2013年新课标高考数学试题理科21题

题目 已知函数f(x)=ex-ln(x+m). (Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)＞0. (Ⅰ)略. (Ⅱ)解法1 当m≤2,x∈(-m,+∞)时,恒有ln(x+m)≤ln(x+2),即只需证明m=2时成立,即ex-ln(x+2)＞0即可. 即证明ee|-x-2 ＞0. 设g(x)=eex-x-2,g’(x)=ex+ex-1, 因为g″(x)=ex+ex(1+ex)＞0,知g’(x)在(-2,+∞)上为单调递增函数.     

解“恒成立”问题的几种常用思路

“恒成立”问题是数学高考中的常见题型,这类问题综合性强,常涉及换元、化归、数形结合等数学思想方法,该类型问题也常在函数、方程、不等式等知识交汇处命题,而且题中常出现字母参数,对字母参数的处理即是此类问题的难点,也是关键点.下面举例介绍恒成立问题中几种常用的解题思路.例1.设f(x)=1g1+2x+4xga3(a∈R),如果x∈(-∞,1)时,f(x)有意义,求a的取值范围.解一、(方程思想)由已知得:要使x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,即1+2x+4xga3>0对一切的x∈(-∞,1)恒成立.设2x=t,由x∈(-∞,1)知,00对一切的t∈(0,2)都成立当a=0时,有1>0,满…     

例谈七种可以避免讨论的常见题型

<正>"分类讨论"是一种重要的数学思想,但有些问题若能克服思维定势,变换思维角度,往往可以避免分类讨论,从而使问题的解决更为简洁,提高解题的速度和准确度.以下列举了七种可以避免讨论的常见题型,供大家参考.一、变换类型避免讨论例1当x∈(1,3)时,不等式x²+mx+4>0恒成立,求m的取值范围.分析:一般解法根据抛物线的图像,在x∈(1,3)这一段位于x轴上方来确定m的范围.但由于抛物线的对称轴不确     

警惕高中数学题中的那些“陷阱”

<正>易错点1端点值处最易出错的三种情形1.一元二次不等式恒成立类问题例如:设(fx)=x2-2ax+2ax+2(a∈R),若当x∈R时,不等试f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.分析:当x∈R时,f(x)≥a恒成立,即当x∈R时,x2-2ax+2-a≥0恒成立。∴△=4a2-4(2-a)≤0(易错为)△<0),所以-2≤a≤1。2.使用最值原理时的端点值问题例如:若k>13x3-4x当x∈(2,3)恒成立,求k的取值范围。分析:由导数分析可知,当x∈(2,3)时f(x)=13x3-4x单调递增,故k应大于f(x)的最大值,而由于     

用分离参数法确定有解或恒成立的含参不等式的参数范围

如何确定恒成立或有解的不等式中参数的范围是一个难点 ,如果能将参数分离出来 ,再运用有关的函数方程等知识可以较好解决 .下面分情况说明 .一、a 0在 | x|≤ 2时恒成立 ,求 m的范围 .解 :原不等式等价于 ( x2 - x + 1) m 0 ,m f ( x…     

函数构造思想解题的几种策略

构造函数解题需要较强的创新意识,是高考改革的方向,本文愿就此抛砖引玉．一、构造一次函数y=kx+b(k≠0) 例1 设a,b,c∈(-1,1),求证:ab+bc+ca>-1. 解析作辅助函数f(x)=(b+c)x+bc+1．因为f(1)=(b+1)(c+1)>0,f(-1)=(1-b)(1-c)>0,所以在(-1,1)上恒有f(x)>0．又-10,即原不等式成立．例2 设不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m恒成立,求x     

与“恒”有关的问题探究

在研究解决函数、数列等问题的过程中,经常出现与“恒”有关的问题,为了恰当解决此类问题,笔者通过典型例题认真剖析、反复探究,提出如下规律、方法:例1已知m∈R,设P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的两个实根,不等式｜m2-5m-3｜≥｜x1-x1｜对任意实数a∈[-1,1]恒成立;Q:函数f(x)=x2+mx2+(m+4/3)x+6在(-∞,+∞)上有极值.求使P正确Q正确的m的取值范围.     

