搭桥术的“桥”是如何找到的？

文献[1]提出,为解决纷繁杂难的对称不等式证明问题,通过寻求适当的“桥”一“零件不等式”,然后进行简单的“叠加”,便可以获证。这种方法可以解决很多不等式难题。但是要解决这类问题,首先要能找到适当的“桥”,那么这些“桥”是怎么找到的呢？     

通过构造“零件不等式”证明不等式

不等式的证明已成为各类数学竞赛命题的热门内容之一,证明不等式有很多方法和技巧。本文介绍一种证明对称不等式的方法：先构造若干形式较简单的不等式,再将它们累加（或累积）即得所证不等式．这好比工业上制造复杂机器,先制造出零件,然后将它们组装便成了人们所需要的机器。因此,我们把先构造出的简单不等式称为“零件不等式”,把这种证明不等式的方法称为“构造零件不等式法”。下面,我们通过范例来说明如何用“构造零件不等式法”来证明对称不等式。     

关于均值不等式证明的“三凑”

在学习或复习均值不等式的证明时，我们很多学生知道均值不等式的使用关键是把握好“一正，二定，三相等”的三要素，但一触及到具体问题我们很多学生对三要素的含义往往就理解不了，使用不上，甚至有时不知道如何入题．事实上，均值不等式仅由“和，积和不等号(关键是不等号中等于号)”三部分组成，为了使同学们更灵活的理解和运用均值不等式，下面笔者谈谈均值不等式使用时的“三凑”。     

局部换元法求解一类多元“根式和”问题

在各级各类竞赛中,经常出现目标式为关于多个变量的“根和式”的不等式证明或求最值等一类问题.这类问题结构简明,形式优美,但内涵丰富,抽象程度高,综合性较强,探究这类问题的解法颇有必要.本文通过具体实例介绍运用“局部换元”方法求解数学竞赛试题.     

“连不等式”的一种新证法

形如a相似文献   

“不等式恒成立问题”求解中的几个抓手

恒成立问题是高中数学中的一个热点,而不等式更是高考的重点,有人说“不等式恒成立问题”是高考的兴奋点,这不无道理．但此类问题解法灵活、综合性强,部分学生常感到无从下手,茫然不知所措,那么到底如何解决这类问题呢？实际上只要紧紧“抓”住这类问题求解中的几个“抓手”,求不等式恒成立问题就会迎刃而解．本文试对这类问题作一些归纳和总结,以飧读者．     

“不等式（组）与方案探究型”中考试题例析

用不等式(组)来探究解决实际问题方案的利弊，选择或设计最佳方案，这类“不等式(组)与方案探究型”中考试题是近年来中考应用题的热点，在2004年各地的中考试题中，这类试题的内容更新颖，设计更别致，更贴近生活，现例析如下：     

千变万化的“桥”

在对近几年的高考不等式证明的分析中 ,不难发现 ,每年的不等式证明考查的核心部分几乎都是放缩法 ,再从近几年的高考各题的得分率的分布情况来看 ,这类题目的得分率总是最低的 ,面对新高考的新复习 ,我想 ,我们应该有针对性加强放缩法的复习 .放缩法的实质就是找到一个恰当的中介值的思维方式 ;就是要建构一个“桥”以实现不等式左右两侧的传递 ,达到证明的目的 ,高考题在这个中介值的设计上总是不落俗套 ,让人耳目一新 .一、以数列求和为背景 ,以等比数列求和为“桥”,考查放缩法的证明的高考题例 1　 ( 2 0 0 2年的高考压轴题 ,略有删减 …     

不等式“1-1/x≤lnx≤x-1”的妙用

在全国高考卷和各地高考模拟卷的压轴题中经常出现以函数或数列为背景考查不等式的证明题,难度较大,能全面地考查学生的数学思维能力.因此这类题是历年命题的热点,很多学生对此望而生畏.这类不等式常用的证明方法是运用导数或数学归纳法证明1.笔者发现不等式“1-1/x≤lnx≤x-1”等x四个重要结论在这类题中应用很广.本篇重点叙述运用四个重要结论证明的放缩技巧,供广大师生参考.     

