关于数论函数方程d（n^m）＝kd（n）解的探讨

本文用构造法指出：若E←k0∈N使方程d(n^m)那么方程d(n^m)＝(m‘k0-1)d(n)必有解。另一方面，给出方程d(n^m)＝kd(n)有解关于k的密率的定义，证明1imx→∞r(2，x)＝0．5等，提出了两个猜想。     

关于Euler函数的例外值（二）

本对于适合8││n的正整数n,给出了n是Euler函数例外值的充分必要条件。     

关于Smarandache函数和Euler函数的方程S(n~(11))=φ(n)的解

设n表示任意正整数,S(n)和φ(n)分别表示关于n的Smarandache函数和Euler函数.主要利用分类讨论和初等方法,对S(n11)=φ(n)进行了研究,获得了该方程的所有正整数解.     

关于数论函数方程φ（n）=S（n^t）

对正整数n,设φ（n）和S（n）分别是n的Euler函数和Smarandache函数.本文应用函数的单调性证明了,方程φ（n）=S（nt）,当t=6时方程仅有解n=1,81,96,169,338.     

关于数论函数方程φ((ψ(x))y)=xy

对于正整数k,设φ(k)和ψ(k)分别是k的Euler函数和Dedekind函数.证明了方程φ((ψ(x))y)=xy仅有正整数解(x,y)=(1,t),其中t是任意正整数.     

一个包含Smarandache函数与Euler函数的方程

对于著名的F．Smarandache函数S（n）以及Euler函数φ（n）,在n为无平方因子数的条件下,利用初等方法研究了方程∑d｜n S（d）=φ（n）的可解性问题,并证明了不存在无平方因子数n满足该方程.     

关于方程φ(x)=2t

设t是正奇数.本文给出了方程φ(x)=2t的全部正整数解x,其中φ(x)是Euler函数.     

Diophantine方程xn+yn=zφ(n)的本原解

设n是正整数,φ(n)是Euler函数.证明了方程xn yn=zφ(n)当且仅当n≤3时有正整数解(x,y,z)适合gcd(x,y)=1.     

含五个未知函数的方程f_1~(20)+f_2~(20)+f_3~(20)+f_4~(20)+f_5~(20)=1的非平凡整函数解

利用亚纯函数值分布论的思想方法,对函数方程f201+f202+f203+f204+f205=1的非平凡整函数解的存在性问题进行了研究,得到一个定理。     

一类线性函数方程Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)的求解补注

一类线性函数方程Af(x)+Bf(φ(x))=g(x)在高中数学竞赛中较为常见,以往研究者主要探究了在非奇异(A²-B²≠0)情形下的代换解法,而对于奇异(A²-B²=0)情形没有涉及,本文补充讨论了该函数方程在奇异情形下存在解的必要条件,以及特殊解的构造,并给出了一般解的求解方法与示例.     

关于函数方程ψ(n~(x+y))=n~xψ(n~y)+n~yψ(n~x)

对于正整数k,设ψ(k)是k的Dedekind函数.本文证明了方程ψ(nx y))=nxψ(ny) nyψ(nx)无正整数解(n,x,y).     

方程φ(kn)=φ((k+1)n),(k=1,2,…)的正整数解

φ (m)是Euler函数。本文根据Euler函数的性质 ,给出了方程 φ (kn) =φ ((k +1 )n) ,(k =1 ,2 ,… )解的存在性 ,并推广到更为一般的结果 :方程 φ (k1n) =φ (k2 n) (k1,k2 均为自然数 )解的存在性。     

关于方程α2(k+2,s(n))=α2(k+1,s(n))+α2(k,s(n))的正整数解

对任意正整数a,设S(a)为a的Smarandache函数,对任意正整数r和b,设a(r,b)是b的前r位数字所组成的数。2001年,Bercze提出了一个问题:如何确定方程a2(k 2,s(n))=a2(k 1,s(n)) a2(k,s(n))n,k∈N的所有解。更进一步,Bercze又提出另一个问题:设β(r,b)是b的后r位数字所组成的数,如何确定2β(k 2,s(n))=β2(k 1,s(n)) β2(k,s(n))的所有正整数解(n,k)。运用丢番图方程的相关知识,完整地解决了Bercze所提出的两个问题,即证明了方程(1)没有正整数解(n,k),同时确定了方程(2)的所有正整数解(n,k)。