运用定比分点公式巧解(证)双连不等式

双连不等式是不等式组的一种表达形式 ,在解双连不等式时一般是利用解不等式组的方法来求解 .若能灵活运用定比分点公式求解则十分简洁 ,事半功倍 .设P1 (x1 ,y1 ) ,P2 (x2 ,y2 ) ,P(x ,y) ,P1 P =λ PP2 ,则x =x1 λx21 λy=y1 λy21 λ且λ =x-x1 x2 -x =y-y1 y2 -y,其中P内分P1 P2 时λ >0 ;P外分P1 P2 ,λ<0 ;P与P1 重合时 ,λ=0 ;P与P2 重合时 ,λ不存在 .例 1　解不等式 12 相似文献   

不等式恒成立求参数的取值范围

1参数分离法例1设()lg[(239)/7]xxxfx= ?c在(]?∞,1上有意义,求实数c的取值范围.解由题设可知,2390xxx ?c>对x∈(]?∞,1恒成立.即(2/9)(1/3)xx??g(x),即c>g(1)=(?2/9)?(1/3)=?5/9,即c的取值范围是(?5/9, ∞).2判别式法例2如果不等式22221463xmxmxx <对一切实数x均成立,则实数m的取值范围.解∵224x 6x 3=(2x 3/2) 3/4>0对一切x∈R恒成立,从而原不等式等价于22x 2mx m<24x 6x 3(x∈R)恒成立,即2…     

借分点公式解一类不等式

定理对x∈(x1,x2)存在一个正数λ,使x=x1 λx21 λ.证明:充分性(存在一个正数λ,使x=x11 λλx2x∈(x1,x2))的证明,由x10并借助根域法(-2x2-x 4=0的两根为-1±433,x2 3x-1=0的两根为-3±213)可解得x∈-3…     

数形结合思想在解题中的应用举例

一、解函数题例1.方程lgx+x-3=0的解x0所在区间为以下选项中的哪一个?A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,∞)解析:如图1,先构造函数f(x)=lgx与g(x)=3-x并作出它们的图象,如图1可知可以确定x∈(1,3),但f(2)-g(2)=lg2-1<0,即x=2时,f(x)2.同理:f(3)-g(3)=lg3-0>0,即x=3时,知f(x)>g(x),∴x0<3.∴答案为C.例2.求函数y=x√+1-x√的值域.解析:作y1=x√,y2=1-x√的图象,如图2,由函数图1的定义域为[0,1]和图象知:函数在x=0,x=1时,有最小值1;在x=12时,取最大值2√.(对称性图象)∴函数的值域是[1,2√].二、解不等式例3.求不等式5-4x-x2√≥x解集.图2…     

另类“恒成立”与“有解”问题——对《新高考试卷中的全称量词和存在量词》的补充

文[1]中,作者就新高考中与全称量词“”、特称量词“■”有关的不等式及方程问题作了系统的整理与区分.因为此类问题经常涉及到诸如“已知不等式恒成立,或不等式、方程有解,求参数的取值范围”等问题,我们不妨将其称之为“恒成立”问题与“有解”问题.受文[1]的启发,结合自己的思考,笔者对文[1]作一点补充,以更全面地认识此类问题.“恒成立”问题与“有解”问题的处理思路是将其等价转化为与函数最值或值域有关的问题.当函数的最大或最小值不存在时,该如何思考例1(文[1]中例1改编题1)x∈(1,2),12x2-lnx-a>0,则实数a的取值范围是.分析x∈(1,2),12x2-lnx-a>0x∈(1,2),a<21x2-lnx.当x∈(1,2)时,f(x)=21x2-lnx递增,其值域为12,2-ln2,故a≤21.注文[1]中例1“x∈[1,2],12x2-lnx-a>0”,此时函数f(x)=21x2-lnx值域为12,2-ln2,从而a<12.(文[1]中答案有误)例2(文[1]中例1改编题2)x∈(1,+∞),21x2-lnx-a<0,则实数a的取值范围是.分析x∈(1,+∞),21x2-lnx-a<0x∈(1,+...     

一类无理不等式的三角解法

三角代换在代数中有广泛应用,本文举例说明它在解一类无理不等式中的应用。 [例1] 解不等式(2x+5)/~(1/2)>x+1(85高考题) 解:由2x+5≥0得x≥-5/2,当-5/2≤x≤0时,设x=-5/2sin~2θ,θ∈(0,π/2),不等式化为5cos~2θ-2(5~(1/2)cosθ-3<0。此不等式对θ∈[0,π/2]恒成立,∴-5/2≤x≤0是不等式的解。当x>0时,设x=5/2tg~2θ,θ∈(0,π/2),则不等式化为5sec~2θ-2(5~(1/2))secθ-3<0,解得1相似文献   

