一个常见不等式证明引发的思考

已知:a,b,c,d都是正数,求证:√(a b)(c d)≥√ac √bd. 此题证法很多,现用作商比较及均值不等式加以证明.     

一个不等式的改进、推广及证明

文[1]结合文[2]中的结论，利用函数的凹凸性证明了下述结果：     

一个不等式的两个简单证明

对不等式b＋m/a＋m〉b/a（其中a，b，m均为正数，b〈a）的证明，目前各杂志刊登了许多方法，如比较法、函数法、解析法、几何法等．本笔再提供两个简单的证明．     

借助一个结论证明一个双向不等式及推广

文[1]建立并证明了“两个十分有意义的无理不等式”．其中 定理1 若x,y为满足z＋y=1的正数,则对于不大于2的正数λ有（√x＋√y）（1/√λx＋1＋1/√λy＋1）〈4/√λ＋2.     

一个优美不等式的推广及证明

文【l]给出了一对非常优美的姐妹不等式:设a、b、c都是正数,且a十b c二1,则有1、,l,、,1、、,7、1,‘、(下午一一a)(一一b)(一今:一e)李(于)j(l)、b e一尹、e a一/、a b”/一“6‘、‘’〔只一 。)(-」- b)卜冬二十。)李(毕),(2)、b c一产、c a一尹、a b一/一、6了、一     

巧构三角形 证明不等式

题目 平面上点P(x，y)满足logr(2x-y) logr(2x y)=0．则|3x-y|的最小值为_________。     

一个不等式的推广

题目 设x1、x2、x3为正数,且x1x2x3=1.证明：（x1＋1）（x2＋1）（x3＋1）≥8.此不等式还可得到以下两个推广。推广1 若x1,x2,……,xn〉0（n≥2）,且n是正整数,则     

对两道不等式问题证明的研究

问题1已知a、b、c为正数,S=1/2(a b c),n为自然数.证明:(an/b c bn/c a cn/a b)≥(2/3)n-2·Sn-.(第26届IMO预选题)     

再谈一个不等式的改进及证明

文[1]给出了定理及其证明：[第一段]     

一个分式不等式链及其证明

文[1]提出一个猜想：若正数a,b,c满足abc≥1,则（a/b＋b/c＋c/a）（b/a＋c/b＋a/c）≥（a＋b＋c）（1/a＋1/b＋1/c）,文[2]将猜想的条件扩大为a,b,c为正数,并提出几个结构类似的不等式,笔者在学习文[1]和文[2]的基础上,利用柯西不等式及其推广给出文[1]中的猜想及其几个形似不等式的证明.     

一个不等式的推广

文[1]给出了一个试题：设x、y、z为正数，且xyz=1，求证： 1/（2x＋1）^3＋1/（2y＋1）^3＋1/（2z＋1）^3≥1/9.…（1） 本文给出它的一个推广.     

一个不等式的推广

文[1]给出“若n≥2,n∈N,在△ABC中,有∑cos^nA≥3/2^n（1）”的证明。     

一个不等式的推广

从许多相关杂志上都能见到如下不等式 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,则 (ｘ2 +ｙ2 ) 12 >(ｘ3+ｙ3) 13. ( 1 )下面笔者给出式 ( 1 )的两个推广 :推广 1 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,ｍ、ｎ∈Ｎ且ｎ >ｍ ,则　 (ｘｍ+ｙｍ) 1ｍ >(ｘｎ+ｙｎ) 1ｎ . ( 2 )推广 2 :若ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ+,且ｓ>ｔ>0 ,则事实上 ,式 ( 3 )又是式 ( 2 )的推广 ,因此我们只证明式 ( 3 ) .证明 :所证不等式等价于下列不等式∑ｎｉ=1ａｔｉ1ｔ∑ｎｉ=1ａｓｉ1ｓ>1 ,即　 ａｓ1∑ａｓｉｔｓ +… +ａｓｎ∑ａｓｉｔｓ1ｔ >1 .( 4)令 ａｓ1∑ａｓｉ1ｓ =ｂ1,… ,ａｓｎ∑ａｓｉ1ｓ =ｂｎ,则ｂｉ…     

一个代数不等式的修正

文[1]用高等数学方法证明了如下一个加强不等式,即命题1设a,b,c均为正数,且abc=1,若λ≤9,则1/a+1/b+1/c+λ/(a+b+c)≥3+λ/3.笔者发现这个不等式并不成立,反例如下:当a=b=2/3,c=9/4,λ=9时,     

一个不等式的优美证明

试题(2013年国际数学奥林匹克试题)已知a,b,c,d是满足abcd=1的正数,求证(a-1)(c+1)/(1+bc+c)+(b-1)(d+1)/(1+cd+d)+(c-1)(a+1)/(1+da+a)+(d-1)(b+1)/(1+ab+b)≥0这是2013年国际数学奥林匹克的不等式证明题,她是一个结构简洁对称     

一个有趣不等式的推广

对于任意实数a,b都有 ((a+b)/(2))((a2+b2)/(2))((a3+b3)/(2))≤(a6+b6)/(2),(1)当且仅当a=b时取等号.     

一个不等式的再研究

文［1］给出了不等式——＞壬（nEN且n＞2）的一种证法．下面给出此不等式的一种简单证法．证明为证原不等式先证下式，综合1”，2”可知（1）式成立，从而原不等式成立．运用上面的方法，不难得到以下两个不等式：命题置若nEN且n＞2，则nlthe证明1”当n一2时，左边2”当n＞3时，左边一n综合1”，2呵知（2）式成立．命题2若nEN且n＞2，则，；’证明时分n—2，n—3，n＞4三种情况讨论，并用公式l’＋2‘＋…＋n‘一万。‘（。＋1）’’。，，l，·、。—、——4求和，证明略．一个不等式的再研究@胡斌$山东省惠民师范学校!2517001张辉.一…     

一道数列不等式题的证明

题目等差数列{an}和等比数列{bn}中，各项为正数且是递增的，a1=b1，a2=b2，求证：当n＞2时，an＜bn。     

用一个新不等式证明一类分式不等式

新不等式是 :若Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,则Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ . ( )证明　因Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,依基本不等式得Ａ2(Ｂ) 2 (λＢ) 2 ≥ 2· ＡＢ·λＢ =2λＡ ,∴　 Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ .可以看出 ,新不等式的结构简单、特证明显 .它的左边是一个分式模型 ,右边则是与之相关的一个整式 ,这就是说 ,不等式有把分式转换为整式的功能 ,因而不等式 ( )是证明一类分式不等式的锐利武器 .现举几例说明之 .例 1　设ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 是正实数 ,求证 :ｘ21 ｘ2 ｘ22ｘ3 … ｘ2 ｎｘ1≥ｘ1 ｘ2 … ｘｎ.( 1984年全国高中联赛题…     

一个不等式的推广

文 [1 ]提出一个猜想不等式 :设 x,y,z∈ ( 0 , ∞ ) ,则有xx y yy z zz x≤ 322 . ( 1 )文 [2 ]应用导数给出了证明 ,文 [3]又给出其下界估计xx y yy z zz x>1 . ( 2 )现将其推广 :设 x,y,z∈ ( 0 , ∞ ) ,n≥2 ,则有1 xx y,yy z>yy z,n zz x>zz x,所以n xx y n yy z n zz x>xx y yy z zz x>xx y z yy z x zz x y=1 .再证右端 .当 n=2时 ,由 ( 1 )知 ,不等式 ( 3)显然成立 .现设 n>2 ,…