复数模不等式的一些应用

不等式:|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2|在全日制十年制学校高中课本第三册中已经出现。我们把这个不等式加以推广就可得到一个复数模的不等式:|z_1|+|z_2|+……+|z_n|≥|z_1+z_2+……+z_n|,式中z_n为复数,等号当且仅当所有复数的幅角主值:     

有关复数模的一道不等式

<正>~~     

应用复数模不等式巧解等式问题

用复数模不等式|z_1 z_2|≤|z_1 |z_2|解决一些条件等式的证明问题,往往有意想不到的效果.     

复数模的性质及其应用

利用复数模的性质求解数学问题是复数应用中的典型问题,涉及复数的代数、几何运算、方程、不等式的解法和函数最值的求法等知识,充分体现了化归构造等数学思想方法,解决这类问题不仅要紧紧把握复数的定义,而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。     

复数不等式

通常认为复数不能比较大小．下面我们将在承认实数不等式性质的前提下,对复数集定义了一种序关系“≥”．即比较大小的方法．由于这种方法看不出有什么实用意义,因此大家都不会去使用．此文希望说明,复数不是不能比较大小,只是没有发现有价值的比较大小方法．     

涉及模的一个复数命题及其应用

在解证某些复数问题时,若能迅速地确定所求复数的模,则可将其辐角视为参数,用复数的三角形式表示之,进而根据已知条件求得结果。 本文先给出涉及模的一个复数命题,然     

复数中模的应用

本文通过具体实例说明复数中模性质的应用.     

一类三角形不等式的等价定理及其应用

在三角形的不等式中，有一类是关于三角形内部任意一点到三边距离的．近年来，已有一些新的这类不等式出现（参见[1]—[4]）．本文给出与此类不等式相关的一个等价性定理，并阐述它的应用．一、定理及其证明定理设P为△ABC内部任一点，P到边BC，CA，AB的距离分别为PD，PE，上的高分别若有关于次不等式：则此不等式等价于证对于△ABC内部任意P点，显然有恒等式由此即知，存在着小于1的正数λ_1,λ_2,λ_3使以下三式同时成立：由以上三式分别可得代入（l）中即得不等式（2）．反之，在不等式（2）中取则又易得出不等式综上，不等式（l…     

复数的三角形式

后者称为复数z的三角形式．上列等式能使我们把复数的通常形式（称为矩形形式）与三角形式相互转换,数r称为z的绝对值或模（记为｜z｜）,θ称为z的辐角（记为argz）．注意,对于任意k∈Z,     

利用复数模的不等式求有关最值问题

利用复数的模的不等式｜｜Ｚ１｜－｜Ｚ２｜｜≤｜Ｚ１＋Ｚ２｜≤｜Ｚ１｜＋｜Ｚ２｜可解决与模有关的最值问题,特别是在求一些无理函数的最值时常能起到化难为易的作用。但是,在利用此不等式解题时,等号成立的具体条件却是易被学生忽略和难以掌握的问题。下面就此举例说明之。 例 １已知 （ １）求的最大值与最小值,及取得最大值与最小值时的Ｚ的值;（２）求 的最小值及取得最小值时的Ｚ的值。 分析：对于复数模不等式,首先应知道,等号当且仅当表示Ｚ１与Ｚ２的两个向量共线时成立。当Ｚ１与Ｚ２方向相反时;当Ｚ１与Ｚ２方向相同时…     

复数模的性质及应用

复数模的性质较多,联系广泛,灵活性强应用也大,在教学中注意使用模的运算方法和技巧,会使解题变得简便,对培养学生能力很有好处.现将模的主要性质列举如下,再举例说明模的应用.     

三角形中的不等式及其几何意义

在△ABC中,边长a、b、c;角A、B.C;以及半周长s,面积△,内切圆半径γ和外接圆半径R之间有着丰富的内在联系,它们往往以一些等量关系或不等量关系的形式出现。这部分内容是三角和几何教学的一个重要部分。然而,形形式式的练习和问题,往往忽视了这种联系,本文揭示这种内在联系,并努力使它们融会贯通。首先,我们从海伦公式△=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2)出发,利用算术平均与几何平均的关系,立即可得以下不等式。例1 △ABC中,     

三角形中一个不等式的应用

命题:△ABC的外接圆半径R与内切圆半径间成立不等式:R≥2r。证:(见原文图)过△ABC的顶点作对边的平行线,三直线围成△A′B′C′,则△ABC∽△A′B′C′,K=AB/A′B′=1/2。作外接圆的三条切线,分别平行于△A′B′C′的三边,围成△A″B″C″,(使△ABC的外接圆在为△A″B″C″的内切圆),△ABC∽△A″B″C″、     

巧用复数模

若有复数z=x十yi,则式子(√x2 y2)称为复数z的模,简称复数模,记为}z|=(√x2 y2).     

复数模的一个性质的应用

利用性质:!川.1骨忽.忍,l解某些复数问题显得较为简洁.举例如下. 例l,设冲!。1,求!砂一名 11的最大值. 解:!之,一之 一,二l护一奋 之·忍‘卜冲{·l卜1 引“120一川,式中已设Re(z)二。,’‘’!zI,1,二当忿二口二一1时·l砂一二 川有最大值3. 例;.:为虚数,求证::十专。数的充要条件为l二l二z 证:若l川“1,贝劝:·:=1勿 之二: 忿;尺,若: 专*R,则习 音一, 专幼卜:-艺Z考一忍 君忍,“’之是虚数,:,之一忿今。,.’,之落=1幼l引二1. 例3.,为虚数,要条件为!川=1. 证:若冲!=1,求证:,一补纯虚数的充则小矛,1幼口=之~.之。忿之 z·乞竺至1十忍,一肠,…     

巧用复数证不等式

大家知道,不等式是变化多端的,证明方法也往往具有很高的灵活性。但笔者发现,有些比较复杂的不等式若利用复数来解决,则会显得非常简捷。下面我们就通过构造复数并利用     

用复数证明不等式

对某些含有二次根式或可化为含有二次根式的不等式的证明,可作恰当的复变量代换,构造出某几个复数的模,运用复数模的性质而证。一、利用||z_1|-|z_2||≤|z_1±z_2|≤|z_1|+|z_2|     

复数及其应用

内容概述复数集是在实数集的基础上,通过引入虚数单位i扩充而得到的.复数具有代数式、三角形式、几何形式等表示方法,正因为复数的多种表示法而沟通了代数、三角、几何学科间的联系.高中数学竞赛中涉及的复数知识十分丰富,主要题型有两种:一是复数自身的有关计算问题;二是运用复数知识解决有关三角、几何、代数问题.为了解答好这些问题,除了确切掌握(课本上介绍的)有关基础知识和基本运算法则外,这里还着重强调以下三个方面:     

一个三角形不等式

命题　设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r.则有b2 c22bc ≤ R2r.①证明 :　记△ABC的面积为S .由abc =4RS及S =12 r(a b c)知式①等价于b2 c22bc ≤abc(a b c)1 6S2 .②由海伦公式知1 6S2 =(a b c) (b c -a)·(c a -b) (a b -c) .③则式②等价于1 6S2 (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) (a b c) (b c-a) (c a -b)·(a b-c) (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) 2ab2 c2 - (b c -a) (c a -b)·(a b -c) (b2 c2 ) ≥0 b2 [ac2 - (b c-a) (c a -b)·(a b -c) ] c2 [ab2 - (b c-a)·(c a -b) (a …