2005年中国数学奥林匹克试题及略解

第一天 郑州1月22日上午8:00～12:30 (每题21分) 一、设θi∈(-π/2,π/2),i=1,2,3,4.证明:存在x∈R,使得如下两个不等式 cosθ1cosθ2-(sinθ1sinθ2-x)2≥0,① cosθ3cos2θ4-(sinθ3sinθ4-x)2≥0,②     

数学竞赛单元训练题(高中) 不等式的解法

一、选择题1 若关于x的不等式 |x -1 | |x -2 |≤a2 a 1 (a∈R)的解集是空集 ,则a的取值范围是 (　　 ) .A ( 0 ,1 )　　　　B ( -1 ,0 )C ( 1 ,2 )　　　　D ( -∞ ,-1 )2 设命题 p :关于x的不等式a1x2 b1x c1>0与a2 x2 b2 x c2 >0的解集相同 ;命题 q :a1a2=b1b2=c1c2.则 p是 q的 (　　 ) .A 充分不必要条件　B 必要不充分条件C 充要条件　　　　D 既不充分也不必要条件3 不等式1 -x21 x2 -x1 x2 >0的解集是 (　　 ) .A ( -∞ ,0 )　　　　　　B ( -1 ,12 )C ( -∞ ,33 )　D ( 12 ,33 )4 已知 f[lg( 1 tan2 x) ]=cos 2x ,…     

指数函数与对数函数问题错解分析

一、求解有关函数定义域的问题时出现错误例1已知函数f(x)=loga(-x2 log2ax)的定义域为(0,21),则实数a的取值范围是________.错解由函数f(x)=loga(-x2 log2ax)的定义域为(0,21)可知,当x!(0,21)时,-x2 log2ax>0恒成立,即关于x的不等式log2ax>x2在(0,21)上恒成立.令y1=log2ax,y2=     

巧求一元二次方程的公共根

在中考数学试卷中和中考数学复资料中,常常碰到一元二次方程公共的问题.在求这类问题时,一般的方是应用方程的根的定义,并借助方程的相关知识加以解决.现向同学们绍一种巧求的方法.例1 方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0有一个公共根,求这个公共根m的值.解:设这个公共根为α,则α2+mα+6=0 (1)α2-(m+4)α-12=0 (2 ) (1) + (2) 得:2α2- 4α-6 = 0,即α2-2α-3=0,∴α1= -1,α2=3.当α=-1时,m = 7,当α= 3时,m =-5. ∴方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0 . 当m = 7时,公共根是-1;当 =-5时,公共…     

解不等式恒成立的两大思想方法

不等式恒成立 ,求参数的取值范围”是不等式中一大题型 ,因不等式的千姿百态 ,因此常令学生不知如何着手解决 ,本文介绍处理这类问题的两大思想方法 .1　函数思想若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )在区间 A上恒成立 ,则只需 f (x) min >0 (或 f (x) m ax <0 ) .说明 :若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )能分离变量化为 :g(a) 2时 ,不等式 x2 + ax + 8>0恒成立 ,求 a的取值范围 .解法 1 :令 f (x) =x2 + ax + 8,当 -a2 ≤ 2即 a≥ -4时 ,f (x) >2 2 +2 a + 8=1 2 + 2 a.由题意有 :2 a + 1 2≥ 0…     

构造函数求解恒成立问题

求解恒成立问题时,可构造我们熟悉的函数类型,然后根据函数的性质解题·求解时经常要应用变量分离的方法,应用这一方法的关键是分清参数与变量·一、构造一次函数型y=ax+b例1若不等式2x-1>m(x2-1),对满足|m|≤2的所有m都成立,求x的取值范围·解:视m为主元,构造一次型函数g(m)=(x2-1)m-(2x-1),原题即对满足|m|≤2的m,g(m)<0恒成立·由函数图象是一条线段,知应g(-2)<0,g(2)<0,即-2(x2-1)-(2x-1)<0,2(x2-1)-(2x-1)<0·解得-12+7相似文献   

一元一次不等式的应用

学习不等式,重要的是灵活运用它来解决各种实际问题.一元一次不等式在解题中的应用,常见的有以下几类.一、比较两个代数式的大小例1比较x2-x 3与x2-3x 9的大小.解:(x2-x 3)-(x2-3x 9)=2x-6.当2x-6>0,即x>3时,x2-x 3>x2-3x 9;当2x-6=0,即x=3时,x2-x 3=x2-3x 9;当2x-6<0,即x<3时,x2-x 3相似文献