复数法求三角形的面积

直角坐标平面内或复平面内的三角形的面积有多种求法。下面介绍一种由复数三角形式的运算和两边夹角法推导出来的复数法。1 复数法求三角形面积的公式 如果复数z_1、z_2分别对应复平面内的点A、B,O是坐标原点,那么△AOB的面积     

一个关于六边闭折线的面积定理

本文拟给出一个关于平面六边闭折线的面积定理．为此,先简略介绍三角形的有向面积概念及性质： △ABC的方向限定为A→B→C→A,当这个方向为逆时针方向时,△ABC称为正向三角形;当这个方向为顺时针方向时,△ABC称为负向三角形．     

化复数为三角形式的操作程序

化复数为三角形式的操作程序浙江省嵊州市马寅初中学吴文尧化复数为三角形式是复数内容中的重点和难点之一，尤其是当复数的实部和虚部都是用三角函数表示时，不少同学感到无从下手．本文介绍化复数为三角形式的操作程序和动作要领，帮助学生掌握解题规律，提高解题速度．...     

由一迭代方程组引出的一些结论

对美国数学邀请赛9-7题的讨论已有报道[1].本文拟给出另一种解释.原题为:求A2,这里A是方程x=19 9119 9119 9119 9119 91x①所有根的绝对值之和.首先,方程①右边易化为Ax BCx D(C≠0)的形式,于是,方程①可化为一元二次方程x(Cx D)=Ax B.②显然,方程②在复数域C内恰有两个解.其次     

一个三角不等式

命题 在任意△ABC中,∠A、∠B、∠C表示其三内角.则 sin~3A sin~3B sin~3C≤(9/8)3~(1/2),等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 证明 由三角形恒等式     

古典几何中的动力系统问题（续4）

C.基本公式 从现在起,为了叙述方便,我们用A1,A2,A3来表示初始三角形T0的三个内角A0,B0,C0,用A1n,A2n,A3n来表示T0的第n个垂足三角形Tn的三个相应的内角.由前面公式(2)和(3)我们有     

面积法证题

利用图形的面积公式,求解或证明一类几何问题,有它的独到之处.应用这种方法几乎可以解决和证明所有的几何问题,用途十分广泛.可见讨论用面积方法在几何学中的应用是极其意义的.三角形的面积公式是求多边形面积的基础,目前所用到的主要公式并不多,主要有以下几个公式:(1)已知一底及高S_△=(1/2)ah_a=(1/2)ah_b=(1/2)ch_c(2)已知两底及夹角S_△=(1/2)absinC=(1/2)bcsinA=(1/2)casinB(3)已知三边S_△=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2) 其中p=(a b c)/2一、面积法证明成比例线段问题应用三角形面积公式,可以得到一系列结论:1.等底三角形面积比,等于对应高的比,当a=a＇,则S_(△ABC):S_(△A＇B＇C＇)=h_a:h_(a＇)2.等高三角形面积比,等于底的比,当h_a=h_(a＇),则S_(△ABC):S_(△A＇B＇C＇)=BC:B＇C＇     

用三角方法巧解几何问题

三角函数是“数形结合”的重要产物,对沟通形与形、数与数、形与数的关系都有特殊的作用.本文介绍用三角方法解决几何问题.例 1 和例 2 都是比较困难的几何题,但辅以三角函数就能轻巧而自然地获解. 例 1 如图 1, 为△A B C 内任意 O一点,分别延长 A O 、 B O 、C O ,交对边于D 、E 、F. 求证: · · FA E C D B B F A E CD =1 分析 ()已知三角形两边 a、b 和 1夹角 r,用三角函数表示面积公式为 S△= 1 2abSinr; (2)如果两个三角形的高相等,则这两个三角形面积之比…     

复数三角形式的教学体会

在学习复数时,我们知道复数有如下几种表示方法:几何表表示法(点、向量)、代数形式表示法、三角形式表示法、指数表式表示法。在这四种表示方法中,我认为复数的三角形式比较重要,同时它也是整个复数教学中的难点、现根据自己的体会,谈谈在复数三角形式教学中应突出的重点、难点。     

用公式法解两类无理方程

型如A(x)~(1/2)±B(x)~(1/2)=C(C为大于零的常数,或C=D(x)~(1/2)且D(x)>0)的两类无理方程,可用本文给出的统一公式求解.一、公式的推导(1)当无理方程为A(x)~(1/2)+B(x)~(1/2)=C ①时把①式的两边同乘以(A(x)~(1/2)-B(x)~(1/2),得?②①+②,得?③     

勾股定理综合检测题

一、选择题1.一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是().A.斜边长为25B.三角形的周长为25C.斜边长为5D.三角形的面积为202.下列各组数字分别表示3条线段的长:①9、12、15;②7、24、25;③32、42、52;④3a、4a、5a(a>0);⑤m2-n2、2mn、m2 n2(m、n为正整数,且m>n).其中可以构成直角三角形的有().A.5组B.4组C.3组D.2组3.如图1,AC是圆的直径,∠B为直角,AB=6,BC=8,则阴影部分的面积为().A.100π-24B.25π-24C.100π-48D.25π-484.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是().A.钝角三角形B.锐角三角形C.直…     