例谈以“和为1”为条件的不等式证明方法及策略

不等式的证明具有赏心悦目的艺术性、独具匠心的技巧性和富于创新的挑战性。纵观各国乃至国际数学奥林匹克试题，不等式的证明永远是受青睐的热点题型之一。其中有一类试题---以“和为1”为条件的不等式证明问题---尤其显眼，频频出现，已经成为各级各类竞赛中一道亮丽的风景线。本文拟从具体的实例来探究解决这类问题的方法及策略。     

导数与不等式“三剑客”

导数,不仅可以用来研究函数的性质与图像.还可以解决不等式问题,它能让不等式“三剑客”,即解不等式、含参不等式恒成立问题和不等式的证明“峰回路转.直达成功”。下面举例说明。一、导数与解不等式。     

一类不等式猜想的精彩证明

2011年某数学杂志上有一篇文章中提出了两个不等式猜想至今未得到证明,本文首先给出了这两个不等式的更一般的形式,将其归为同一类,然后抓住问题的具体特点和规律,巧妙地运用数学思想方法进行分析,同时使用“条件配凑”和“解析式配凑”的解题方法,给出了这类不等式猜想的一个非常精彩的证明.     

导数证明不等式的“前奏曲”——构造函数

利用导数证明不等式是近几年高考比较热衷的题型之一．此类问题的特点为：问题以不等式形式呈现,而“主角”往往却是导数,因此构造函数成为证明不等式的良好“载体”．如何有效合理地构造函数是使不等式获得证明的关键,下面笔者通过具体的实例谈谈构造函数的几种策略,以供参考．     

怎样解“解集为R(或φ)”的不等式

在不等式问题中,常会遇到“已知某个含参数的不等式的解集为R(或φ),而求所含参数的取值范围”的问题。对于这类问题,一些同学初次接触时往往不知怎样求解。实际上,解这类问题时,只要注意与二次函数的图象挂勾,且注意“解为R”就是不等式恒成立,而“解为φ”就是不等式恒不成立,那么就可顺利求解了。     

“两边取”的妙用

有些与等式或不等式相关的问题,直接求解或证明感到繁难或思维受阻,此时,不妨考虑在等式或不等式两边同时实施某种运算,常能获得简捷清晰的解法．现举例说明．从以上几例可以看出,一些直接利用条件条件难以下手的问题,通过采取“两边取”的方法,改变了问题的格局,转化成了我们熟知的结构和模式,简化了繁难的计算,易于寻找问题的思考点和突破点,因此从某种程度上来说,“两边取”已不仅仅是解题技巧的范畴,更像是一种解题的策略和思想方法．     

应用平均值不等式，在“活”与“巧”上下功夫

平均值不等式，是“不等式”这一章最重要的公式之一，它是不等式证明时的有力工具．活用平均值不等式来解题应该成为我们平时学习中的基本要求。     

“端点效应法”的有效性与局限性

求解含参不等式恒成立问题中参数的取值范围,是高考中的常考题型。解决这类问题的基本方法有三种:分离参数、构造函数求参数取值范围;构造含参函数,通过讨论参数取值范围将问题转化为求函数最值问题;通过所构造函数在定义域端点处满足的条件,缩小参数的取值范围,求出使不等式恒成立的必要条件,再证明充分条件,得出参数的取值范围,即所谓的“端点效应”。本文重点探究第三种方法——“端点效应法”的有效性与局限性。     

关于互补型不等式的研究

这两个不等式左边均有这样的规律:每项的分子与分母的和恒相等。我们把具有这样特征的不等式称为“互补型不等式”。 这类“不等式”其型式、结构从表面上看并无什么相似之处,但我们可以统一它们的证明。只要将其通过简单的初等变形,然后应用大家熟知     

利用均值不等式证明轮换不等式

轮换不等式的证明方法很多，技巧性也很强．下面例举一种“凑”的方法，即根据轮换不等式取等的条件是相等．只要领悟“凑”的技巧，这类不等式完全可以程序化证明．     

从“三项”到“两项”(高二、高三)

新教材《不等式》一章中,删去了“三项”重要不等式,更突出了“两项”重要不等式的基础作用.其实,许多基于“三项”的不等式问题都可以转化为“两项”问题解决.下面以“项”为研究对象,逐一分析: 1.拆项