一道习题的探究引申

[习题]平面上有n个点(n≥2),且任意3个点不在同一直线上,过这些点作直线,一共能作出多少条不同的直线?引导推理平面上有n个点,两点确定一条直     

关于直线和平面划分区域个数的两个定理

关于直线(平面)划分平面(空间)区域个数问题,在各类报刊资料和试题中时有出现,往往难度较大且答案容易出错.本文给出两个定理,使这两类问题一并得到圆满地解决.定理1:已知平面内有 n 条直线,这 n 条直线有 m 个交点(p 条直线共点,取交点个数为 p-1),则这 n 条直线将此平面划分出区域的个数为 f(n,m)=1 n m.     

平面分割空间得最大块数的条件

我们在数学归纳法的学习和研究中曾遇到如下两个命题:(一)平面上有 n 条直线,其中任意两条不平行,任意三条不过同一点,则此 n 条直线把平面分割为1/2(n~2+n+2)块;(二)空间有 n 个平面.其中任意两个不平行,任意三个不过同一条直线,任意四个不过同一点,则此 n 个平面把空间分割为     

空间分割中第二个问题的解答

在<中学数学教学>2005年第3期上,高老师在文[1]中写道: "数学模型Ⅰ平面内n条直线最多能将平面分成多少个区域?"并求出了最多区域数为:     

关于直线划分平面

统编教材高中第三册在讲到数学归纳法时有一个直线划分平面问题:“平面上有“条直线。其中任何两条不平行,任何三条不过同一点。证明这n条直线把平面分成f(n)=1/2(n~2+n+2)个部分(见教材P144)”。本来,用数学     

一个数学公式的来历

统编十年制高中数学3册144页例3,平面上有几条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这几条直线把平面分成f(n)=1/2(n~2+n+2)个部分,这个计算式怎么想出来的?我在回答提问时,作了以下答覆,仅供参考。 (1)实践、按题设条件计算直线分平面的部分数,见下图     

递推方法与递归函数

统编高中数学课本第三册第144页,有这样一道例题:“平面上有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成f(n)=(1/2)(n~2+n+2)个部分。”课本是用数学归纳法证明的。可是解析表达式f(n)=(1/2)(n~2+n+2),究竟是怎样得出来的呢?也就是说,下面的问题该如何求解呢? 例1.平面上有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,问这n条直线把平面分成多少个部分? 显然,这n条直线把平面分成的部分数,是由n决定的,是n的函数,记为f(n)。f(n)是定义在整个自然数集N上的函数,其取值集也是N。我们的问题,就是要求出f(n)依赖于n的解析表达式。为此,我们从n开头的几个值,来看一     

几何图形的计数

给定一个几何图形 ,计算该图形中某种特定的元素有多少个 ,这类问题称为几何图形的计数问题。它在各种数学竞赛中很常见 ,而且学会解这类问题 ,有助于培养学生周密细致的思维能力。本文通过几个初中数学竞赛题 ,讲一些解计数问题的方法。知识点　 1、平面上给定n个点 ,每两点连一直线 ,最多可以得到(n -1 )n2 条直线。2、平面上给定n条直线 ,当它们每两条都相交 ,且任何三条都不共点时 ,这n条直线交点最多 ,共有(n -1 )n2 个交点。例 1　怎样在平面上画 1 0条直线 ,使它们恰有 :( 1 ) 2 1个交点 ;( 2 ) 3 1个交点 ;( 3 ) 3 0个交点。分析　 …     

握手问题与高斯求和

七年级数学的基本图形这一章中,有一个很经典的问题:一条直线上有n个点,以这n个点为端点的线段有几条?我把它简称为数线段的问题.类似的问题还有数角的个数,数交点的个数.比如:"平面内以O为端点的射线有n条,求角的个数.(初中教材中默认锐角)""平面内有n条直线,两两相交,请问有多少个交点?"     