学习三角形的行列式面积公式的体会

现行高中代数课本第二册行列式一章中有一道习题如下: 已知三角形三个顶点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)。C(x_3,y_3),则三角形的面积 S=1/2(?)的绝对值。(P186第14题) 从该题的证明过程(这里从略)中可知:当A、B、C按逆时针方向排列时,取正号;当A、B、C按顺针方向排列时;取负号。由此题可立即推出;平面上三点(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x_3,y_3)共线的充要条件是(?)=0。(P189第27题) 应用这两个公式来解有关三角形面积与三点共线的平面几何问题,可以使解题思路清晰,解答过程简捷。现举例说明如下: 例1 在四边形ABCD内,三角形ABD、BCD。ABC的面积之比是3:4:1,M、N分别在AC、CD上,满足AM:AC=CN:CD,且B、M、N三点共线,试证M、N分别为AC、CD之中点。(83年全国数学竞赛试题二,第三题)。     

主谓不一致考点小结

请先看下面两道中考题：1.—Two months quite a long time. —Yes.I'm afraid that he will miss a lot of his lessons.(2001年苏州市) A.is B.are C.was D.were2.I think buying so many clothes not necessary at all.(2001重庆市) A.are B.have C.were D.was以上二题的答案分别为A、D。那么,在什么情况下,主语用复数形式,谓语用单数形式呢?现将课本中出现过的此种情况归纳如下,以便同学们复习：1当表示时间、金钱、距离、重量、度量等的复数名词作主语时,谓语动词用单数形式。如：Ten dollars is enough.十美元就够了。Five hundred kilometres is a long distance.500公里是一段很长的距离。2.在there be 结构中,当主语为一系列的事物,且和be邻近的名词为单数时,谓语动词就用单数形式。     

例谈“面积法”解题

“面积法”解题的基本思想是:用不同的方法表示同一图形的面积,从而得到一个等式——“面积方程”,再对该方程进行整理和变换,以获得所需要的结果.为了能够列出各种图形的面积方程,就应熟悉面积的计算方法,而平面几何中的许多图形,都可以分割为若干个三角形.计算三角形面积最常用、最基本的公式有:①S△=12aha=21bhb=21chc;②S△=12ab sinC=12bc sinA=21ac sinB;③S△="s(s-a)(s-b)(s-c).(海伦公式)其他形式的面积公式均可由以上三个公式推导而来,公式中字母约定:a、b、c表示△ABC的三边,ha、hb、hc表示三边所对应的高,s表示三角形的半…     

三角形边角关系又一定理

三角形边角之间存在一个不常见的等式。现介绍如下。定理:设三角形的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、C,则 {asinA=bsinB csin(A-B) ① bsinB=csinC asin(B-C) ② bsinC=asinA bsin(C-A) ③证:当A>B时,以A为顶点,AC为一边,作∠CAD=∠B。AD交BC于D。则,1/2BD×AD×sina 1/2DC×AD ×sinβ=S△ABc     

复数的三种形式和解题的四种思路

在中学,复数 z 有三种表示形式:代数形式(z=α bi,其中,α,b∈R),三角形式(z=r(cosθ isinθ),其=中 r>0)与几何表示(复数 z=α bi 与复平面内的点Z(a,b)或向量■一一对应),因此,在解决复数问题时,就可以利用复数的代数表示、三角表示或几何表示中的一种加以解决.在某些问题中,把复数 z 看作一个整体加以处理,也是一种思路.总之,在解决复数问题时,有上述四种解题思路,其中前三种是常用的.问题的关键之一是恰当的选择复数 z 的某种表示,从而可以优化解题过程.下面举几个例子说明.     

垂足三角形周长和面积的简证

如图1,△ABC的角A,B,C所对之边分别为a,b,c.AD,BE,CF为三条高,H为垂心,则△DEF是垂足三角形.又命R和Δ分别为△ABC的外接圆半径和面积,文[1]给出了垂足三角形的周长l0和面积Δ0的公式:l0=4Rsin Asin Bsin C,(1)Δ0=2Δcos Acos Bcos C.(2)可惜其证明太长,现简证如下:先证(1)式.注意到B,C,E,F四点共圆,故有∠AFE=∠C.在△AEF中运用正弦定理,有EFsin A=sin∠AEAFE=cscions C A,所以EF=sinc C·sin Acos A.至此,EF与l0有两种表达式:其一,由于sinc C=sina A,所以EF=acos A.同理,FD=bcos B,DE=ccos C,因而l0=acos A b…     

Pedoe不等式的再推广

设a,b,c,Δ与a′,b′,c′,Δ′分别代表△ABC与△A′B′C′的三边与面积,则著名的Pedoe不等式是: a′~2(-a~2+b~2+c~2)+b′~2(a~2-b~2+c~2)+c′~2(a~2+b~2-c~2)≥16ΔΔ′,式中等号当且仅当△ABC∽△A′B′C′时成立。文[1]证明了: 设△.表示a~(1/2),b~(1/2),c~(1/2)组成的三角形的面积,则有     

对一道习题的探究

题目在斜三角形ABC中,求证tanA tanB tanC=tanAtanB·tanC.分析:将待证式与两角和的正切公式比较,发现都含有正切的和与积,因此可考虑运用两角和的正切公式.证明:在斜三角形ABC中,A B C=π,即A B=π-C,且A、B、A B都不等于2π,     

三角形“五心”向量方程的一般式

本文拟用以下引理给出三角形“五心”向量方程的一般形式.先约定三角形三内角A、B、C它们所对的边分别为a、b、c.引理:在△ABC内任取点P,则PA·SA PB·SB PC·SC=0(1)(其中SA、SB、SC分别表示△BPC,△CPA,△APB的面积).证明:设PA、PB、PC方向上的单位向量依次为e1,e2,e3并记∠B