由它推出的能被这些数整除的数的特征,有     

应用概率巧解题

一、证明不等式例1 正数a,b,C,A,B,C满足条件a A=b B=c C=k,求证:aB bC cA相似文献   

《数的整除》教材浅析和教学建议

一、教材浅析五年制小学数学第八册第三单元数的整除包括约数和倍数,能被2、5、3整除的数,质数和合数,最大公约数,最小公倍数五小节。其知识结构是: 本单元的教学要求:(1)了解自然数和整数的意义,理解数的整除、约数和倍数、质数和合数的意义,掌握能被2、5、3整除的数的特征,学会分解质因数的方法。(2)理解公约数和最大公约数,公倍数和最小公倍数,并能熟练地求出几个数的最大公约数和最小公倍数。本单元的教学重点是求最大公约数、最小公倍数。