Steiner分割问题和进一步探讨——兼推导空间分割数阵的通项公式

§1 引言 n条直线最多可将一个平面分割成多少区域?n个平面最多可将整个空间分割成多少区域?这就是著名的steiner直线分割平面及平面分割空间问题。关于这一问题推广与探讨,已有好多文献中论述,如[3][4][5][6]等。但获得的结论总是:     

数学教学中的“合情推理”——从一节“探索性学习”课谈起

问题1平面上有n个点(n≥2),且任意三个点不在同一条直线上,过这些点作直线,一共能作出多少条不同的直线?如果有2012个点呢?这是一道笔者在八年级的一节"探索性学习"课初始提出的问题.本节课的设计思路是通过若干例对"图形的计数"问题的探索,训练学生"能用代数式有效地表示、处理和交     

区域划分的计数问题

平面内n条直线可将平面最多分成多少个区域?球面上n个圆最多可将球面分成多少个区域?……这类有关区域划分的计数问题集数列、几何、数列归纳法于一身．此类试题有利于考查学生的归纳、推理、想象、运算能力．第十七届(06年)“希望杯”全国邀请赛恰有一组区域划分的计数试题,请看：     

对一道期末试题的拓展研究

<正>2016年《数学思维训练》期末考试最后一题:18.(1)我们熟知平面上一条直线将平面最多分成1+1=2个部分,2条直线将平面最多分成1+1+2=4个部分,3条直线将平面最多分成1+1+2+3=7个部分,…,n条直线将平面最多分成_个部分。     

变用、活用单位圆

在直角坐标平面内，作单位圆，再作直线y=x和y=-x，这两条直线和x，y轴把坐标平面分成8个区域，在这些区域上依次标上序号1、2、3、…、7、8（如图1）．     

从空间分割问题看数学中的类比、归纳和猜想

一、问题的提出和解决在空间,两两相交且三三不共线、无四面共点的五个平面将空间分成几部分?推测并证明。个这样的平面将空间分成几部分? 一般地,会从n=1,2,3去猜测答案.但当n≥4时答案似乎不太明了。为了寻找规律退而考虑平面内的类似问题:n条两两相交且无三线共点的直线分乎面所成份数。再简单一点的,如n个不同点分直线所成的段数. 1.一个类比:尝试从三条直线分割平面的情况与四个平面分割空间问题作类比. 观察(图1),平面上这三条直线构成了一三角形的三边,把平面分成三部分:一是三角形内部为一个;二是与三角形共一边的有三个;再是与三角形共顶点的也三个。所以,P(3)=1 3 3=7.     

立体几何中的计数问题

一、选择题1.对于已知直线 a,如果直线 b 同时满足下列三个条件:①与直线 a 异面;②与直线 a 所成的角为定值θ;③与直线 a 的距离为定值 d.那么,这样的直线 b 有( ).A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条2.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个"正交线面对".在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的"正交线面对"的个数是( ).A.48 B.36 C.24 D.183.球面上有10个圆,这10个圆可将球面分成 n个区域,则 n 的最大值与最小值之和等于( ).A.193 B.153 C.103 D.634.设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形,用平面 a 去截这个四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α( ).A.不存在 B.只有1个C.恰右4个 D.有无数个     

数学奥林匹克初中训练题（114）

第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.方程xy 41z=2009的质数解有()组.(A)4(B)6(C)8(D)102.一条直线上有n个点,这条直线上线段的条数记为an;一个平面内有n条直线,这n条直线把这个平面最多分成bn个部分、最少分成cn个部分.则an与bn-cn的关系是().(A)an>bn-cn(B)an=bn-cn(C)an相似文献   

一道探索性问题的解答

在几何学习中,有意识地让学生训练几道比较好的开放题,对开拓学生的思维,培养学生的学习兴趣,将起到积极的引导作用.现就直线划分平面上区域问题的探索过程总结如下,供同学们学习时参考. 题目:1.一条直线可以把平面分成两个部分(或区域),如图1.两条直线可以把平面分成几个部分?三条直线可以把平面分成几个     

果园问题研究

主要讨论两个问题:平面上n个点,每五点不共线时,有多少条直线恰过n个点中的四个已知点;在一定条件下,有多少个圆恰过n个点中的四个已知点。对最大直线数与最大圆数的上、下界做了估计,并对恰过n个点中的四个已知点的最大直线数的一些具体情形给出了结果。     

从握手问题谈数学模型

在七年级（人教版）的几何教学中，部分学生常常困惑于这样一类问题：直线l上有n个点，问在直线l上共有多少条不同的线段？在同一平面内n条直线两两相交，最多有多少个交点？等等．对于这类问题的特例，学生可以通过画图很容易地解决，