立体几何中取值范围的求解方法

求解立体几何中取值范围问题和代数中同类问题相比较 ,前者困难较大 .这类问题可以借鉴代数中的方法 ,但由于其几何特性 ,又有特殊方法 .本文介绍立体几何中求解取值范围问题的常用方法 .一、化归方法立体几何解题的基本思路是将空间问题化归为平面问题来解决 ,解取值范围问题也不例外 .例 1　已知矩形ABCD中 ,AB =2 2 ,BC =a ,PA ⊥平面ABCD ,若BC边上存在一点Q ,满足PQ ⊥QD ,求实数a的取值范围 .分析　如图 1,连接AQ .因为PA⊥面ABCD ,故由三垂线定理知 ,要使BC边上有一点Q满足PQ⊥QD ,只需在BC上存在一点Q ,使AQ⊥QD …     

谈“数学设想”(高二、高三)

我们知道,只有合理的分析问题,才能正确地解决问题.而“设想”是数学上一种很独特的思维方式,是分析的关键,对于探索性问题更显重要. 1.从图形“已知”设想. 例1 如图1,在四棱锥P —ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA(?)底面ABCD, AB=2~(1/3),BC=1,PA=2,E 为PD的中点.在侧面PAB内     

1994年一道上海高考立几题的解法分析

如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=π/2,AB=a,AD=3a,且∠ADC=arcsin5~(1/2)/5,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求 (1) 二面角P-CD-A的大小(用反三角函数表示):     

例说连贯性思维在解一题多问型问题时的重要作用

我们先来看下面一道试题.在边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,PA=2AB,E,F分别是PA和4B的中点.(1)求证:BD⊥PA;(2)求证:EF//平面PBC;(3)求三棱锥E-PBC体积.下面笔者就一些同学对此题的作答情况说明一下.对于第一问,大部分同学都可以完成.证明思路如下:要证线线垂直,转化为证线面垂直,不是证明BD垂直于过PA的某个面,就是证明PA     

空间几何试题精选

1.如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面ABCD,且PA=a,底面ABCD是边长为b的菱形,∠ABC=60°。(1)求证:平面PBD丄平面PAC;(2)设AC与BD交于点O,M为OC中点,若二面角O-PM-D的正切值是2√6,求a:b的值。     

谁对谁错?

题目:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=a,AD-3a,且∠ADC=arcsin√5/5,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求二面角P-CD-A的大小.     

例谈空间角和距离的向量解法

夹角和距离是度量空间中线面位置关系的主要工具,若采用传统教材的处理方法去求解,则需要学生具备相当的空间想象能力和一定的解题技巧,故而给学生的学习带来困难.如果采用向量方法则可以避开难点,带领学生进入一个以数论形的新境界,收到事半功倍的效果.下面举例加以说明.■一、求异面直线所成的角犤例1犦在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥面ABCD,PD与底面所成角为30°,AE⊥PD,E为垂足.求异面直线AE和CD所成的角.解:建立如图坐标系A-xyz,由题意,PA⊥面ABCD.∴∠PDA为PD与…     

从正方形内一点问题谈起

<正>2014年慈溪市青年数学教师基本功竞赛中有这样一道题:如图1,P是正方形ABCD内一点,PA=5,PB=4,PC=1.求正方形的边长.问了我校参赛的几个青年教师,普遍反映该题得分率较低,感觉用代数方法很繁,用几何方法一时又找不到巧妙的思路,所以最后放弃的老师较多.出于兴趣,笔者对此问题进行了一番探究.从一般性考虑,笔者直接探究了以下问题:P是正方形ABCD内一点,PA=a,PB=b,PC=c.求正方形的     

正确运用坐标方法 破解立体几何问题

<正>一、设而不求,自行消灭有些题目中,由于某些线段长度未知,且和已知线段没有数量关系,有些学生觉得用到点的坐标无法求解而放弃.其实,要证的结论和这个点的坐标可能无关,故可以巧设辅助量,在向量运算时辅助量会自行消灭.例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为平行四边形,AB=1,BC=槡2,∠ABC=45°,点E在PC上,     

空间向量在立体几何中的应用

一、空间向量在线面关系证明中的应用 例1 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点．     

利用向量方法求空间角问题例析

<正>一、求异面直线所成的角例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点。已知AB=2,AD=2x2^(1/2),PA=2。求:(1)△PCD的面积。(2)异面直线BC与AE所成的角的大小。     

江西卷（理）第20题别解

题目在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中点O为球心,AC为直径的球面交PD于点M,交PC于点N.     

2011年广东高考理科立体几何题评析

题目：（满分13分）如图在锥体P—ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=√2，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点．     

正方形的两个性质及其应用

如图1,在正方形ABCD中,点P在对角线AC上,连接PB、PD,则∠DAP=∠BAP=45°.又AD=AB,PA=PA,所以△PAD≌△PAB.于是有:性质1 PB=PD.     

离子浓度的大小比较

因为EF //AB,所以EF∥面ABCD. 所以点E、F到面ABCD的距离相等. 因为F为PD中点,PA⊥底面ABCD, 所以点F到面ABCD的距离为1/2PA=1, 所以点E到面ABCD的距离d=1. 因为VE-ABC =VC-ABE, 所以1/3d·S△ABC=1/3CH·S△ABE,CH=√2. 又AC=2√5,所以sin∠CAH=CH/AC=√10/10. 故直线AC与面ABEF所成角的正弦值为√10/10.     

数形(形数)结合——一个重要的解题策略(二)

下面谈谈形数结合在解题中的作用.一、用方程思想求解例1 如图1,P为正方形ABCD外一点,且∠APB=∠BPC=∠CPD=45°.求证:PA+PC=√2PB. 思路:列方程解之.     

从一道题看二面角的求解策略

在历年高考中,解决立体几何解答题一般有几何法和向量法两种(几何法重逻辑推理,向量法重计算).现就一道典型题目谈谈二面角问题的求解策略. 题目 如图1,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (1)证明:PA⊥BD. (2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值. 现在主要针对第二问作探讨. 解法1:作出二面角的平面角. 过点A作AE⊥PB交PB于E,过E作EF∥BC交PC于F,连接AF.     

利用空间向量轻松求解夹角

一求异面直线的夹角例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,AE⊥PD于E,PD与底面成30°角.求异面直线AE与CD所成的角.分析:如图1建立空间坐标系.依题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).在Rt△ADE中,∵∠PDA=30°,∴ED=3姨a,作EF⊥AD于F,则EF=3姨2a.在Rt△AEF中,AF=12a,∴E(0,12a,3姨2a).∴cos〈AE,CD〉=AE·CDAECD=2姨4.则异面直线AE与CD所成角的大小为arccos2姨4.点评:本题关键在于求E点坐标,进而求AE的坐标表式以便应用空间向量的夹角…     

对一个问题求解的再思索

1 问题及求解 不久前一位参加竞赛的同学问及这样一个问题： 已知凸四边形ABCD,AB=12、BC=13、CD=3、DA=4,求凸四边形ABCD面积的最大值．     

漫谈参数的教学

参数不仅活跃在解析几何的舞台上,在数学的各个分支中均有广泛的应用。在解题过程中,若巧设参数,则使题解简洁,有些一时难以下手的问题也迎刃而解了。请看下面几例: 一、角参数例1 如图1,已知P是正方形ABCD内一点,且PA=1,PB=3,PD=7~(1/2)。求正方形ABCD的面积。解:选择角参数。设∠PAB=θ,则∠PAD=90°-θ。设正方形边长为x,