几道初中数学竞赛题的另解

题1 是否存在正整数α、b,使得等式 α^3＋（α＋b）^2＋b=b^3＋α＋2 成立？如果存在,求出α、b的所有值；如果不存在,请说明理由。     

两道竞赛题的另解

题1如图1，已知直线上的三个定点依次为A、B、C，Г为过A、C且圆心不在AC上的圆，分别过A、C两点且与圆Г相切的直线交于点P，朋与圆Г交于点Q。证明：∠AQC的平分线与AC的交点不依赖于圆Г的选取。     

一道数学竞赛题的另解

题目　已知在△ABC中 ,∠ACB =90°,如图 1所示 .当点D在斜边AB上 (不含端点 )时 ,求证 :CD2 -BD2BC2 =AD -BDAB .( 2 0 0 3,全国初中数学联赛 )　　证明 :作CE⊥BA于点E .设BC =a ,AB=c ,CE =h ,BD =m ,AD =n ,CD =t,BE =p ,ED =k .显然 ,p k =m .则CD2 -BD2BC2 =t2 -m2a2=h2 k2 -m2a2 =h2 (k m) (k -m)a2 .将h2 =p(k n) ,k -m =-p ,a2 =pc代入上式 ,得CD2 -BD2BC2 =p(k n) -p(k m)pc=p(n -m)pc =n -mc =AD -BDAB .当D与E重合时 ,h =t,k =0 ,上述证明同样成立 ;当D在E左侧时 ,k <0 ,同理可证结论成立 .…     

一道数学竞赛题的另解

笔者在文[1]中看到一个赛题的解答,感觉其技巧性太强,不容易想到．学生阮宇平给了笔者一个新的思路,经过思考给出如下解答．     

一道组合数学竞赛题的另解

2004年全国高中数学竞赛二试第三题是一道组合数学题：对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m,m 1,…,m n-1}的任一个f(n)元子集中，均有至少3个两两互索的元素，标准答案采用数学归纳法求解，一般学生不易想到，本文给出用抽屉原理求解的解答，更接近学生的自然思路。     

巧解三道竞赛题

【题目一】若一个长方体,长是宽的2倍,宽是高的2倍,所有棱长之和是56,则此长方体的体积是___。     

另解一道竞赛题

题如图1,在△ABC中,O为△ABC的内心,点M、N在线段BC上,且BN= BA,CM=CA.连接OM、ON.     

另解一道竞赛题

对镜子参考系,反射光子与入射光子频率相等．此时镜子相当于反射光的光源,在地面上的观察者同样远离该光源,故地面观察者观察到反射光的频率和能量是     

一道竞赛题的另解

刚结束的2002年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题如下: 实数a、b、c和正数λ使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三个实根x1,x2,x3,且满足 x2-x1=λ; (1) x3>1/2(x1+x2). (2) 求2a3+27c-9ab/λ3的最大值.     

一道竞赛题的另解

1998年全国初中数学联赛第二试中有这样的一道试题:     

一道竞赛题的另解

题目(1988,国家集训队选拔赛) 设f(x)=3x 2,证明:存在正整数m,使得f~(100)(x)能被1988整除。 解答请见本刊1992年第3期,且一般资料均为同一解答,另一个自然的思路是,能否找到一个具体的m值来证明这一存在性呢? 分析 由计算易知     

一道全国数学竞赛题的另解与推广

1992年全国初中数学联合竞赛试题第二试的第二题如下所述:如图(1),在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且∠BED=2∠CED=∠A.求证BD=2CD.试题的标准答案中对该题给出了两种证法.本文将给出另一种较为简捷的证法,并对该问题进行推广.证明:过点D作DF∥AC,交AC于F,易得FB=FD.     

三道数学竞赛题引发的思考

本文从数学思维的深刻性、广阔性、灵活性三个方面分析了竞赛班学生在答题中出现的主要错误,寻找引起学生解答困难的根本原因,并提出有针对性的教学改进措施(即课后反思),期望能对数学课堂教学改革提供借鉴.     

一道波兰竞赛题的另解

复旦大学黄宣国教授在其编著的《数学奥林匹克大集》一书中用了大量篇幅解答了~1994年波兰数学奥林匹克》第六题．解后注记有不满意之感，并期待有上乘的证明出现．笔者通过努力，给出一种证明思路．     

一道波罗的海竞赛题的另解

题目 已知正数a、b、c、d满足a＋b＋c＋d=4． 证明：a/a^3＋8＋b/b^3＋8＋c/c^3＋8＋d/d^3＋8≤4/9.（2011,波罗的海数学竞赛）     

一道国外竞赛题的另解

题目在△ABC中,设〈A、〈C的角平分线交于点1,且分别与CB、AB交于点A1、C1,与△ABC外接圆交于点A2、C2,K是A1C2与A2C1的交点KI与AC交于点M。     

两道数学竞赛题的又一解法

读了《1987年全国高中数学联合竞赛试题答案及评分标准》后,颇受启发.今对其中第二试的第一、二两题提出我们的解法,供读者参考.一、如图,△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形.现固定△ABC,而将△ADE 绕 A 点在平面上旋转,试证:不论△ADE 旋转到什么位置,线段 EC 上必存在点 M 使△BMD 为等腰直角三角形.